1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 134
Текст из файла (страница 134)
На основании леммы мы можем составить самосопряженный в Н оператор $;, $зх дты $„х, %' (л) л=! (210) и нетрудно прозерить, что $т будет разложением единицы в Н. Если мы составим интеграл Стиатьеса, который определяет некоторый самосопрвженный оператор, Л!($ х, то, принимая во внимание, что $, х=$!тл'х, если х (Мл, видим, что он даст А, есан хс Мл, и тем самым, в силу леммы, он определяет оператор А. Остается доказать формулированную вы!пе лемму. Пусть х принадлежит аинеаау )У(А) тез эзементов, дая которых т'!!А„х„)т(со; Совершенно так же можем написать: ! Л*(х — х1)," =, 'А" (х —.тч — лн) !»+ Ахт т, е !л (х - - х, †- хт), .т Лх~, + Ах и вообще л 'ь т 1*.
!» А:(х а=! опредеаим оператор Л формулой Ах=А,х,+А,х,+ ... Покажем, что А— самосопряженный оператор, Лннеаау Ю(А) принадлежат, очевидно, конечные суммы заементов хл, и потому аинеаз ))(А) плотен в Н. Симметричность А вытекает из самосопряженности Ал и формулы (А.с,у)=( У А»ха У у»~=У(А~х» у )лл ~(хл Длул)лл л л л л У = ~~хл !лУ» , '=(х АУ) л л где х и у Р т)(А) и мы использовали непрерывность и дистрибутивность скдаярного произведения, а также ортогонааьность подпространств Мл, Таким образом А* :з А, и нам надо доказать, что если х !- ))(Ал), то х Е т) (Л).
При- нимая во внимание, что А'хл принадлежит Мл и что х — хл ! Мл, можем нзписать: (Л*(х — хл), Ахл) =(х — хл, Л'.гл) =О, откуда при л = 1, в силу теоремы Пифагора, ) Алх!' = ! Л* (х — х,)," + ,'! Ах, ' ". 652 )2!8 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВВРТА откуда следует: ОЭ ~ А„х„" ,( А"х)у, а-1 а потому хЕ Е)(А); самосопряженность А доказана. Остается доказать, что существует единственный самосопряженный оператор, совпадающий с А„ на М„. Пусть, кроме построенного А, существует еще оперзтор А'.
Из само- сопряженности А' вытекает, что он замкнут. Для конечнык сумм А' ~ ха=А ~) ха= т Аха, а-! ибо А и А' совпадают на М„. Принимая во внимание замкнутость А', можем, утверждать, что А' определен на т)(А) и совпадает на этом линеале с А, т. е. А'-:з А. С другой стороны, заменяя в приведенном выше доказательстве А* на А', придем к заключению, что если х С О (А'), то х ( Р (А), н, следовательно, А' совпадает с А: лемма доказана. ПРЕДМЕТНЪ|Й УКАЗАТЕЛЬ Внешняя мера 105 Возмущение спектра 491 График оператора 559 Дифференциальные решения уравнения 477, 521, 536, 595 Дифференцирование функционалов над Сн' 379 Дефекта индексы 611 Измеримость множеств 108 — †, ее критерии 118 — функций 126 Интеграл Коши — Стилтьеса 89 — — —, формула обращения 90 — Лебега 142 — Лебега — Стилтьеса 141, 148, 193, 20! — — †, предельный переход под знаком интеграла 162 — Стилтьеса 14, 76 — — несобственный 26 — — общий 62 — — от непрерывной функции 23 — —, существование 43, 68 — †, физическая интерпретация 33 — Фурье — Стилтьеса 82 — †, формула обращения 85 — †, теорема свертывания 87 — Хеллингера 263, 269 Интегрзльное прелставление Соболева фУнкций из %лп! 368 Класс  — функций !39 Коммутирование операторов 398, 489, 496, 503, 580, 596 Компактность в метрическом пространстве 288 †, ее критерии 289 †, примеры 290 †2 — слабая в гильбертовом пространстве 417 — — функционалов 315 Компактность слабая множества эле.
ментов в пространствзх типа В 317 Линеал в 7.а !83 — в пространствах типа В 30! Р!инейная независимость элементов в пространстве типа В 300 Линейная оболочка 302 Матрицы проектирования о11 — самосопряженные 511, 520 — унитарные 509, 5!Π— Якоби 518, 639 — - С645 Множества 93 — замкнутые 97 — измеримые 108 — открытые 97 — В 124 Неравенство Бессели !75, 386 — Буняковского 387 — Гиаьберта 525 — Гельдера и Минковского 188 — Пуанкаре 372 — Фридрихса 374 Норма абсолютная оператора 439 — ограниченного оператора 304, 397 — функционала 307, 395, 401 Норма элементов нормированного пространства 300 †, эквивалентность 349 Обобщенные производные 339 Ортогонализация элементов пространства Гильберта 391 Ортогональность элементов пространства Гильберта 388 Операторы в гильбертовом прострзнстве 397 — в метрическом пространстве 282 — в нормированном пространстве 303 — вполне непрерывные 331, 335, 336, 337, 419, 430, 528, 532 — гицермаксимальные 613 654 пнндмвтный хкаэятвль Операторы дистрибутивные 303 — замкнутые 554 — иэометричные 438, 604, 605, — нгыегратьные 529, 604 -- — с полярным ядром 362 — линейные 306, 397 — неограни ~енные 554, 564 -- максимальные 612 — непрерывные 303 — пеприаоднмые 472 — нормальнсьраэрешимые 558 — нормальные 493 — обратные 306, 404 — ограниченные 304, 505, 529 положительные 403, 561 — поаожительно-определенные 56! — поауограниченные 561 — проектирования 397, 442 Операторы самосопряженные 400, 562 — симметричные 56! -- сопРяженные 331, 399, 504, 530, 556, 614 — умножения на неэависиа)ую переменную 480, 546, 599 — унитарные 435, 537 — унитарно-эквивалентные 437 Подпрострапства вэаично-дополнительные 395 — инвариантные 470, 580 †, операции над ними 440 — линейного пространства 302 Подразделение 20 Подразделений произведение 20 Подразделения продолжение 20 Полнота пространства 275, 301, 388 — слабая регулярного пространства 319 Пополнение метрического пространства 275 Представление функционалз в гильбертовом пространстве 396 Приводимость оператора 58! Принцип выборз 50 Проекция элемента гильбертова пространства 393 Принцип сжзтых отображений 282 Произведение внутреннее 3!2 Пространства пэометричные 276, 302 — линейные нормированные 299 — линейных операторов 328 — метрические 274 — регулярные 312 — сопряженные 311 — ), и !л 180, 188, 198, 283, 503 — /.з и Г.„183, 188, 198, 284, 529 — Я„, ш, а, Л4, 3, ~' 283, 284, 285 1!Росгранс)ва С')', С')', ?У'" 376 - — С')' 358 — - Сп) 376 )Р)0 347 — Ж'ц) 350 Пространство Гитьберта 386 — С 52, 81, 284 — К 385 Разложение единицы 447, 583 — спектральное самосопряженных операторов 454, 584 — спектральное тнитарных операторов 484 Расширение операторов по непрерывности 305 — полуограниченных операторов 617 — симметричных операторов 607 †.
функционалов 307 Регулярного типа точка симметрично)о оператора 627 Рег)парная точка оператора 410, 575, 627 Реэольвента 4!О, 415, 459, 590 — матрицы 5!3 Ряд степенной от оператора 416, 498, 499 ~ Сепарзбелы)ость 298 Скалярное произведение 386 Собственные значения 408, 592 — — самосопряженного операторз 410. 461, 476 Спектр непрерывный 464, 473 †. оператора 408 - предельный 476 - простой 5!7 простой непрерывный 470 — сзмосопряжснно)о оператора 411, 476, 575 — симметричного оперзторз 627 — смешанный 475, 593 — точснный 4?6, 578 — чисто непрерывный 464, 593 — чисто точечный 463, 593 Спектра малые возмущения 598 )очки сгущения 476, 491, 492 — ядро 628 Спсктральнзя функция 455, 500, 589 589 инте) рального оператора в ?.а 534, 535 Сравнение полуограниченпых операторов 623 Средние функции 21?, 340 !твида(Р п(ый г((лзлтель (: уммы Ларбу — Стизтьеса 19 — Лебега 142 — Римана — Ститтьеса 15 Сходимость в метрическом пространстве 274 — в линейном нормированном про.
странстве 301 — в среднем 168 — операторов 329 — слабая в гильбертовом пространстве 417 — — в С 327, — — в Гл н Ер 326, 327 — — операторов 330 — — функционалов 313 — — элементов 315 Теоремы вложения 376 Тело множеств В 120 Унитарная эквивалентность самосопряженных операторов 483 — — матриц 520 Уравнение замкнутости 175, 390 — — обобгценное 179, 391 Уравнения операторные 333, 425 Фубини теорема 203 Фундаментальная последовательность 276 Функции абсолютно непрерывные 233, 246 Функции иножеств аосолютно непрерывные 231, 237, 259 — — адаптивные 225 — — сингулярные 229 — о(раничепной вариации 34 — — — на плоскости 78 — — — многих переменных 81 — промежутков 60 — скачков 29 Функций ортогональные системы 174 — — †, замкнутые и полные 177 функционалы билинейные и квадратичные 40! — линейные в гильбертовом пространстве 395 — — С 54, 319 — — Ер 320 — — гр 326 — — С'в 376 — — типа фуннции 376 — — в нормированном пространстве 282 — на компзнтных множествах 290 Фурье преобразование 540, 544 Эквивалентность функций 128 Эквивалентные нормировки пространств 1уг(0 360 Эрмита функции 544 Ядра, зависнгцне от разности 547 Слврлов Влобинир Ива ович Курс высшей мвтем.тики.
Том Н Редактор Г. Л. Акилов Теки. Редактор Р. Г. Лолвагол Корректор Е. А. Максимово Подписано к печати с матриц 9ЛН 1959 г, Бумага 50Х92Ню. Физ, печ. л. 41. Уел. печ. л. 41. Уч. нзд. л, 43,32. Тираж 25000 зкз. Цена 14 р. 50 к. Т-6657, Заказ № 470. Государственное издательство физико-математиче. ской литературы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
