1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Тем самым )л(Лг) шире т)(А), и А не . ду (х) йх есть самосопряженпый оператор, ибо (А)т = А'"". Покажем, что А нс имеет само, г(у (х) сопряженных расширений. Пусть Л такое расширение. Имеем: т(у =т,ибо йх А с: А", и тл(Л) должно быть шире 0(Л). Но и а се'1час доззжсч, что если 7(х) ()з(Л), то у (х) ( В(4), и это противоречие и докажет чго А нс имеет самосопрнженных расширений.
Пусть 7(г) (()(Л! и тем самым у(х) с г)(Ат) формула (Лу у) — (у Лу) приводит нас к равенству и-ш лсо у ! — 7(х)гтх= ! 7(х)1 ' ' -дх, . сгу — Г , агу (.г) г(х из которого, в силу 7(х) — 0 при х — +оз, следует, что 7(0) =О, т. е. 7(х) ( )у (А). 4)Оператор —, +д(х)7(х) в пространстве й, (01). вмаа (х) Пусть г)(х) — вещественнач нспрерывнаи на промежутке (0,1! функция, и Л вЂ” оператор ~ — —.-+гу(х)~ на множестве Й(Л) всех функций т (х), со сгха слелующими свойствами: ч(.г) и абсолютно непрерывны при х ( (0,1), гту (х) у(0) =„"(1) =0 и " „( ьт (О,!).
Нетрудно проверить, что А — симметрич(-"„(.г) гтхт ный оператор и )л (Л) — плотно в Н. Мы будем предполагать, что д (х) таково, что уравнение — у" + г)(х) у = 0 не имеет решения, равного нулю при х = 0 и х = 1, кроме тривиального у = О. Докаже», что при этом гг(Л) = Н, откуда следует, что А — самосопряжснный оператор. Пусть г"(х) ( (.л(0,1), Надо доказать, что существует функция в(х) из ()(Л), для которой Ау(х) = ~ (х). Введем функцию а ! !" г '.~ч=-! ((лт«!~э.) () и+, о о о о ноторая, очевидно, принадлежит ТУ(А), причем — ф" (х) = У'(х), и пусть ы (х) решение уравнения — ~" (л) + г)(х)ы (х) = — г)(х) ф (х), удовлетворяющее условшо ы(0) =ы(!) =О.
Такое решение (с непрерывными производнычп до второго порядка) существует ((тг! 173). Нетрулпо непосредственно проверить, что функция ч (х) = 9 (х)+ и(х) принадлежит Й( !) и 570 (188 ПРОСТРлнстзо ГильББРтл Ау(х) = У (х). Что и требовалось доказать. Таким образом, А — сачосопряжен ный оператор. Оператор А имеет ограниченный обратный (1Ч! !73( ! А !У(х) = — 0(х, 1)1(т) дс, гле 0(х, т) — функция Грина оператора А прн прелельном условии и(О) = = и (! ) = О.
Указанное выше условие относительно решений уравнения — у" + д (х) у =О, равных нулю, при х = О и х = 1, выполнено, если, например, л (х) ) О. дь 5) О п е р а т о р Р" = (!)в в и р о с т р а н с т в е Н = ьт (О), дхг,..., дх!„ ! где 0 — ограниченнзя область в Я». Пусть А есть оператор Рь на всех Д-раз непрерывно дифференцируемык финнтныл в 0 функциял Р(х). Известно, что 0(А) плотно в Н, и легко проверить с помощью (123) из (169(, что А симметричен. Область определения сопряженного оператора А* будет состоять из всея функций у (х) ( ьт (О), имеющих внутри 0 обобщенную производную вила Р", принадлежащую 1., (О) (что следует из определения обобщенной производной). Ясно, что 0(Ач) шире 0(А). На )1(А) существует ограниченный, обратный.
Действительно, пусть в(х) (0(А). Продолжим ее нулем вне 0 и заключим 0 в куб: — а ~ ( хт(а. Тогда ч(х) можно представить в виде ! л у(х)=~ "~( — !)ЛАТ(х!,..., х„)стх, ... дх! -а — а я — ду (х)у(х)их= ~ 7 — ~ дх, — Г ът ду(х) (з дхь ~ Оа — — ! (28) т. е. А — положительный, а, слеловательно, и сил!метричный оператор. Кроме того, известно (!!4(, что лля всех р(х) ( 0(А) ! я (у((„(,)~С~ ~ у' ! '(') ! дх (гй) откуда, используя неравенство Буняковского, легко получить ((т((с„,, ~ с((АР((,, бо1, так что А ' существует на )с(А), ,'(Я !((( С и )т(А) есть подпространство Н, Как будет доказано дальше в теории расширений операторов, для таких сим- метрических операторов существует по крайней мере одно самосопряженное расширение.
дл 6) Оператор — д= — ~ д . в пространстве Н=у,(0), л-! где 0 †ограниченн область в В„. Пусть А есть оператор — Л, определенный на всех двзжды непрерывно дифференцируемыл финитныл в 0 функциях, т, е. пусть 0(А)=С '"(0).Мно- жество С '" (О) плотно в Н. Если т(х) (0(А), то 188) ппимкпы нкогплничиннык опвиатогов т. е. А положительно определен, и на Яс(А) существует ограниченный обратный А ' с )А '(/(С' и Д(А)=Я(А). Как будет показано впоследствии, такие операторы А допускают самосо. пряженные расширения, причем кажлому расширению соответствует некоторая краевая задача для оператора Лапласа. Здесь же мы выясним структуру 0 (А) и О (А*). Возьмем у (х) ( О (А).
Интегрированием по частям легко проверить справедливость равенства я 1 (Др(х)(а бх= ~ и т;а=! (3П из которого, если учесть (28) и (29), следует ~! у ! ил <и, ( С~ !, 'ар (х) ) с и (32) гле С, — некоторая постоянная, зависящая лишь от области. Пусть теперь у (х) (0(А), у (х) =)р(х) и Ау (х) =)Ау(х). Из (32) следует, что тогла у (х) сходятся к у(л.) в норме )Г',-"'(О), так что у(х) булет принадлежать нг'," (О) и Ау = — Дч (л). Такое пополнение 0(А) мы обозначали через К"," (О) [113), так что 0(А) = Фа"'(О).
Пусть теперь ч(х) Е 0(Ав). Это значит, что существует функция ф(х) ( !т такая, что тождество — йы (х) я (х) их = ) и(х) ф (х) йх и (33) справедливо при всех и (х) ( 0 (А). Построим ньютонов потенциал и(х)= — ! ' т(у, ! !' 9(у) )т $ (х у)я — а (34) где дя — плошадь единичной сферы в )ся. Известно (И! 201), что если ф (у) — непрерывно днфференпируемая функция, то и(х) дважды непрерывно дифференцируема в 0 и (35) — Ь и (х) = ф (х). Мы покажем сейчас, что если ф(у) ( т'.т (О), то и(х) = йу',-" (О). для этого продолжим ф(у) нулем вне О, построим усреднения ф (у) и рассмотрим функции ! ! Ф (у) и (х) = — 1 — '1- Ну, я /» — у)я а я„ Они дважды непрерывно лифференцируемы и удовлетворяют уравнению — дн (х) =ф (х) (лб) с одной и той жс постоянной С, зависящей лишь от раэмераа О.
Из (28) и (29) следуе~ (р!сити(С')Ар)ы( ), (39) 1188 572 пгостнлнство Гильвиггл днр(х) дн (х) При р — О ир (х) и — р — будут сходню,ся н и(т) н — — в норме дхг, дх„ (ч ((2<) (115), где (У, — любая ограниченная область. Будет! считать, что 0 лежрп строго внутри Со В силу (36) можно утверждать, что для о(х) = ир(х)— — ир (х) верно равенство ', Ло (л) Р," (х) дх = ~ ) фр (х) — фр (х) ,'а г (х) дх, (37 ! А„ я„ где С(х) есть фнксированнан неотрицательная, дважды непрерывно днфферснцнруемая функция, равнан свинине в 11, нулю вне 7), и удовлстворяющю! всюду услозшо (легко но!алеть, что такие функции существуют): ~'„(х) ( С.
(х). (33) "а Используя формулу интегрировании по частям, преобразуем (37) к виду я ыг ) ф (х) — ф,(х) ,'""((х)дх = ~ ~)~ / ! ((х) дх+ Ь,д.= "' '"' я я Ст до(л) оро(х) д.'(.т) ~~ дп(х) — д((х)1 — — д — * !с! — т-~!« дхг дх! дхь дха,г, дх; срх; ~ г,а ! т=! 1 Отсюда, используя неравенство ~ 2аЬ ! (т ! а,"а+ — (Ь!Р, справедливое при лробом р ) О, и неравенство (38), найдем я г (х) дх ( ) фр (х), р (х) ! г (х) дх + тр, г, а=! г Ч.Г~) 1 / '!! С()Ч.— '~ Рк(Ч$ $рг.
Возьмем р = 1:2С,. Тогда из последнего неравенства будет следовать я — с (х) дх ( ~ ) Ор (х) — фр, (х) !" , "(х) дх+ ~ (дх! дх„ й! г,а=! й! я +2С,.' ~ ~!' — о(!)!'».т О,я=! откуда мь! можем заключить, что нри р и р' — О функция о (х) = а (х) — нр, (х) вместе со своими производными первого и второго ооряднов будет стреанпьсн к нчщо в норме ).р(0). Следовательно, предельная дан и (х) функция и(х), определяемая интегралом (3!), будет принадлежать (Р~~(В) и будет удовлетворять уравнению (35). Поэтому для нее серно тожлество Π— д ы (х) н (х) дх = ~ ы (х) ф(х) дх (р ппнт!Рньг ивогнлничгцпых Опвнлтонов 573 188[ при любой»»(х) (0(,1).
Вычитая его нз (ЗЗ), получим для у(х) тоитдество — л»»(х) [т(х) — и (х)[ дх =О. О В [119[ нами доказано, что из этшо тожлества слелует гзрмоничность функции у(х) — и(х), причем для шобой гармонической в 0 функции, соответствующее то;кдсство верно. Таким образом, для у(х) с Р(А») мы получилп слелующсс представление: 1 Р ф (у) л где ф(х) с Е,(0), а п(х) гармоническая в 0 фуннция, и так как у(х) и интеграл прпналлежат Е»(0), то и о (х) ( Е»(0).
Легко проверить, ч~о любви функция (»(х) такого вида входит в 0 (А ») и А 'у = — Лр(х) =ф(х). я %ч д» 7) О и е р а т о р — Л = — ~ — в п р о с т р з н с т в с Н = Е» (ггя). Уды „дхз л-! рассмотрим сначала не сам оператор — Ь, а один из операторов — б + ) Е с наким-либо вещественным Л, Возьмем Х пштожитсльным, напр»гчер, равным единице. Это гарантирует нам, как мы увидим ниже, наличие о~раничснного обратного у — Л+Е и облегчит тем самым, решение задачи о самосопряженнык расширениах оператора. Итак, пусть А есть оператор — д + Е, опрслслснный на дваткды непрерывно дифференцируемык финитнык фуннциях р(х). Известно, что 0(А) плотно в гЕ и легко видеть, что — Ь + Е симметричен. Из рассмотрений предыдущего примера следует, что элементы нз 0 (А) и 0 (А ") имс»от обобщенные пропзволныс до второго порядка включительно, квадратичпо суммируемые по любой конечной области 0 из йя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
