1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 133
Текст из файла (страница 133)
е. (Ьла) есть С-асатрица, Докажелс слелующую теорему: Теорема Е Если унитарная миицсищс (с' ири.кепи.чи к (села], то обраспния мотрю!и (У ' применилсо к (Ьла), и и!сессбрссзовпннос! миисрицей будет (пла). Докажем формулы 648 [217 пРостРлнстио ГильвБРтл Если выполнено сказанное в определении, то из доказанной теоремы следует, что унитарная матрица, обратная матрице У с зле!сентами (и„ ), т. с.
матрица с этементами ип = сс р — †(у, фр), применима к (Ьлл) и приводит рч = чр = к преобразованной матрице (ала), т. е. унитарная эквивалентность двух систем есть свойство взаимное. Отметим еще, что !гул = Фа н У 'Фа = па. Основной в отношении эквивалентности систем является следующая теорема: Теорема 2. Лля того чтобы дас системы ала (ча) и Ьлл (Фп) были унитарно эквилалснтны, необходимо и достаточно, чтобы порождал.кые лми заэсхнутыс симметричные операторы А и А, имели в качестве своих продолжений один и тот жс симмстричпыб оператор Р.
Сначала доказываем необходимость. Пчсть системы унитарно эквивалентны. Мы инеем! (Ачт -,',) лл ~ (Ачт ~з) (Рл Ф~) пл У, 'т" ч г=! э=! с' 'кт (Р, Асфч) = у (Ь„А,Фч)(чр,ф,) = г Ьч ир и в ая нэ формул (199) показывает, что (Аур, Фч) = (Рр, Асфч). Равенство имеет, очевидно, место длл конечных лйнейных комбинаций Ур и Ф, Принимав во внимание ойределение Р(А) и Р(А,) и переходя к ссределу в скалярном произведении, получим: (Ах, у) = (х, А,У), если х С Р (А) и у ( Р (А,).
(202) Если х одновременно принадлежит Р (А) н Р (А,), то, кроме (202), (А,х, у) = = (х, А,у) н, в силу (202), (Ах — А,х, у) = 0 для любых у из Р (А,), и, поскольку Р (А,) плотен в гс, имеем Ах = А,х. Пусть Р (р) — линеал элементов х, представимых в виде х = х' + у', где х' ( Р(А) и у' ( Р(А), и положим ел= Ах'+ А у'. Если имеел! два представления: х = х' +у' = х" + у", где х' и хп ( Р (А), а у' и у" ( Р (А,), то из х' — хл = у" — у' следует, что х' — х" и у" — у' одновременно принадлежат Р (А) н Р (А,), и, в силу сказанного выше, Ах' — Ахл = А,уч — А,у', т. е, Ах'+ А,у' = Ах" + А,у", откуда следует, что определение Гх однозначно.
В силу (202) н симметричности А и А„ Г есть симметричный оператор. Он является, очевидно, продолжением А и А„ и необходимость доказана. Положим теперь, что симметричный оператор Р является продолжением А н А,. Мы имеем; л ! с, е. мы получилн первую из формул (!99). Совершенно аналогично может быть. получена и вторая. Повторяя доказательство теоремы 1, мы увидим, что (ир ) применимо к (а а), и имеют место формулы (!94), (195) и (196); унитарйая эквивалентность систем доказана. ар,и,а = с=! с=! = (Фт л-! (Аус, Рр)(фа, Рс)= ~~э (фп, Рс)(АРР, Рс) с=! Арр) = (фа, с.
Рр) = (Рра, Рр) = (Агфа, Рр) (А!Фа Фп) (Фл Рр)= ~ ирп пы 649 2!7[ !.УпгвстВОВч!и!В спйктэллш!Ой Фтикцни Из теоремы следует, по тнитарнэя эквивалентность систем вполне определяется порожденными ими замкнутыми симметричными операторами, и естественно понятие унитарной эквивалентности перевести с систем на замкнутые симметричные операторы, порожденные этими системами. Отсюда непосредственно будет следовать, что ограниченный оператор унитарно эквивалентен только сам себе, а мзксимальный — только своей части.
Унитарнан эквивалентность есть свойство взаимное, но не транзитивное, т. е. если оператор С, унитарно эквивалентен С, и С, унитарно эквивалентен С„, то о~сюда еще не следует, что С, унитарно эквивалентен С,. Это будет, очевидно, так, если С, — максимальный оператор, ибо С! и С, в этом случае имеют общее продолжение С,. Общзя теория С-матриц существенно отличается от теории матриц, которым соответствуют ограниченные самосопряженные операторы. Эта теория С-матриц изложена в работе 3. Хецшапп'а, Хог Тйеопе !!ег цпЬезсйгап)т1еп Матнлеп (Сгейе, Зон!па!, Вб. !61, !929) и в книге %!и!Вег'а, Ярешга!1Ьеоне бег цпепбйсйеп Ма1шлеп (! е!Ра!2, 1929).
218. Существование спектральной функции. Мы переходим теперь к доказательству основной теоремы из [192[, согласно которой для всвкого самосопряженного оператора А существует разложение единицы $1, с помощью которого он выражается интегралом Стилтьеса (58) из [192[. Мы можем пользоваться при этом теми свойствами А, которые выводились без помощи формулы (58). В [189[ мы без помощи этой формулы показали, что при любом невещественном л существует ограниченный оператор (А — йЕ) ', определенный во всем Н, так что формула х = (А — лЕ) и преобразует Р (А) биолнозначно в Н. Рассмотрим случай Х = -+- 1 и положим: хьч(А — !Е) и, у=(А+гЕ) е (и, п С Р(А)); и и=(А — 1Е) 'х, п=(А+(Е) 'у, (х,у (Н).
Мы имеем, в силу саиосопряженности А: [(А — !Е) '[ь =(А+1Е) ', Введи ограниченные самосопряженные операторы С= —,[(А — !Е) '+(А+!Е) '[; В=-,—.[(А — !Е) ' — (А+1Е) '[, (203) 1 ! 21 мы получим; (А — 1Е) ' = С+ (В, (А+(Е) '= С вЂ” 1В, (204) причем при любом выборе х из Н элементы Сх и Вх принадлежат Р(А). Из (204) следует: (А — 1Е)(С+(В) =(АС+ В)+!'(А — С) = Е, (А + 1Е) (С вЂ” 1В) = (АС + В) — 1 (А — С) = Е, откуда АС = Š— В; (205) АВ = С. (206) Если элел!ент х принадлежит Р(А), то мы люжем написать также; (С+ !В) (А — гЕ) х = х и (С вЂ” !В) (А+ !Е) х = л, откуда, раскрывая скобки и сравнивая с написанным выше, получим: АСх = САх, АВх = ВАх, (х ( Р(А)), (207) 680 ! 218 пяостяънстао гичьвйет'т т. е.
ограниченные операторы В и С' коммутируют с А в смысле определения из (191). Из формул ВС = ВЛВ = АВВ = СВ следует, что СВ=ВС, (208) т. е. В и С коимутируют между собой. Пользуясь (20о) и (206), получим В = ВЕ = В(В+ АС) = В" + ВАС = В" + АВС = В'+ С', т. е. В есть положительный оператор. Далее из формул ~ х,' = ! (Л вЂ” сЕ) и ' = ((А — гЕ) и, (А — !Е) и) = (! Аи !!'+ ' и ~т, !(у,'=' Ао!!'+~',о)э следует, что и ! ч !'х(! и !(о !( !у!!, т, е. нормы операторов (А — тЕ) ' и (А+!Е) ' не превышают елннипы, а потому, в силу (203), то же можно утверждать о В и С.
Покажем еще, что из Вх=О следует х=О. Действительно, если Вх= О, то (Вх, х) =(В'х, х)+(С'х, х) =О, т. е. (Вх, Вх)+ +(Сх, Сх) 0 или г Вхтт+(! Схр =О, откуда следует, что Сх=О. После этого форлгула (205) дает: х= Вх+ АСх=О. Кроме указанных выше свойств операторов В и С, нам понадобится еще одна лемма, доказательщво которой мы приведем ниже. Лемма. Пусть М„(п = 1, 2, ...) — попарно оргпогональные подпроюпранства, ортогональная сумма кояюрых дагт всг Н.
Пусспь далее в каждолс М„определен самосопряженный ограниченный оператор А„. При этом существует единственный самосопряженныа в Н оператор Л, совпадающий с А„в М„. Лннеал 2> (А) состошп из тех элементов х, для которых ряд, составляемый из , 'А„х„!', сходится, причгм через х„мы обозначили проекцию х в М„, и для указанных х мы имеелю Ах = 5' Ляха (209) л Вернймся к операторам В и С. Спектр В лежит на отрезке (О, !), и, поскольку из Вх 0 следует х = О, точка Л = 0 не принадлежит точечному спектру, так что, если мы через ут обозначим спектральную функцию оператора В, то $,' = О.
Обозначая через М„ то надпространство, в которое проектирует оператор (8'! — $' ! ), мы можем утверждать, что М„ попарно ортогональны и я+! и что ик ортогональная сумма равна Н. Если ограниченный самосопряженный оператор Р коммутирует с 9„', то, в силу теоремы из (148), М„ приводит Г. Это будет иметь место для С и любой вещественной непрерывной функции ! 1 от В (193). Мы положим ул(Л)= 1:Л при (Л( — и равной постоянной вне указанного промежутка, с сохранением непрерывности на концах, и введем самосопряженный ограниченный оператор чя(В).
Если г б М„, 1 ! то $' г = г при Л ) — и $' г 0 при Л ( . Это непосредственно и и+1 ' следует нз формулы Вл' = В;(В, — В , ) г и и+! и того, что $'У,„'= $,'Р' Р' прн р: Л. Есл» ьты выразим чл(В) г и Вг интегралами Стилтьеса через 5„' и воспользуемся определением у„(Л) и только что сказанным относительно $' г, то получим, что у„(В) В = = Вф„(В) = Е в М„, г. е.
В и тп(В) обратны в М„. Если гг: М„, то мы можем написать г = Вул(В) г, откуда видно, что из г б М„ следует г б П (А). 218~ стщпствпвание спвктяалщ!пй втнкции Потьзуясь (206), можно написать: Аз = АВул(В) г = Стл(В) г, отктда видно, что Л вЂ” ограниченный в Мл оператор, Прйнимая еще во вйимание, что С и ул(В) коммутируют и что Мл приводит С и ул(В), можем утверждатть что А есть ограниченный и самосопряженный в Мл оператор. Обозначим чсРез $!л! Разложение единицы, соответствУющее зтомУ опсРатоРУ в Мл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
