1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 123
Текст из файла (страница 123)
~ )с 2сс > Мы имеем (178] У + со ! ~ у «) су! = = ! 1Т" «) —. (1 — е ™) сП. й ! )с 2о о — со (101) Принимая во внимание первую из формул (1О!), из которой, в силу суммируемости Т"«) на промежутке ( — со, +со), следует + со Ф(О) = — '= ~ У«) (т, )с'2о, можем переписать предыдущую формулу в виде ! ~ чс «) сй = — Ф (0) — —. Ф (с"с!), ! ! о откуда следует, что Ф(х) Е Р(В) и !ч)(х) =ВФ(х). Выше мы видели, что Та преобразует любой элемент Ф из Р(В) в элемент Т" из Р (А), и только что показали, что Т преобразует любое )' из Р (А) в Ф и, поскольку Т'«чс)Е Р„мы видим, что не только у"(х)Е Рм но н хТ(х) Е Ем т. е.
Т(х) Е Р(А). Покажем теперь, что если у(х) есть любая функция из Р(А), то Т()) Е Р(В). Поскольку Т(х) и ху(х) принадлежат Рм мы можем составить Т(Т) и Т(хТ). Принимая во внимание (100) введем обозна- чения 199) 003 опегатог умнОжения из В (В). Танин образом, между В (А) и В (В) установлено биоднозначное соответствие, причем Т преобразует 0 (А) в В (В) и переходу от Т(х) к х~(х) до преобразования соотвегствует переход от Ф (х) к ВФ (х) = 1о(х) после преобразования, т. е. В= ТАТ'", (102) что приводит к следуюшей теореме: Теорема. Самосопряженные операторы А и В унитарно эквивалентны и п,иеет лгесто формула (102), где Т вЂ” преобразование Фурье.
Для спектральной функции й1 оператора В мы имеем формулу В~=Тмт Т", где йв определяется формулой (93), т. е. Вту(х)== дт дт р(1)е'ЖЖ е '-"Ув(у, (103) 1 у'2я ~ или 1 ВтУ(х) = )г — ~ Т*Я е ь'Уг(у. Мы можем записать Ф(х) в виде (104) Ф(х)= ~ в(1)г(1= — ~ ч (1)в(т, (105) ~ВУ~ )= — ') О) ) ГВ1*''Ю1 РУВВ, РВВ> — Ов — СО Если м(х) — неограниченная функция, то линеал, на котором определен этот оператор, получается из 0 (А') при помоши оператора Т. Напомним, что написанные интегралы с бесконечными пределами надо понимать в смысле сходимости в среднем.
Оператор В, как и А, имеет простой непрерывный спектр. Функция и (х), вко. дяп1ая в формулу (106) должна, конечно, удовлетворять тем условиям, которые мы формулировали для Т(>.) в 1197). причем нельзя утверждать абсолютной интегрируемости м(1) на бесконечном промежутке, и написанные интегралы надо понимать как пределы интегралов по конечному промежутку при его расширении.
Самосопряженный оператор В ', определяемый, очевидно, формулой В ' о = — (Ф, задан не во всем т'.и но лишь для таких у (х), что Ф (х), определяемая формулой (105), также принадлежит 2 и Это происходит в результате того, что Л'= 0 принадлежит непрерывному спектру В. Если мы рассмотрим оператор (94), то оператор ТА'Т* будет представлять собой функцию м(В) оператора В, так что 604 [200 пгостглнсгво гильвввта 200. Интегральные операторы. Рассмотрим на промежутке [а, Ь] интегральный оператор с ядром К(х, у), удовлетворяющим условию К(у, х) = К (х, у) (107) и таким, что К'(х)= ~ [К(х, у) !'вгус" +со (К(х))0) а (108) лля почти всех х из [а, Ь[.
Соответствующий оператор м (х) = Ку (х) = ~ К (х, у) У(у) Ну а (109) определен на линеале й(К) таких У(х) из 7., на [а, Ь[, что р(х), определяемая формулой (109) также принадлежит 7.я Рассмотрим еще, как и в [173[, линеал У таких функций 7"(х) из Б„что ~ К (х) [ У(х) [ с(х(+ со. а (110) Мы видели, что линеал У повсюду плотен в Е., [173[. Покажем, что если 7(х) Е Е, то она и подавно принадлежит О(К), Отсюда будет следовать, между прочим, что с) (К) повсюду плотен в ум Пусть У(х) ~ 7. Мы можем написать ) 7 (х) [Я = ~ К (х, у) У(у) Ыу ~ К (х, 1) У(1) Ш, й а а потому ь ь ь ь ~ [ ~р (х) )я дх ( ~ ~ ~ ! К (х, у) [ [ К (х, 1) ) [ у(у) [ [ у(1) ! гну Ш г(х, (111) ь ь ь 1 ~ [К(х, у)[ [К1,х, 1)[<1х(~ ~)К(х, у)[аг(х ~ !К(х, 1)['Их~ а а а =К(.у) К(1) и правая часть (111) не превосходит произведения ь ь ~ К(уМ(у)~Р7у ~ КЯ[УЯ[ и о а и достаточно проверить, что интеграл, стоящий справа, имеет конечное значение при каком-нибудь порядке интегрирования.
По неравенству Буняковского 2001 606 ннтегглльныв Опзглтогы ь ь ь ь Ц~ К(х, у)у(у) у!а(х) «х=51 ~К(х, у)а(х) бх ~у(у) Ыу, „12) если У(х) и а(х) принадлежит Е, причем, в силу (107), ь ь ~ К (х, у) а (х) г(х = ~ К (у, х) а (х) с(х а й принадлежит, очевидно, ~, как функция от у. Лля локазательства (112) достаточно убедиться в конечности интеграла ь ь ~ ~ !К(х, у) ! / У(у) ! ! а (х) / г1у ~(х (113) при каком-либо порядке интегрирования.
Интегрируя сначала по х и применяя неравенство Буняковского, убедимся в том, что написанное выражение не превышает ь П П 5К(уИУ(ун у а а эта величина конечна, ибо Ду) 1- 7. Симметричный оператор А, определенный формулой (109) на линеале 7, далеко не всегда является самосопряькенным оператором; но он илаеет сопряженный А*. Локажем, что А* совпадает с оператором К, который определяется той же формулой (109) на линеале й (К) таких у(х) из Б„ что и а(х) Е Ея. Пусгь для всех /'(х) из 1 имеетсв формула ь ь ь ~ ~ ~ К(х, у)у(у) с(у~а(х)Их= ~ у(х)а*(х)<Хх, (114) где а(х) и а*(х) Е Е., Нам надо доказать, что а* (х) = ~ К (х, у) а (у) Ыу, а (115) откуда будет следовать также, что а(х) ~ й(К). При доказательстве конечности интеграла (113) мы использовали принадлежнос гь к Е только функции у"(х).
Поэтому в интеграле, стоящем в левов которое имеет конечное значение, ибо у(х) Е Г. Обознзчич через Ау(х) оператор, определенный формулой (109) на линеале Е. Нетрудно показать, что это — симметрический оператор, т. е. 201) езсшиегник з тыкгы того сичмвтеичного опш лтоел 607 1 !' 1 ф(л)= —,— ~ е(с — у) Т(у) ау= — ) 000 р(с) е-гх'Ф, (Н8) причем, а силу 0(т)( ).т и г" (С)()т, произведение 0(С) г (Г) суммируемо на промежутке ( — со,+скз). Пусть б — линеал таких функпий г" (С) из Ую что 0(т) Р(С)( бм На линеале Т праван часть (118) представлнет собой Т(0Р), а потому В(х) должна цринадлежзн )ь Обращая внимание на среднюю часть формулы (!18), мы можем, таким образом, утверждать, что на линеале 1,', который получается из Т нри помощи преобразования Т, интегральный оператор К с ндром е(х — у) унитарно эквивалентен операции умножения на функцию 0 (С) из Ц и тем самым есть самосопряженный оператор.
Напомним, что через 0 (К) мы обозначаем линеал таких функций Т(х) нз й„ что з(х), определяемая формулой (!18), также принадлежит ьь Из предыдущих рассуждений следует только, что 1,' входит в 0(К). Можно доказать, что 1,' совпадает с г(К). Это утверждение равносильно, очевидно, следующему: если а формуле (Н8) т(х)( бт, то 0(с) р(с)( т'.т. Совпадение с 0(К) непосредственно вытекает из невозможности такого расширения салюосопряженного оператора, црн котором опять получается сачосопряженный оператор. Невозможность такого расширения доказана (187!.
Таким образом, если е(г) — вещественная четная функпия из й„то интегральный оператор с ядром е(х — у) есть самосопряженный оператор в 0 (/(). 201. Расширение замкнутого симметричного оператора. В дальнейшем будем считать А замкнутым симметричным оператором. Докажем дне основные для дальнейшего теоремы. Теорема 1.
Согласно формулалс у=(А +тЕ) х, г=(А — тЕ) х, (119) (120) лннеал 0(А) элементов х преобразуется бподнозначно в некоторые надпространства Е!(А) и т' т(А), причем, если у и г — элелтенты этттх надпространств, соответствующие одному и тому же х пз Е)(А), то днстрцбутнвный операптор У, преобразующий у в ап в= Уу, (12! ) преобразует (.т(А) блоднозначно в Е т(А) с сохранением нор.ны и скалярного произведения: ~!0у !=(у(! ((Тун (Ту,) =(ун у,). Мы имеем (122) !! (А + 1Е) х !/ ' = ( (А + тЕ) х, (А + т Е) х)= = (Ах, Ах) + т (х, А.к) — т (Ах, х) -(- (х, х), укажем простые примеры самосонряжснных операторов в случае ядра, зависящего от разности на бесконечном промежутке ( — со, + оо).
Пусть я (с) — вещественная чстнан функция из )ы на указанном промежутке и Т(х)— любая функция нз )т Обозначим 0(С) =Та( ) и Г(с) =Т (Т). Функция 0(г) неществснна, так как е(г) — аещественнаа четная функция. Мы люжсм написать (148): 603 (201 пгостглнстяо гильввлта о~куда, в силу симметричности А, следует (123) )'(А )- !Е) х !!" = (,', Ах ,'! ' + !, 'х !! ' (х Е 0(А)).
Пока кем, что формула (119) при различных х дает различные у. Если бы разлишые х, и х, из 0(А) давали бы одно и то же у, то их разность х = х, — х, давала бы у = О, и нам надо показать, что из (А + гЕ)х = 0 следует х = О. Но это гшпосредственно вытекает из (123). Таким образом, формула (119) переводит 0(А) биоднозначно в неко~орый линеал !.г(А). Докажем, что он замкнут, т. е. что это есть некоторое подпространство. Принимая во внимание (123), получаем !(А+!Е)х~/~!!ха, откуда следует, что (А+гЕ) ' — ограничен. Но в !184) мы показали, что если некоторый оператор В замкнут и на В(В) существует ограниченный обратный В ", то В(В)— подпространсгао.
Таким образом доказано, что Ег(А) — подпространство. Совершегшо так я<е нз формулы !, '(А — !Е) х ", ' = ~( Ах ~! " + ~ х (~', (123,) аналогичной (123), следует, что формула (120) переводит биоднозначно 0 (А) в некоторое подпространство Л л(А). Взяв у и а, соответствующие одному и тому же х, мы имеем вполне определенное дистрибутивное преобрззовзние (122), переводящее Л!(А) биоднозначно в Е;(А), причем формулы (123) и (123,) могут быть записаны в виде !!у!)Я=~~Ах!Я+!х!!Я и !!а)Я=!!Ах|Я+1х!,", т. е.;!а!'=)у!) или !Уу!,'=1у !. Оасюда вторая из формул (122) доказывается совершенно так же, как и для унитарных операторов !1371, и теорема таким образом доказана. Отметим, что если А есть самосопряженный оператор, то, в силу того, что -+-! суть регулярные точки А, Е.г(А) и Е;(А) совпадают с Н !189] и У есть унитарное преобразование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
