1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Прйсосдиняя все эти решения, полученные при различном выборе У(х)( Т.э(0) к О (А), мы придем к сачасопряжснному расширению А оператора А, причем Аи =у. (153) Поскольку А — самосопряженное расширение А, мы имеем 0(А) ~0(Ач). Но функции из 0(А") имеют внутри 0 обобщенные производные до второго порядка включительно, квадратично суммируел!ые по любой области 0', лежащей строго внутри О, и оператор Ал на них вычисляется как оператор Лапласа (188).
Поэтому и А есть оператор Лапласа, т. е. уравнение (158) имеет вид 208) 627 снккге симмзггичного опзгдтогд 5 области 77 [113). Отсюда ясна связь построенного расширения 4 с задачей Дирихле дая уравнения Пуассона: — Ди =д(л); и,з — О. (160) Все, что доказано выше ддя оператора Лапласа, справедливо и для общих лияейиых эллиптических самосопряженных операторов второго порядка (!Н; 147). Из теории расширения но Фридрнхсу следует для них разрешимость задачи Дирихде в обобщенном смысле — в смысае принадлежности решения к Ф'„н(0).
Оказывается, что в действительности это обобщенное решение задачи Дирихле, соответствующее расширению эллиптического оператора по Фридрихсу, принадлежит 1Гн (й') или лаже %",э'(77), если только 5 — достаточно гладкая поверхность. Это установлено в работе О. А. Ладыженской „О замыкании эддиптического оператора" (Дока. АН СССР, т.
79, №5, 19о)). Ээому жс вопросу посвящена работа О. А. Ладыженскои „Простое доказательство разрешимости краевых задач н задачи о собственных значениях дая линейных эллиптических операторов" („Вестник Ленинградского университета", № 11, 1955). 208. Спектр симметричного оператора. Мы авели выше понятие спектра самосопряженного оператора и установили классификацию его точек, В ближайших параграфах мы сделаем это ддя замкнутого симметричного оператора и исследуем изменение спектра при симметричных расширениях оператора.
Пусть А — замкнутый симметричный оператор. Число л называется точкой регулярного типа оператора А, если существует такое уг ) О, что для всех х с хд(А): [',(А — ЛЕ)х~,')уа'~1х~! (ю с О(А), (161) Из замкнутости А и (161) следует, что )с(А — ЛЕ) есгь подпространство и (А — ЛЕ) ' есть линейный ограниченный на )с(А — ЛЕ) оператор. Обратно, если (А — ЛЕ) ' существует на )с(А — ЛЕ) и есть ограниченный оператор, то отсюда следует (161), т, е, ).
есть точка регулярного типа. Как и в [129[, легко доказывается, ч т о множество точек регулярного типа — открытое множество. Число л назывзется регулярной точкой А, если выполнено (161) и )с(А — ЛЕ) есть псе Н. Если )с(А — ЛЕ)= Н, то Л не собсгвенное значение А, ибо Я(А — ЛЕ) должно быть ортогогонально к собственным элеменгам, и (А — ЛЕ) ' — ограниченный в Н оператор [186], т. е. выполнено (16!). Если Л вЂ” вещественная регулярная точка А, то (А — ЛЕ) ' есть ограниченный самосопряженный оператор, и, следовательно, А— самосопряженный оператор.
Покажем, что множество регулярных точек — открытое множество, Достаточно показать, что если Л,— регулярная, то уравнение (А — ЛЕ) х=у (162) однозначно разрешимо при любом у Е Н, если Л достаточно близко к Л,, Положим, что 1 [ ' — "э[ ( [,(А Л,,-)г 1[ [208 623 пгостглнство гильваэтл Урзвнение (161) перепишем в зиле (А — Л„Е) х + (Л, — Л) х =у, и оно эквивалентно уравнению х=(Л вЂ” Ло)(А — ЛаЕ) ' х+(А — ЛяЕ) 'у, а это последнее однозначно разрешимо при любом у ~ 0[88], ибо 1](Л вЂ” Л,) (А Л,Е)- [~ с.1.
Как и в [129], доказывается, что если Л=о+т1 и т-~ О, то [[(А — ЛЕ) х [[) ] т [[[х ![ (х ~ Р (А) ), (163) т. е. все невещественные значения Л суть точки регулярного типа, Положим, что точка Л, = о + т(, где т э'= О, есть регулярная точка. При этом, в силу (163) и сказанного выше о разрешимости уравнения (162), все значения Л, удовлетворяющие условию ~ Л вЂ” Л„~('т( будут также регулярными точками. Отправляясь от регулярного значения Л, и применяя должное число раз проведенное только что рассуждение, мы убедимся в том, что всякое невещественное число Л=о'+т'1, у которого знак т' совпадает со знаком т, есть регулярная точка, Это утверждение можно сформулировать в следующем виде: Лемма.
Если один из индексов дефекта рт или дт оператора А равен нулю при Л= Л, (ЗтЛ,' > 0), то он равен нулю длл всех Л из полуплоскостгг этЛ) О. Для самосопряженного оператора все невещественные значения Л суть регулярные точки. Дадим припер замкнутого симметричного оператора А, у которого нет регулярных точек. Пусть с1 есть Л,(0,1) и А есть оператор ! †,, рассматриваемый на множестве функций ~у(х) .в таких, что о(х) абсолютно непрерывна, на промежутке [О, 1], о(0)= =2(!)=0 и о'(х) принадлежит Ея(0,1). Это замкнутый симметричный оператор [!88].
При любом выборе числа Л функция е '"" принадлежит Лэ(0, 1) и ортогональна ко всем функциям ф(х), представимым в виде ф(х)=1  — Лэ(х), где 1~(х) е Р(А), т. е. е '1" ортогональна к )с(А — ЛЕ), откуда и следует, что Л не есть регулярная точка. Назовем с п е к т р о м оператора А множество точек плоскости )ь дополнительное к множеству регулярных точек. Это есть множество тех точек Л, в которых (А — ЛЕ) не имеет ограниченного обратного, определенного на всем Л. Назовем я д р о м с и е к т р а оператора А множество точек, дополнительное к множеству точек регулярного 209] нвкотоеыя твояямы о ялсшиявниях и их спвктялх 629 ~ипа.
Спектр н ядро спектра — замкнутые множества, и первое множесгво (спектр) содержиг второе (ядро спектра). Ядро спектра должно лежать на вещесгвенноИ оси. Спекгр может заполня~в иск~ плоскость, как это видно из приведенного выше примера. Если А †.самосопряженныи оператор, го ядро спектра совнадаег со спектром [189[. Нетрудно видеть, что ядро спектрз А принздлежит ялру спектра любого замкнутого симметричного расширения оператора А.
Эго следует из того, что принадлежность Л ядру спектра А равносильна тому, что существует такая последовательность х„ нормированных элементов из Р (А), что (А — ЛЕ)х„ =ьО при п — со. Это свойство, очевидно, сохраняется при указанных выше расширениях А. Проведем теперь классификапию точек ядра спектра оператора А. Г!редварительно рассмотрим тот случай, когда Л есть собственное значение А (Л вЂ” вещественное число).
Пусть Рт — подпространство соответствующих собственных элементов (включая нулевои элемент). Мы можем предеяавигь линеал Р(А) в виде ортогональноИ суммы Р (А) = Рх (1-1 Рт (А), (164) где Рт (А) есть линеал, состоящий из элементов, содержащихся одновременно в Н9 Р, и Р(А), Обозначим через А, оператор А, определенный на Р,(А) и совпадающий на этом линеале с А. Если Л не собственное значение, то Р, отсутствует и Р„(А) совпадает с Р (А). В этом случае будем считать, что А„ есть А, Мы можем утверждать, что (А, — )Е), рассматриваемый как оператор в ОЯ,РЛ, имеет при всяком Л обратный (Ат — ЛЕ) ', определенныИ на й(А — ЛЕ).
Значения Л, при которых (А„ — ).Е) ' есть неограниченный оператор, принадлежат ядру спектра. Эту часть ядра спектра назовем непрерывнои частью ядра спектра. Собственные значения также принадлежат ядру спектра, и эту часть будем называть точечной частью ядра спектра. Всякая точка ядра спектра принадлежит одной из указанных частей, но может принадлежать и им обеим. Будем говорить, что собственное значение принадлежит ч и с|о точечной части ядра спектра, если (А, — ЛЕ)-' — есгь ог- раниченныИ на й (А — ЛЕ) оператор. Всякая гочка ядра спектра принадлежит или непрерывноИ или чисто точечной части ядра спектра и притом только одной из них.
При замкнутом симметричном расширении А непре. рывная и точечная части ядра спектра могут только расширяться. Негрудно видеть, что, в силу замкнутости А и Аы непрерывная час~ь ядра спектра А характеризуется тем, что )с(А — ЛЕ) есть незамкну- тыИ линеал.
209. Некоторые теоремы о расширениях н их спектрах. Нзчнем с доказательства следующей теоремы: Теорема Е Если Л вЂ” вещественная точка регулярного типа замкнутого спм.иетрпчного оператора А, то существует такое 630 ]209 пгостелнстао гильвввта самогопрнженное расширение А оператора А, длн которого ),— оегулярная точка. Не ограничивая общности, можно считать ),= О. Из условий теоремы следует, что Я(А) — подпространство, и на нем определен ограниченный обратный оператор А ' ]208].
Надо доказать, что суще° ' ствует такое самосопряженное расширение А оператора А, для которого сс(А )=Н [189]. При указанных условиях мы имеем: Н = — К (А) ГТ) и, где У вЂ” подпространство всех решений уравнения: Аьи=О ]186]. Известно, что в рассматриваемом случае )с(Ав)=Н ]187], и, следовательно, для любого и ~ У существует но крайней мере одно решение уравнения Аав=сс. (165) Обозначим через И линеал всех решений уравнения (165), когда и пробегает все У.
Очевидно, что УС Ъ'С В(Аь). Обозначим через У линезл элементов )с, ортогональных У, и построим линеал 1 элементов х, предстзвимых в виде х=у+и, (166) где у г 0 (А) и и ~ У. Покажем, что представление х в виде (166) единственно. Если бы это было не так, то существовал бы элемент г, отличный от нулевого, принадлежащий одновременно 0 (А) и О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
