1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 130
Текст из файла (страница 130)
е. множество элементов х=у+«, где у~ У и «Е Ф', есть также подпространство. Мы можем, очевидно, считать, что В' не имеет общих с У элементов (кроме нулевого). Пусть (тв„то„..., тв„) — бззис %'. Представим каждый из его элементов пвь в виде: гоь — — тоь+ твь, где гол~ У и шь' 1 У. Линейную оболочку гоь'(1=1, 2,...,п) обозначим через Ж'". Множество )г можно представить в виде ортогональной суммы двух подпространств: в лемма доказана. 2)2[ о спектРАх сьмосопеяженных Рьспеиевний б35 Теорема.
Непперывная часть ядра спектра любого замкнутого симметричного расширения А оператора А та же, чтп ау А. Мы видели, что прн расширении А непрерывная часть ядра спектра н. может уменыпиться [208[. Предположим, что она расширилась, т. е. что есть такое вещественное число Л„, которое не входит в непрерывную часть ядра спектра А, но содержится в непрерывной части ядра для А. Для него )с(А — Л„Е) — подпространство, а ет(А — Л„Е) — незамкнутый линеал.
Принимая во внимание формулу для Р (А) [203] и конечность индексов дефекта для А, можем написать ее (А ЛьЕ) =ес(А — ЛьЕ) + )Г где Ю' — конечееомерное подпространство. Но последняя формула и незамкнутость ес(А — Л Е) противоречат доказанной выше лемме. 212. О спектрах самосопряженных расширений. Мы видели выше, что если Л вЂ” вещественная точка регулярного типа для А, то существуют самосопряженные рзсширения А двух типот для одного Л вЂ” регулярная точка А, а для другого — собственное значение с кратностью, равной индексу дефекта А (индексы дефекта А одинаковы).
)Лополним эти результаты. Теорема 1. Если индексы дефекта (р, р) замкнутого симметричного оператора А конечны, то при любом самосопряженном расширении А оператора А кратность любого собственного значения может повыситься не более, чем на р, и вещественное Л, которое не было собственным значением А, не леожет быть собственным значением А кратности выше р. Пусть Л не есть собственное знзчение А, но есть собственное значение А кратное~и й)р. Из формулы (!72) р=б)шР(А) (шое! Р(А)) и й ) р следует, что имеется собственный элемент А, принадлежащий Р (А), т.
е. Л есть собственное значение А, что противоречит предположению. Таким образам, доказано, что й (р. Случай, когда Л вЂ” собственное значение А, рассматривается аналогично с использованием оператора А, [208[. Теорема 2. Если А — полуограниченный замгснутмй сеемметричный оператор и его индексы дефекта (р, р) конечны, то для любого самосопряженного расширения А спектр, находящийся левее нижней гранещы А, может состоять лишь из конечного числа собственных значений, сумма кратностей которых не пре восходиеп р. 636 [213 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЪВВРТА Без огрзпичения общносги можем считать А положительным оператором.
Пусть фт — спектральная функция самосопряженного расшнрения А. Докажем, что при любых О) р ) з имеет место неравенство (174) дцп Ь|т Н=(9а — В„) Н я== р. Пусть имеег место обратное неравенство д)ш Ыт Н)> р. (1 75) Мы знаем, что >лфтх Е 77(А) при х Е Ни р=д(ш В(А)(гпос$77(А)). Отсюда следует, в силу (175), чго в подпространстве Ь$> Н найдется нормированный элемент х Е В (А). Но тогда (Ахх)=(Ах х) = ~ Лс[(5>х х)= ~ЛсУ(5>х,х) =.[т(0, что противоречит положительности А.
Тем самым неравенство (!74), а вместе с ним и теорема доказаны. 213. Примеры. 1. В [!88[ мы рассмотрели в пространстве Н = Лт(0) оператор А, иоторый определен на всех гладких финитных в 17 функциях и является на этих функциях оператором дифференцирования Ва =яа д р(х) дхн, .. дх, (176) Мы покззали, что А — симметричный оператор, имеющий ограниченный обратный на!7(А). Отсюда следует [209[, что А допускает такое самосопряженное расширение А, что уравнение Ат=ф (Т (7>(А)) (177) однозначно разрешимо при любом ф (х) ( Ет (0). Область определения А дополняетсн при этом расширении функциими о(х) из Лт(7>), для которых АэАэо=О.
Функции эти имеют обобщенные производные 1)л и Ва(УА и определяются из уравнения Оаг>»„— = О д'ло (х) дх;",, дх,'„ Из них мы берем лля 77(А) иич 7)ли=О. Оператор А на производная (176). 2. Рассмотрим оператор те, которые ортогональны реп>ениям уравне- 77(А) имеет вид Ол, где Вл есть обобщенная дт А= —— яхт в пространстве Н = Ет (О, 4- оо), определенный нз всех глздких финитных вблизи А =0 и х =+ со функциях.
77(Аэ) есть множество всех функций Т(х) со с.тедующими свойствами: Т(х) и Т'(х) абсолютно непрерывны на любом конечном промежутке [О, и[, Р(х) и Р" (х) ( б„(0, +со). как мы указали, при 637 2141 ввсконвчныи лратяины этом и р'(х) ( Иэ(0, +со). Для т(х) ( Р(Аэ) имеем А*э(х) = — р" (х) (1%(. Р (А) состоит из всех тех элементов Р (А*), которые удовлетворяют условиям р(о) = „ (о) = о. Нетрудно проверить, что имеют место следующие утверждения; э) А— положительный оператор; Ь) индексы дефекта А равны (1,1); с) непрерывная часть ядра спектра совпадает с полуосью 0 =Л(+со, и это же справедливо для любого самосопряженного расширения А; б) любое симметричное расширение А есть самосопряжениое расширение. Оно определяется на тех элементах Р(А*), которые удовлетворяют одному из двух условий т'(0)— — ит го) = О, где и — фиксированное вещественное число, илн р (0) = О.
Последнему условию соответствует расширение по Фрндрихсу, и прн этом оператор остается положительным и имеет чисто непрерывный спектр, состоящий из полуоси 0(1<+со. Еси! И(0, то самосопряжеиный оператор, отвечающий условию т' (0) — Ир (0) = О, имеет чисто непрерывный спектр. Прп И ) 0 он имеет одно простое собственное значение Л = — И', 214. Бесконечные матрицы. В 1200) мы рассмотрели интегральные операторы, ядра которых удовлетворяют условиям (!07) и (108). Совершенно аналогично можно рассмотреть операторы в тэ: у =,г "ыхд д-! (178) (т=1, 2, ...), осуществляемые такими матрицами, что ад! — — а;д и выполняются условия Оэ СО с(д= х 1ард 1~= 1 1ад! !~(сю ! ! р-! (179) (И=1, 2,...; с(»= О).
При этом ряды (178) абсолютно сходятся для любого элемента х из Ую но ряд, составленный из )у! (э, не обязательно сходится, т. е. (Уи У„...) может не быть элементом из гэ. Обозначим чеРез Р(А,) линеал таких х из уэ, что ~~ с(д !хд )(сю, д ! и через Р(В) линеал таких х, что (у„у„...) Е уэ. Можно показать, как и в 1200), что Р(А,) повсюдУ плотен в гэ и что Р(А„)с: Р(В). Обозначая далее через А, оператор, определенный в Р(А,) формулами (178), и через В оператор, определенный в Р (В) течи же формулами, можем утверждать, что А, — симметричный оператор и что В= А„* (ср. 200). Отметим, что, в силу (179), все орты принадлежат Р(В) и даже Р(А,). 1(ля того чтобы В был самосопряжснным, (214 638 пеостнлнстно Гильаьигл необходимо и достзточно, чтобы для любых х и у из 0(В) выполнялось равенство [ср.
200) о»»» «О»» ~г ( ~~~ ас»хь)ус= ~~ хь( ~с ас»ус), (1 80) с=с ь с причт«, в силу ас„=а„о мы имеем: аыу=У, у. ь«о «'= с с =-1 Симметричный оператор А, может оказаться и незамкнутым, и мы введем еще новый оператор А, который является, как мы покажем, замыканием А,. Пусть Р(А) — линеал таких х из Р(В), что (Вх, у)=(х, Ву) (у Е 0(В)) (181) для лсобых у из 0 (В), и А — оператор, выражаемый формулами (178) на 0 (А).
С другой 'стороны, А",' определено на линеале 0 (А"„') таких элементов х, что (Ву, х)= (у, х*) для любых у из .0(В), и, в силу А,"' с: А»», х* выражается через х по формулам (178), т. е.х* = Вх. Сравнивая это с определением А, мы видим, что А„'* совпадает с А. Но А,*" есть замьпание Ам т. е. А есть замыкание Аь, н А» = = А„"= В, Выясним одно свойство линеала Р (А) и оператора А. Назовем «конечным элементом» всякий элемент (хн х,, ...) из 7м который имеет конечное число составляющих хь, отличных от нуля. Пусть 0 (А') — линеал «конечных элементов» и А' — оператор (178), определенный на этом линеале.
В силу а»; = аы этот оператор симметричен, и любой элемент 0(А') входит, очевидно, в 0 (А,), т. е. А'с А„; следовательно, обозначая через А' замыкание А', будем имегь Аз~А, а потому А»с:.(А')*. Пусгь еь — орг с номером я. Любой элемент у из (А')* должен удовлетворять равенству (Ве», у) = (е, у"), причеьс у»=(А')*у. Обозначая через ус и у," составляющие у и у", можем написать упомянутое равенство в виде: У ас»у;=у», т. е. Уь = лг аь;ун «=с «с откуда видно, что УС 0(А*) н у"=А*у. Сравнивая этот результат с А»с.—.(А')», мы видим, что (А')"=А", а погому А**=А'. Но мы имеем А»*=А и, следовательно, А'=А.
Этот результат может быть формулирован следующим образом: Теорема. Еслсс хЕ Р (А), то сусцегтвует последовательность („ »конечны к элементов» такая, что $„=)х, А«„=.»Ах и А =А. 215 ) млтеипы якОБи Самосопряженность А сволится к тому, что Ав = А. Если это не так, то индексы дефекта оператора А определятся размерностью надпространств, образованных решениями уравнений Ах = 1х и Ах= — )х, и мы можем применять изложенную выше теорию расширения оператора. Покажел| еще, что если матрица аы вещес твенна и комплексный элемент х'+х"г принадлежит Р(А), то х' и х" также принадлежат Р(А), а потому и х'=х"!Е Р(А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
