1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 127
Текст из файла (страница 127)
действительно ограниченное в норме Нд множество из Нд компактно в Н, т. е. оператор %' вполне непрерывен. Докззываем достаточность. Пусть Ю' — вполне непрерывный оператор и У в огрзниченное в Н множество элементов: если х „ У, то ~)х:( ~ С. Надо доказать, что у = А 'х — компактное в Н множество. Элементы у принадлежат, очевидно, Р(А), и мы имеем '1у(д=(Ау, у)=(ху)~ Сеу~ — =~~у (/д откуда )у!д ( )с~яд ) тд т. е. множество ограничено в норме Нд и тем самым, в силу того, что Ж' — вполне непрерывный оператор, компактно в Н.
Теорема доказана. 206. Сравнение полуограниченных операторов. Пусть А и В— полуограниченные самосопряженные операторы. Говорят, что А не меньше В, и пишут А)В, если Р(А) с: Р(В) и (Ах, х))(Вх, х) при х Р Р(А). (151) Если А и В имеют чисто точечный спектр и собственные значения А и В можно пронумеровать в порядке их неубывания, учитывая их кратность, то, перенося минимо-максимальный принпип [136] на случай неограниченных операторов, можно показать, что Л„(А) ) Л,(В), где Л„(А) и Л„(В) и-ое собственное значение А и В. Мы докажем несколько более обшую теорему.
Теорема. Пусть А ~В и спектр В, расположенный на полу- прямой Л(р при некотором р, состоит лз собственных значений конечной кратности, которые не нмеюгп точек саутения, меньших р. Прн этом спектр А обладает тем же свойством и Л„(А) ) Л„(В) на упомянутой полуппямой. Достаточно показать, что при любом 5(р, причем Ь о~лично от собственных значений А и В, раамерность подпространства, соответствуюнгего проектору Ро, не больше размерности подпространства, соответствующего проектору Вь где Р1 и Рх — спектральные функпии А и В: 61шйо Н(г11гпРо Н, (152) Предположим, что имеет место обратное неравенство.
При этом в Ро Н должен сУшествовать ноРмиРованный элемент хо, оРтогональный ко всему с, Н. Отметим, что хо е Р (А) и тем самым х, Е Р (В), ибо хо из рьН= (Ро — 6 д о)Н. Мы имеем + о» о (Ахо, хо)= ~ Лй(йк хо хо)= ~ Лй(бл хо хо)~й,.хо~,'=5 (15~) оод -О о~д — О [207 624 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬЩИ'ГЛ С другой стороны, в силу х„! ГсН имеем СО х)= ~кас(Г, х„, х,), 7 (Вх„хе) = ~ 41 (Ел х„ мл-о + СО [х, У]А — '] Ы(8 х, У), ил — О (155) где Рх — спектральная функция самосопряженного оператора А. Отметим еще, что НА ь.л состоит при всех а) — шл из одних и тех же элементов.
Это следует из того, что Р(А+аЕ) не ззвисит от а, и при всех а) — тл нормы НА+Од эквивзлентпы. Отметим, что оператор А может быть н самосопряженным. Нетрудно показать, что условие (151) равносильно условию х]А~ [-» -»]В, а также тот факт, что спектр самосопряженного оператора А на полупрямой ) ('р, где роль !л указана в теореме, можно найти как последовательные нижние грани(Ах, х) при хе Р(А) и х!,=1, при условии ортогональности х к уже найденным собственным элементам [ср. 136].
Можно заменить эту задачу на задачу последовательных минимумов [х, х]А при х» НА и [х'][=1. 207. Примеры иа теорию расширений. !. Мы доказали раньше, что ст оператор П = с — в пространстве Н = ьх (О, +со) не имеет самосопркженных СУХ расширений (1885 Мы будем придержнва и ся здесь обозначений из (188! н 1!о, поскольку Ех постоянпо в некоторой окрестности точки ) =8, существует такое е) О, что СО (Ехе х,) = ~ )с((Е» хи х,)~8+ -. л -~- Это неравенство противоречит (151) и (153), и тем самым неравенство (152) доказано.
3 а м е ч а н и е. Вернемся к симметричным полуограпиченным операторам. Пусть А — такой оператор (не обязательно определенно положительный). Определим для него пространстно НА. Пусгь ив любое число, удовлетворяющее неравенству а) — тл, так что оператор А+аŠ— положительно определенный. Будем считатьн что НА состоит из всех элементов НА + „и и введем в НА билинейный функционал [х, у]А, который является расширением (Ах, у) на все НА.
[-» У]А — [х У]А + «а а (-» У). (154) Функционал [х, у]А непрерывен на НА. Нетрудно показать, что 207) пш|мвеы нл тпоеию елсшиеиний докажем упомянутып результат, позьзуясь индексами дефекта. Напол|ним, что замкнутый симметричный оператор А есть оператор О, определенный на множестве функций у(х), абсолютно непрерывных на любом конечном промежутке [О, а[ с производной из ул (О, + со) и удовлетворяющих условию у (0) =О, Оператор А ' есть оператор Р на множестве функций у(х), удоваетворяющих указанным выше условиям, кроме условия е (0) =О. Построим пространства М;(А) и М ;(А) собственных элементов оператора А'', соответствующих собственным значениям .л-1, т. е.
надпространства решений уравнений Аа ф (х) = -л- !ф (х) иаи !ф'(х) = -л- !ф (х). Мы получаем 6 (х) = Се" и ф(х) = Се ". Но е" не принадлежит !.л(0, + со), и мы видим, что индексы дефекта оператора А суть (0,1). Оператор А явзяется максимааьным операторолк уг(А) есть все ут(0, + со) и Е т(А) состоит из функций, принадлежащих !.л(0, + со) н ортогоназьных е " на промежутке (О, + со). Если ввести ортонормированную систему функций Лагерра: уа(х) = = е ерл (х)(Д = О, 1, 2,...), где рл (х) — поенном степени й, то нетрудно показать, что (/ул(х) = ул ,(х), где !l — изометрический оператор, переводящий Л|(А) в !.;(А), т.
е. А есть элементарный симметричный оператор. 2. Рассмотрим оператор Л (у) = — у" в пространстве !! = !.л( — со, + со). Через А обозначим этот оператор на линеаае !)(А) финитных функций, имеющих непрерывные производные до второго порядка. Эло — симметричный оператор.
Сопряженный Ал есть, как нетрудно показать, тот же оператор !.(у) на зинеазе функциг< у(х) со сзедующиии свойствами: у(х) ну'(х) — абсояютно непрерывные на любом конечном промежутке, а у(х) и у" (х)с Ел( — со, + со). Можно показатгч что при этом и у'(х) ( ул ( — со,+ со). Оператор Х"""'=А совпадает с А""', т. е. А есть сал|осопряжснный оператор [ср. 188). Уравнения — у" =-л- !у не имеют решений из (.л( — со, +со). Рассмотрии теперь тот же оператор !. (у) на промежутке [О, + со). Пусть Р— аинеаз функций у (.к) со следующими саойстваии: у (х) и у' (х) абсолютно непрерывны на зюбои конечном промежутке [О, а[, а у(х) и у" (х) с уе(0,+со).
Определим еще зинеаз ! тех элементов у(х) из !', которые удовяетворяют условиям у (0) = у'(0) = 0 и 1пп ( — у'з + уг') = О, х — ел при всяком г (.т) ( !'. Если А есть оператор !.(у) на 1, то А ' есть тот же оператор на !', причел~ А — заикнутый сиииетричный оператор. Уравнения — у" = -л-ту имеют по одному(с точностью до постоянного миожитеяя) решению из А~(0, + со) )г — ~! .~.!| х г у =е " так что индексы дефекта А суть (1,!). Для получения самосопряженного расширения надо поставить одно предельное условие на конце х = О. В случае условия у (0) = 0 оператор не имеет точечного спектра, и непрерывный спектр заполняет промежуток Л.- О. Имеется единственное дифференциальное решение 1 1 у( )ее — ! )ГЛ с Л вЂ” — 1 У'Л х).
х, х Строп резояьвенту, т. е. решение уравнения — у" +(а+ с!)у =у(х) при усзовциу(0) = 0 и т) О, и переходя к предеау, подучим спектразьную функцию +то +ел 1 [".1) )/2Л(х — !) 1 [' з!п ИГЛ (х+1) о о (207 626 пиостплнство гильвкгтз Все эти результаты получаются при помощи простых вычислений. Нетрудно показаттч что если у (л)( Р (Ал), то у'(х)( Ет(0, + со). Теория линейных дифференциальных операторов второго порндка будет изложена в шестол! томе. 3.
В (188) лгы рассмотрели оператор Лапласа в пространстве йэ(0). Для указанного там оператора А выполнены все условия теоремы 3 из (!87), н мы рассмотрил! сачосопряженное расширение А по Фридрихсу. Пространство Ол получается пополнением О (А) в метрике: Но эта норма эквивалентна норме Ючэ'(0) (114), и, следовательно, Нд есть о и 1фч!'(О). Напомним, что Ф'," (0) получается пополнением в норме Мп' (О) множества всех один раз непрерывно дифференцируемых финитных функций.
Но нетрудно видеть (процесс усреднения), что в качестве исходного множества можно было бы брать бесконечное число раз непрерывно дифференцируемые фииитные функции. Функционал Уг(п) на и с 0 (А) имеет вид Уг(п) = ( — Ди и — 2)(е(и 7)) йх, где у(к)( Еэ(0), или ,/у(и) = ~ [~~) (и„/л — 28е(иУ)~ пх. д (156) (157) — лг п„=у(х). ! (159) Итак, мы показали, что решение указанной вы!ив вариационной задачи принадлежит нс только Ф"„о(0), ион Чгт" (О'), где О' — любая область, леткащая строго внутри О, и что оно удовлетворяет уравнению Пуассона. С другой сторонй, уравнение (159) ил!ест бесчисленное лгножество решений из (.л(0).
Достаточно к упомянутому выше решению добавить гармоническую функцию из (.э(0). Условие принадлежности решспив )Уг',"(О)выделает из этого класса решений одно, которое мы и получили из вариационной задачи. Это решение должно обращаться в определенном смысле в нуль на границе ч В этом виде он имеет смысл для любой функции и ~ В",о (0), и вариациа оиная задача из (295) состоит в нахождении той функции и( В"„и (О), котораи дает наименьшее значение функционалу (157), Мы видели, что эта задача имеет единственное решение при любом г"(х)( Ел(О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
