1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Если оператор А определен на плотно.н множестве и допускает за.ыыканпе, то существуют Ав, Аав и Аев = А. (14) Предположим сначзла, что А — замкнутый оператор. Из формулы (12) и (l ' = У следует Й=Е(А)® УЕ(А*), т. е. элементы множества Р(А) = Н(=) УЕ(А*) однозначно определяются своими абсциссами, и, в силу леммы, это множество определяет график оператора, сопряженного с Ач, т. е. оператора Ачь. Но это множество есть Р (А), откуда А*в = А. Пусть А — не замкнутый оператор, но допускает замыкание. По доказанному выше (А)ав = А.
Но, с другой стороны, (185): (А)*в=((А)*)*=(А*)*=Ач*, откуда и следует (14). Следствие. Если суцествуют А* и Аа*, то А допускает замыкание (185) и аз (14) следуепг (Авь)в = Ав*ь = Аь. (15) Теорема 2. Если А — за.ыкнутый оператор и О(А)=Н, то А — ограниченный оператор. Из условия настоящей теоремы и теоремы 1 следует, что Р(Ап) плотно в Н и А=Ав"'. Докажем сначала, что сущесгвует такое положительное число йГ, что 1А "х~ ( М () х(( (х Е тг (Ач)), Для этого рассмотрим скалярное произведение: (Ау,х)=(у,Авх) (хЕ 0(Аь),у'- Н).
187) сичмяг~ и шьш и слчосоиеяжпшыв опг из~о ы о6! Оно определяет и Н неко~орый липейиьт (огр,'иишгяиъй) фупкииоиал („(у) при фиксироваииом х из Р(Ач'). Если х„г Р(АЯ) и х„=)О, ао иоследовагельиость фуикииоиалов /е (у) иа любом элеея менте у из Н стремится к кулю, и, следовательно, сушествуег гаков положительное число гтГг, что (100) (16) У» (У) =;(У, Авх„) ~Лг,;У'. Если бы оператор Ав ие имел огрзпичеипой нормы, то существовала бы такая иоследовательиость х,!= Р (А "), для которой х„ = †)О, а !,Лзх„! — со. Но это прогиворечиг (!6), ибо, полагая в (!6), 1Ав!((И иа Р(Аз).
Но тогда Ая мол<ег быть распростраиеи иа все Н, и, так как Ав есть языки) гый оператор, то Р(Ав)=Н. Оператор Азв=А — сопряженный с ограниченным оператором Ля — сам огрзиичеи, и теорема доказана. О~ьгегиьг еще, что если >. — число и сугиесгвует Ле, то сушествует и (Л вЂ” )Е)в=Ля — ЕВ, Если В есть ограиичеииый линейный оператор, зздаииый иа всем Н, а Л имеет А""', то (А-!-В)' сушествует и равен А*+В*. 187.
Симметричные и самосопряжеииые операторы. В дальнейшем мы будем заниматься главиым образом так называемыми симметричиыми и самосопряжеииыми операторами. Ояределение. Оператор А называется сгг.кметрггчным, если Р (А) плотна в Н и (Ах, у) = (х, Ау) (17) для любых х и у из Р(А). Из (17) следует, ч~о любое у из Р(А) принадлежит и Р(Аз), и А"у=Ау для таких у, т.
е. Ас. А*. Симметричный оператор иазывается и о л у о г р а и и ч е и и ы м снизу, если сушествует конечное гол= ш1(Ах,х) при х Е- Р(А) и !х",',=1, откудз следу т (Ах, х) = пгл (х, х) (х Е Р (А) ), (! 9) и число гол нельзя заменить большим. Если гггл~О, гооиерагорЛ называется положи тельма определенным, а если игл~О, то А иазывается иоложительиым (ср. 126). Отметим еше, что если лииечл Р(А) плотен в Н и (Ах, х) — вешесгвеиио ири всех х( — Р(Л), то А — симмегри:шый оператор, г.
е. 10 и и г., ааеостеьаастао Гнльвгвгл [181 (Ах,у)=(х, Ау) при х и уС0(А). Это доказывзется совершенно так же, как теорема 2 из [124[. Определение. Сп.и.иетричный оператор А называется самость пряженным, если Аь = А. Из сказанного выше следует, что для доказательства самосопр». женности симметричного оператора А достаточно показагь следующее: если некоторый элемент х г- 0 (Аь), то х Е 0 (Л).
В силу (1Я) си»- менрпчный операгааор А допускает за.асыканне и для него имеют место соотношенпяг А = Ав*~ А"'; Авва = А*= А*. (20) Самосопряжепный оператор, очевидно, замкнут. Отметим еще, что если Л вЂ” вещественное число, то опера~ар А — ЛЕ будет симметричным, если А — симиетричен, и самосопряженным, если А — самосопряженный. Теорема 1. Если самосопряженный оператор А имеет обратный А ', то область значений ааа(А) оператора А плотна в Н и А ' есть самосопряженный оператор на Я(А). Если линеал )т(А) не был бы плотен в Н, то существовал бы элемент «, отличный от нулевого, ортогональный к ас(А), т.
е. (Ах, «) = О (х Е 0 (А)), или, что то же, (Ах,«)=(х, О). Но это означает, ато «а= Р(Аь) и Ав« = А« = О для элемента, отличного от нулевого, что противоречит существованию обратного оператора А '. Итак, мы доказали, что линеал ас(А) плотен в Н. Из теоремы 5 [185[ следует, что (А ')* =(А*) ', или, в силу самосопряженности А: (А ')* = А ', т. е. действительно А ' — самосопряженпый оператор. Теорема 3. Если для спламетрпчного оператора А существует такое число Л, что как эле.кенты вида (А — ЛЕ)х, так и элементы вида (А — ЛЕ) х (х С 0(А)) заполняют все Н, то А есть самосопряженный на 0(А) оператор.
Нам надо доказааь, что если у ~ 0(А»), то у а= Р(А). Мы имеем (Ах,у) =(х,ув) при х Е 0(А), откуда ((А — ЛЕ) х,у) =(х,у* — Лу). По условию существует по крайней мере один элемент « ~ 0(А) такой, что у» — Лу=(А — ЛЕ)«, и мы можем написать, в силу симметричности А, ((А — ЛЕ) х, у) =(х, (А — ЛЕ) «) = ((А — ЛЕ) х, «). Но элементы вида (А — ЛЕ)х исчерпываюг все Н, и из последнего равенства следует у= «С 0(А).
Что и требовалось доказать. Следствие. Если ат (А) = Н для си,иметрпчного оператора А, то А — са.иосопряженный оператор. ! 87) симмвтРичиыв и слмосопРяжвнныв ОПИРлтОРы 563 )!ля доказачельства поста~очно применить теорему 2 при ) = О. Мы покажем и (189), что имеег месго утверждение, в определенном смысле обрапюе утверждению теоремы 2.
Именно, если А — самосопряженный оператор и Х— невещесгвенное число, то оператор А — )Е имеет ограниченный обратный, определенный на всем Н. Теорема 3. Если у симметричного оператора А существует обратный А ', ограниченный на )с(А), то )х(АР)= Н. В силу того, что замыкание симметричного оператора приводит к симметричному оператору, и в силу равенства Аа = Аь, можно считать при доказательстве, что А — замкнутый оператор. Пользуясь теоремой 2 из (184), люжем утверждать, что )с(А) — надпространство. Нам надо доказзть, что для любого фиксированного уа ~ Н и при любом х Е сг(А) скалярное произведение (х,уь) можно представить в виде (Ах,у). Обозначив Ах=а, получим (х,уь) =(А 'г,уь), и, поскольку оператор А ' ограничен на гс(А), выражение (А 'г, уь) можно рассматрива~ь как линейный (ограниченный) функционал У„«(г) на подпространстве К (А).
Его можно представить в вида (г,у) 11231, где у ~ гс(А), так что мы получаем (х,уа) = (г,у)= (Ах,у). Это равенство и озиачаег, что любое у* из Н представимо в виде Аьу. Что и требовалось доказать. Следствие. Если А — самосопрлженньш, положительно определенный оператор, то А ' существует, ограничен и определен на все.н Н. В силу положительной определенности А, т. е. в силу (Ах, х) ) а(х, х) (а) 0), имеем и ~х~ ( ('Ах", откуда и следует, что на гс(А) существует А ' и его норма ~'А ' ) не превосходит я '.
На основании предыдущей теоремы мы можем утверждать, что )л(Ав)=Н, но )т(Аь)=)т(А), так что А ' определен на всем Н. Заметим, наконец, что имеют место такие фзкты: для всякого симметрического расширения А симметричного оператора А справедливо соотношение А ~ А'"'; самосопряженный оператор не допускает симметричных расширений. Оба утверждения непосредственно следуют из определений симметричного и самосонряженного оператора. Теорема 4. Если А — за,ялиунгый линейный оператор с плотной в Н областью определения, то произведение АРА есть салосопрнженпый положительный оператор.
Положительность АРА следует из равенсчва (АРАХ, х) = (Ах, Ах) =- О (х,: !г (А" А)). (188 псос!Рлнстио Гильгкнтл Симметричность АвА на 0 (АвА) видна из равенства (АеАх,у) =(Ах, Ау) =(х, АеАу). Покажем, чго урзшщнис (АеА '- Е)х=у (21) (однозначно) разрешимо при любом у из Н.
Рассмотрим пространство Н, введенное в 1186), и его разбиение Н = Е (А) Я УЕ (Ае). Из него следу'ет, что элемент (у, О ) однозначно представим в виде (у,О)=(х,Ах) +г(Аег,— а). Следовательно, у = х+ тАв., у = х+ АаАх з= — тАх, н поэтому (х Е 0(АаА)), н, полагая х = хе, получим (! хь !1 ! + (хе, А е А хе) = /~ хе 1!' + ~' А хе //" = О, т. е.
х,= О, что противоречит предыдущему. Таким образом, 0(АвА) плотно в Н и, следовательно, АаА и Е+ АвА--симметричные операторы. В силу того, что )т(АеА +Е)= Н, оператор АвА+ Е— саиосонрщкенцый (теорема 2). Значит и АвА также самосопряженгиай оператор. 188. Примеры неограниченных операторов.
Расслютрим в этом номере различныс дифференциальные операторы с точки зрения общей теории операторов. Все онн булут неограниченными операторами. Рассмотрение будет! вести в коти!локоном пгльбсртовом пространстве ьт комилсксиозначных функций вещественного аргумента. формула и!тсгрирования ио частям в нем, играющав в даш нсйшсм фундаментальную роль, имеет тот жс внл, что и в всщсствсннол! УРостРанствс, ил!сино, дла шобых двУх фУнкций У(х) и ф(х) нз йтзи(0) в случае кусо ню-гладкой границы 5 области 0 имеем (113)! 1 дс(л') —, Г д' (л') à — ' (х) д.г= — ~ Э(х) — ' — — д.г+ ) Э (х) ' (х) соз(н, х;) 85, (22) дх; 3 дх, 3 г! гг где л — внсшннн нормаль к 5, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
