1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 131
Текст из файла (страница 131)
))ействительно, в силу доказагшол теоремы, существует такая последовательность 1„= 1„+1'„2 «конечных элементов>, что )х — 1„)'=Гх' — 1„(д+дх" — 1'„'1«-+0, и,"Ах — А!„"= = ~ ~Ах' — А(„''дд+ ( Лх" — А1„" '1»-д О, откуда следует '! х' — 1„'1'-д О, ;'Ах' — А1„')-д О, '!х" — !„"!-д О, ( Ах" — А1„"'1 — д О.
Принимая во внимание, что А=А', получим наше утверждение. 215. Матрицы Якоби. Применим предыдущие результаты к случаю матриц Якоби: ан Ьд 0 0 0 !;;, дЬ» а, Ь, 0 О...', 1 0 Ь, а, Ь, 0 ... ,'0 0 Ь. а, Ь«... причем а; вещественны и Ьг) О. Условие (179), очевидно, выпол- няется. Нумерация ортов начинается с я=О. Строим веслественные полиномы Рд(Л) по формулам [ср. 167) ЛР» (Л) = Ь»Рды (Л) + а Р, (Л) + Ь»,Р», (Л), (183) Р,(Л)=0; Рд(Л)=1, из которых слелует (184) ед = Рд (Л) ед, где через ед мы обозначили орты.
Теорема 1. Если сходится ряд 1 Р»(1) ! (185) д-о (1=) "1), то оператор А — леса иосолряженный. В силу схолимости (185) можно образовзть элемент х из уд с составляющими х»=Р»(1), так что (х, ед)=Р»(1). Принимая во внимание, что Аед = Ьд,ед, + аде»+ Ьдед„о и формулу (183), получим: (Аед, х) = Ьд, Р,, Я+ адР» Я + Ь»Р»„(г) = гРд (1), откуда, в силу (ед, х)=Р»(г), можем написать: (Аед, х)=(ед, (х). В силу дистрибутивпости А и скалярного произведения, инее г 640 [215 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЪБВРТЛ (Ау, х)=(у, !х) для любого «конечного элемента» у и, в сщ<у теоремы из [2 14[, это равенство справедливо для ли<бого у из Р (А), а погому хЕ Р (Аз) и А*х= !х, откуда и вытекает, что А — несамосопряжэнный опера~ар.
Теорема 2. Если ряд (185) расходится, то оператор А— самосопряжднный. 1(остаточно доказат<ь что Ль не имеет собственных значений <-1. Предполагаем обратное. Пусть А*х= гх, где элемент х(хм хь хь,...) огличен от нулевого. В силу определения Аь и того факта, что е» С Р (А), имеем (Ае», х) = (е», <х) или (х, Ле„) =1(х, е„) = !х», т. е. (х, Ь»,е», + а»е» + Ь„е»ы) = <х». Раскрывая скалярное произведение, получим: Ь ,х», + а х» + Ь»х»„, = <х».
Пользуясь (183) и методом полной индукции, получаем отсюда: х» = Р,(!)х, и х<, Р'= !). Но это противоречит расходимости (185). Если заменить в (185) 1 на ( — г), то, в силу Р»( — <)=Р»(1), получится, очевидно, также расходящийся ряд, и, как и выше, А* не имеет собственного значения ( — <); теорема доказана. Таким образом расходимость ряда (185) является необходимым и достаточным условием самосопряженности А. Повторяя дословно доказательство двух последних теорем, можно показать, что если ряд (! 86) ) Р»(а) <' »=о сходится при каком-либо невещественном я, го з и з суть собственные значения Л", и если ряд (186) расходится при некотором невеществен<юм з, то и и и не являются собственнычи знзчениями А"', откуда следует, что А — саь<осопряжанный оператор, т.
е. и ряд (!85) расходится. Наоборот, если (186) сходится при некотором невещественном з, то А* имеет невещественные собственные значения и А— несамосопряженный оператор; ряд (!85) так;ке сходится. Эти рассуждения приводят к следующей теореме: Теорема 3. Возможны лишь следующие два случая: ряд (!86) расходится пра любом невещественном з ллп схо<)итси при любом невещеспгвенном а.
В первом случае А — са.чосопряженный оператор, а во втором — несамосопряженный. амадее из доказательства теоремы 2 непосредственно следует, что если (!85) сходится, то составляющие собственного элемента А*, соответствующего собственному значению 1, удовлетворяют равенствам х» = Р,(1)х, (й = 1, 2, ...), где х, произвольно и отлично от нуля, т. е. подпространство М;(А) одномерно. Совершенно так же и М ;(А) — одномерно. Оно получается, очевидно, из М;(А) заменой элементов х» на сопряженные. Таким образом во втором случае индексы дефекта А суть (1,1). Элементы х, и х; надпространств .11<(А) и М ;(А) л<ы иожем определить с точностью до произвол1- 216( 641 млтеицы якОБи ного комплексного множителя формулами хг= Рд(1)е»; х;= т Р»( — Г)е», У С о »-о д=о и элементы подпространства П(А») самосопряженного расширения Ав оператора А определяются единственным образом формулой о = =хл + «хм где ха ~= П (А), « — любое комплексное число, х„ = в в =1(е в х;4-ев х) и 0(9(2«.
Пусть Р> — спектральная функция А в первом случае или какого-либо А„ во в~ором случае и р(Л)=(6»еь, е,). Совершенно так же, как и в [167(, мы имеем: + со в г С») О, (С» О СС» = ( + СО СО (Аед, е,)= 5 лР»(л)Р,(л)с(р(л), е„= 5 Рд(л)с(6»ео, причем во втором случае А надо заменить на Аь Элементы матрицы (!82) выражаются, очевидно, формулами а,.д — 5 лР» (л) Рг (л) схр (л). Л)=р(р); а»= 5 оо(л) Рд(Л)др(л)= СО = 5 Рд (л) с(р(л).
1- О». М Теорема 4. Полиномы Рд (Л) образуют за,мкнутую систему относительно р (Л). ()усть ср (Л) — функция, равная единице при — со(Л =!си нулво при Л)р. Любая функция г.(Л), принимающая конечное число значений ап ав , а , причам всякое значение ад она принимает на конечном промежутке, может быть представлена, очевидно, в виде конечной линейной комбинации функций сро(Л) при различных Если мы при любом !» докажем уравнение замкнутости для в» (Л), то оно, в силу обобщенного уравнения замкнутости, будем иметь место для любой линейной комбинации функций оя(Л) и, тем самым, для всех функций и(Л) указанного типа. Но линеал таких функций повсюду плотен в с.в относительно р (Л) (60], а потому Рд(Л) образуют замкнутую систему (60(. Итак, достаточно доказать уравнение замкнутости для сро(Л).
Вычислим интеграл от ср,',(Л) и коэффициенты Фурье этой функцйи: .~- СО -~- о» .„(Л) бр(л) 5 бр( 1 — со, Р1 642 (218 !1РостР«ссство гильгаитл Надо проверить нри лсобом р. равенство: р(1.) — ',) ~ Р,(Л) (р(Л). ~ Р«(Л) (р(Л), «-О(- .,О) (-аа, Ш Мы имеем, в силу уравнения замкнутости, р(р)= ~$„еа(,с= ~~) (раеа, е„)(есл $ е«), н досгагочно проверить равенство ($ле«, е«) =(е, !алел)= ~ Р„(Л) г!р(Л), с — аа, Ш правая састь которого — вещественна. Но это последнее равенство непосредственно вытекает из указанного выше интегрального представления е, (ср. 192), и теорема доказана.
Укажем еша один простой достаточный критерии самосопряжанносги матрицы (182). Из (!83) непосредствессно следует формула Р«, (а) Р«(а) — Р«ы (а) Р«(а) Ь„ ) ~с + Ь Р«(а) Р«с (а) — Р«(а) Р«с (а) )с от Ь = О до Ь = п — 1, получим тождество: и, суммируя по л — с Рл (а) Рл, (а) — Рл (а) Р„, (а) а — а прн я=с и, в частности л (Р ')'" — Ь ( ) л 2с = Ьл,!ш (Рл(с) Рл, (!)]. В силу РО(Л)=1 левая часть ) 1, откуда следует: — !пс (Р„ (с) Рл , (!)) ( ! Р„ (с) ! ° / Рл , (с) / ~ л-с -.
— [ ! Рл (С) )~ + ( Рл , (!) 1~1, и, суммируя от и = 1 до и = си + 1, полу чим: лс лс + 1 ~ ,' — ,'~. ( Р. (!) (', л = О л О откуда непосредственно следует, в силу теоремы 2: 643 2!6) млтпицы якови и имели соотношение ЛУ/а (Л) = - У/л„, (Л) + Лол, (Л) 1 и интегральное равенство (!ПН 157! .1- са е ' 7/ле(1)лЛ=2ля! )/я. (! 88) (189) Для того чтобы получить в дальнейшем нормированные поаиномы, вместо(187) введем нолиномы Ра(Л) — е' - (е ), ( — 1) ой м )/2 а! йл' (190) после чего соотношение (138) перепишется а виде .в/а+! . /'а ЛРл (Л) = т/ — Рл ,(Л) + а/ †, Рл ,(Л), 2 2 причем Р,(Л)= !.
Таким образом, если мы возьмем матрицу Якоби, полагая ел=О; Ьа= ат/ —, (8=0, 1, 2,„.), . /)+1 2 то мы и придем к цолнномам (190), причем будут иметь место формулы (ср, !И; 23)! е- ' Р„(Л) Р, ().) Л), = ! )/я 3 " " ' ' 1!прил=6 00 ~ 0 при ' а — 7! Л'= 1, = е ' ЛР„ (Л) Р (Л) йЛ = -' С~ ~ !/ нри ! =а+1. Из теоремы 5 следует, что в рассматриваемом случае А есть самосонряженный оператор. Принимая во внимание написанные выше интегральные формулы, можно показать, что для оператора А: а(Л) = —, Л! е '" ЯН, Теорема 5.
Если ряд, составленный нз 1:Ь„, расховится, то А — самосопряженннй оператор. Укажем еще без доказательства на два факта, непосредственно связанные с предыдущим изложением. Можно показать, что если А имеет индексы дефекта (1,1), то ряд (186) сходится при любом значении и. Если же А — самосопряжаннып оператор, то (186) расходится и при вещественном я, кроме тех, которые соответствуют точечному спектру А, если таковой имеется. Кроме того, при индексах дефекта (1,1), всякое самосопряжднное расширение А имеет чисто точечный спектр (см. Н.
И. Ахиезер. Бесконечные матрицы Якоби и проблема моментов, Успехи матем. наук, т. 1Х, 1941). В качестве примера матрицы Якоби рассмотрим полиномы Эрмита. Мы онределяли патиномы Эрмита равенством йь Оа(Л)=( — 1)ье' -Ла(е 'е) (187) 644 [216 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВЕРТК (191) аы=(АРь Тя)=(уь АТО) (аая = а„а) элементы некоторой матрицы «, мы имеем: х« = 1) а„„ха, (192) а=! где х» — составляющие некоторого элемента х, т. е.
ха=(х, Рк), и ха— составляющие преобразованного элемента, т. е. ха=(Ах, Рл). Таким образом прн определенном выборе ортов оператор А выражается матрнпей согласно формулам (192). Если мы выберем другую систему ортов ф„ ф„,,,, и (С есть унитарное преобразование такое, что (СТА = фа (й = 1, 2,...), причем ирч —— = ((суу, Рр) = (фь ссср), то оператору А будет соответствовать матрица с эле- ментами ОО СО Ьяа=(АфЬ Фя)= (К, (АФЬ Р )(Фь Т*)ОО ~~ (ФЬ АТС)(ф Тс)ОО С=! С (Фя Ы Э (фЬ РС) (Асссс, с)С) с с=! с ! (193) причем мы использовали обобщенное уравнение замкнутости (18!) из [12Ц .
Принимая во внимание введенные выше обозначения, можем написать: СО СО Ьял = ) ин! у а Сиса. (194) с-! Если мы применим эту формулу к Ьа„— — Ь„ь перейдем к сопряженным величи- нам и в правой части лак!енин букву з на С и С на з, то получим: Ь„а — — У иа, У и,„а,с. (193) с=! с-! Совершенно аналогично буден иметь; а а = ) иш',) Ьссиас«О',к иы р сс«Ас л=! с-! с=! Я=! (196) Наоборот, если задана матрица «(а„„) (ал„— — а„а), удовлетворяющая условию ограниченности [163[, и фиксировайа система ортов Ра(й = 1, 2, ...) в Н, то формулы (192) определяют ограниченный самосопряженный в Н оператор А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
