1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Обратно, если х~„=У)(А) Н,УР(х)(,УТ(») для всех»~У)(А), то квадратичная функция У (х+У») вешественного параметра У имеет при 1=0 минимум для любого фиксированного»~ У)(А). Отсюда следует (А», х)+(Ах, г) — (у, ») — (», у) = О, (Ах, г)+(», Ах) — (у, г) — (», у)=0, или т. е. Ке(АХ вЂ” у, »)=О, где Ке — знак вещественной части. Заменяя» на 1», получим 1гп(Ах — у, »)=О, т. е. (Ах — у, »)=О, и, поскольку Уэ(А) плотно в УУ, получаем Ах — у=О, что доказывает вторую часть теоремы. Из доказанной теоремы не следует, что при любом у С О функционал .У„(х) достигает при каком-то х с 0 (А) наименьше~о значения.
В связи с этим мы в дальнейшем расширим область определения нашего функционала. Согласно (139) он определен на У)(А). Введем в У)(А) новое скалярное произведение, полагая [х, у[л = (Ах, у) или просто [х, у] =(Ах, у), (!41) и тем самым новую нориу ([х [,'л = [х, х) = (Ах, х). В силу (138) мы имеем неравенство ~[ '[~ —,— „.[ [ . ф' глл' (142) (! 43) имеет решение х Е У)(А), то у (х) (У (»), Рде» вЂ” любой элемент из О(А) и знан = имеет место тольно ири г=х. Обратно, если для некоторого х Е У)(А) имеет место неравенство ,Ут(х) У (»), где» вЂ” любой элемент из У)ГА), то х удовлетворяет уравнению (140). Пусть х С У)(А) и удовлетворяет уравнению (140). При любом » Е У)(А), в силу симметричности А, имеем 205) РлсшиРгние симметРичных полуогРлниченных опеглтогов 619 Нетрудно проверить, что элементы линеала Р (А) при прежнем определении умножения на число и сложения и при скалярном произведении (141) удовлетворяют всем аксиомам пространства Гиль- берга, кроме, может быть, аксиомы полноты.
Если эта аксиома не выполнена, то мы можем пополнить Р (А) новыми идеальными элементами так, чтобы получилось полное гильбертово пространство, которое мы обознзчим через Нд. Исследуем это пополнение [85]. Пусть имеется фундаментальная последовательность из Р (А) при скалярном произведении (141). В силу (143) она будет фундаментальной последовательностью и в Н, и будет иметь в Н некоторый предел х' в силу полноты Н. Фундаментальные последовательности из Р (А) при скалярном произведении (141), принадлежашие олному.
и тому же классу, приводят к одному и тому же элементу х' из Н, т. е. если х„ и у„ Е Р (А) (л= 1, 2,...) и Цу„ — х„[д -« 0 при и -« оо, то и [у„ — х„] -« О. Это следует из (!43). Проверим еше тот факт, что фундаментальным последовательностям х„ и у„ из Р (А) при скалярном произведении (141), принадлежашим разным классам, соответствуют различные элементы х' и у' из Н. Лля любого а ( Р (А) мы имеем (Ал, х„— у„) = [г, х„— у„].
Переходя к пределу, получим (Аа, х — у)=[а, о], где справз о есть элемент Нд, отличный от нулевого, поскольку последовательности х„и у„принадлежат разным классам в Нд. Если бы оказалось, что х'=у', то мы имели бы [а, о]=0, а это невозможно, ибо Р(А) плотно в Нд, и элемент о Р Нд отличен от нулевого. Расширим определение функционала .гу(х) на все Нд, полагая .У (х) = [х, х] — (у, х) — (х, у), (144) и будем исследовать для него прежнюю задачу на минимум. Величина (х, у) при любом фиксированном у С Н является линейным ограниченным функционалом над х в Нд, ибо /(х, у)[(ЦуЦ.[/хЦ~ ЦуЦ ЦхЦд, юд и по известной теореме [123[ сушествует единственный элемент х„Е Нд такой, что (х, у)=[х, х,], (хЕ Нд' уб Н) (145) и тем самым (у, х)=[х„х].
Выражение (144) можно записать в виде '«(~)= 1~ х[ — [хм х[ — [х " ] = [х — ха " — х ] — [х х ] 620 [205 пгостглнство гильвзгтл откуда следует, что ./ (х,) = l„(х) для всех х с= Нл, причем знак = имеет место лишь йри х=х,. Кроме того, из (145) и того, что Нл плотно в Н, следует, что различным у ц Н отвечают различные х,. Из этой же формулы (145) непосредственно следует, что множество всех решений х, взриационных задач, отвечающих всевозможным у из Н, есть линеал й Сказанное выше дает нам возможность определить на 1 дистрибутивный оператор А формулой Ах, =у, причем этот оператор имеет обратный, определенный на всем Н.
В силу теоремы 1 А является расширением А. Вместо й естественно писать Р(А). Отметим, что В(А)г: Нл. докажем, что А есть симметричнып в И оператор, Действительно, из (145) следует (Лха, х)=[хм х[ (х с В(А); х Е Нл), (147) и, полагая х=х, будем иметь (Ах„х,) ~ О, т. е. (Ах,, х,) — вещественно при х, Е В(А), откуда и следует симметричность оперзторз А [187[. Обрзтныи А ' определен во всем Н и также симметричен и тем самым есть огрзниченнып самосопряженный оператор, а потому и А — самосопряженный в Н оператор. Мы доказали таким образом следующее: Теорема 2.
Симметяичный оператор А, удовлетворяющий условию (!38) при гпл) О, допускает самосопряженное расширение А такое, что А ' определен во всем Н и огоаничен. Приведенная выше конструкция расширения полуограниченного симметричного оператора принадлежит Фридрихсу (Май. Апп., 109, 4/5, 1934). Локазательство взято из книги С. Г. Михлина , Проблема минимума квадратичного функционала" (1952). Положим теперь, что симметричный оператор А удовлетворяет условию (138) при тл ( О.
При этом симметричный оператор В = =А+(а — тл)Е(а)0), у которого В(В)=й(А), удовлетворяет условию (Вх, х))а(х, х) при х Е 0(В), и доказанная выше теорема приведет нас к следующему: Теорема 3. Всякий симметричный полуограниченный оператоо А допускает самосопряженное расширение А, такое что пои любом а)0 оператор [А + (а — тл ) Е[ ' опяеделен на все и Н и ограниченн. Оператор А, если он не самосопряженныи, допускает бесчисленное множество самосопряженных расширений.
Полученное расширение А нззывается обычно расширением по Фридрихсу. 205] вдсшиввнив симмвтвичных полтогвдничвнных опьидтогов 621 Если х Е Р (А), то мы имели при тд ) 0 неравенство (143). Положим, что х Е Нд, но не принадлежит Р (А). При этом, по определению Нд, имеется последовательность х„Е Р(А)(п=!, 2,...) такая, что х„=)х в норме Нд и тем более в норме Н. Е!аписав неравенство для х„и пользуясь непрерывностью норм, мы можемутверждать,чтопри тд)0 неравенство (143) верно для всего Нд. Если хЕ Р(А) и тем самым хР Нд, то из (145) следует, что (Ах,х)=[х, х]=]] х]]д, и неравенство (143) дает (Ах, х)) тд (х, х). (148) При доказательстве мы предполагали тд ) О.
Если тд ( О, то строим оператор В=А+(а — тд) Е, где а)0. В силу сказанного выше ил!еем (Вх, х)) а(х, х), где В=А + (в — тд) Е, откуда слелует (148). Таким образом, мы имеем следующий результат. Теорема 4. Для А имеет место неравенство (148). Рассмотрим теперь случай «гд ) 0 и докажем следующее: Теорема 5. Для положительно определенного симметричного ! опера!по«а А имеем Нд =Р (А3 ) и ! [х, х]= ]] А ах]]'.
(149) ! Докажем сначала, что Нд с: Р (А ~). Пусть хЕ Нд. Имеется последовательность х„Е Р(А)(п=1, 2,...) такая, что ]] х — х„]] д-+0, и для х„ имеет место равенство ! + 00 [х„,х„]=(Ах„,х„)=]]Аз х„]]'= ~ Хв!(йтх„, х„), (150) м д — о где $т — спектральная функция А. Принимая во внимание, что ! ]] х — х„ ]] — ь О, ]] х„ — х,„ ]]д = ]]А ' (х„ — х ) ]]' -ь 0 ! / и замкнутость Ат, можем утверждать, что х~Р(Аа/' ! ! ! Ат хе=)Аг х и ]]Аа х]]=]]х]]д (непрерывность норм), т.
е. для х верно равенство (!49). Для пол. !) ного доказательства теоремы остается показать, что Р (Ат!! с:.Нд. ! ! Пусть х Е Р (А'/, и докажем, что х Е Нд. [205 622 пРостРАнство ГильзгРта Рассмотрим последовательность элементов х„ = ГОЛ„х (и = 1, 2,...). Ясно, что х„ Е 2".)(А) и )~х — ха[[ -» 0 при и -» со. В силу сходимости интеграла + со ~ Лг( ®л х, х) мА — О элементы л Аа хл ] 1' амлх "'А — О ! сходятся к А2 х в Н при п-»оо и потому ! ) ) А 2 (хл — хм) ([2 = (А (хл — х,„), хл — х ) = ) ! х„— х,„) ) А2 — » 0 при т и и — со.
Это означает, что хл образует фундаментальную в НА последовательность. Пусть х — соответствующий ей элемент НА. Тем самым х„=»х в НА. Но, как мы видели выше, х„=Рх в Н, а потому х=х ~ НА, что и требовалось доказать. При тл)О оператор А ' определен нз всем Н и ограничен. Исследуем теперь те случаи, когдз он вполне непрерывен. Введем оператор %; который сопоставляет каждому элементу х С НА тот же элемент х, кзк элемент Н. Теорема б. Для того, чтобы А ' был вполне непрерывным оператором, необходимо и достаточно, чтобы оператор %' вложении НА в Н был вполне непрерывен. Доказывзем необходимость. Пусть А ' вполне непрерывный оператор.
Его спектр чисто точечный, и он нзходится на промежутке 1 ! О, †! причем собственные значения, кроме, может быть, нуля, ' тл~ имеют конечный ранг, и только точка Л = 0 является точкой сгущения спектра [136]. У самосопряже>и!ого положительного опера! тора А 2 спектр имеет тот же характер: каждое собственное значение Л заменяется на ]/Л и собственные элементы остаются прежними. Таким образом, А ' — также вполне непрерывный положительный оператор. Возьмем какое-нибудь ограниченное в НА множество 1/ так, что если х~(л', то !]х!А (С, где С вЂ” определенная. постоян! ная.
Мы можем применить к х оператор А2. Пусть у=А 'х так, ! ! что х=А яу. Мы имеем [[у[!'=(Атх, Аах)=
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
