1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 132
Текст из файла (страница 132)
При этом й-й стодбец матрицы ( а„а ) дает составляющие преобразованного Оператор А имеет простой непрерывный спектр, расположенный на всем промежутке ( — со, +со), 2!6. Матрицы и операторы. Мы исследуем связь между матрицами и симметричными операторами в гильбертовом пространстве Н. Положим сначала, что в этом пространстве задан ограниченный самосопряженный оператор Л, и пУсть Уп Рк,...
— какаЯ-либо полнаЯ оРтогональнан ноРмиРованнаЯ система элементов из Н. Определяя формслой 645 2161 ь>чтннцы и ОпвРлтОРы элемента, полученного из орта Р», так что мы можем написать: АУ» = У ал»ул. л=> Более сложной представляется связь между матрицаии и неограниченными операторами. В дальнейшем матрицы, удовлетворяющие условию симметрии (и»а= ил») и условию (179), назовем С-матрицами. Пусть имеется замкнутый симметричный оператор Р с линеалоч 7) (Р), илотныч в Н. Выбираем полную ортогональную нормированную систему элементов 7» так, чтобы все 7» принадлежали 7)(р), и определяем по формулам (191) с заменой А на р элементы матрипы ( ал» ). В силу симметричности оператора Р и уравнения замкнутости можем утверждать, что ( ал» ) есть С-матрица.
Применяя к скалярному произведению (Рх, Рл) = (х, РР») обобщенное уравнение замкнутости, причем считается, что х ( г»(В), получи>с «ь ьь хл=(ГХ, Рл)= ~~ (Х, Р») (РР 7»)= ~ ал»х» (!97) »=> »-> т. е. оператор Р выражается формулами (192) в ортах ч». Линеал 77 (Р) содержит, очевидно, все „конечные элементы", т. е, все конечные линейныс комбинации ортов, и, поскольку оператор А, определенный в (214) на основе матрицы ( а„» ), является замыканием оператора А', определенного формулами (192) на лийеале „конечных элементов", мы можем утверждаттч что А с: г", следовательно, Рк с: А*, т.
е, Рл также определяется формулами (!92) на соответствующем линеале Ь (Рл). Если Р есть расширение А, то, в силу теоремы 1 из (186), 77 (Гл) есть лишь часть 7)(В), определенного нами в (214). В данном случае одна и та же матрица дает различные операторы. Если вместо 7» мы примем другую систему ортов фь, также принадлежащую 7)(р), то оператор р выразится матрицей ( Ьл» ), причем, как и выше, будут иметь место формулы (!92) и (!97) с заменой а„» на Ьл».!1оложим теперь, что задан не оператор, а С-матрица ( ал» ). Выбираем произвольную систему ортов 7» из Н и определяем оператор А' формулами (!92) или (197) на линеале 77(А') „конечных элементов". Замыкание А' приводит нас к некоторому замкнутому симметричному оператору А. Будем говорить, что оп е ра тор А порожден матрицей (ал»] и системой ортов ч» и будем писать: А а„» ( 7» ).
Оказывается, что таким образом можно получить любой симметричный замкнутый в Н оператор. Теорема. Любой симметричный замкнул>ый оператор А е 7) >АД ило:аной л Н, можеа> быть порожден неко>порой С-ма>ирийей и системой ор>лол ч». Достаточно построить соответствующие орты 7» из 77(А). Матрица определится формулой (!9!). Эти орты 7» должны обладать следующим свойством: длн всякого х из 0(А) существует такая последовательность ыл «конечных элеме>пов», что ы„=) х и Аы„=) Ах. Для получения таких 7» достаточно построить такую последовательность ы„ из 77 (А), что для любого х из 7>(А) существует такая подпостедовательиость ь»„, ь»„Р ..., что »>„ =) х Аи„ =) Ах.
Ортогонализация м„ и приведет, очевидно, к 9», причем из л>,— †-ь х и того, что 7)(А) плотно в Н, следует, что последовательность ы„ л> плотна в Н, так что система ортов 7» — полная. Переходим к построению ь>„. Берем какую-нибудь последовательность элементов уь уль..., плотных в Й. (2(В пРостРАнстэо ГильвпРтя 217. Унитарная эквивалентность. С-матриц.
В предыдущем пвраграфе мы имели две системы и„а (Ра) и Ьпа (фа», поРождающие один и тот же оператор А. При этом числа ирч были элементами матрицы, соответствующей унитарному преобразованию (Уеа = фа в ортах Ра. Внутренняя сумма формулы (194) представлнет собой скалярное произведение (Афа, Р„), и, в силу уравнения замкнутости, мы можем утверждать, что квадрат модуля этой суммы образует сходящийся ряд при суммировании по з. Внутренняя сумма в выражений (!95) получается из внутренней суммы выражения (!94) переходом к сопряженной величине, перестановкой з и С н заменой й на и, а потомч и злн нее справедливо сказанное выше при суммировании по С, т. е, сч сч ~) ~~~~ а сиса ( оз; ~~Э исаа, ( П 98! с=! с=! с ! Вто приводит нас естественно к следующему определению: Определение.
!. Говорят, что унитарная маерици (ирч» примсними н С-матрице (а„а», если выполнены условия (!98) й если поаторныс суммы (194) и (195) приводят и одному и толсу же результату. Полученная .читрица (Ьяа) называется преобразованной матрицей. Из того факта, что (а„໠— С-лсатрнца и (ирч] — унитарная матрица, следует, в силу нераиенства Коши, абсолютная сходймость внутренних рядов Пусть р, 4, г — какая-либо тройка целых положительных чисел. Если существует хоть один такой элемент х из ХУ(А), что,«Х — х!! ( — и «! У.
! г ж 1 — Ах , '~ †, то указанной тройке мы сопоставляем один из таких элеменг' тов .с н обозначаем его х„,,„. Этн элементы можно, очевидно, пронумеровать «!), и мы покажем, что они обладают требуеиыми от и„ свойствами. Пусть .т с Хт(А) и с — заданное положительное число. Выбираем г, удовле- 1 с .. ! ~воряющее неравенству — к~с —, и элементы 7.
и Х так, чтобы '! Х вЂ” х «*ц— 2' 'Р 9 ' 'Р г 1 и,"У.„— А.т, что возможно, ибо 'У„плотны в П, Прн этом существует г' 1 1 элемент х „, ч с такой, что !,'хр — лр, ,г,", ( — н , 'У. — Ах„, 4,,11 --, откчда, принимая во внимание, что «х — хр, ч, с , '( УГУР— х,'! + 'Ер — хр ч,, «; '.4х — Ахр, ч, с", .! Iч — Ах !-Г17.
— Ахр, ч,,". 1 и что — ( о, позУчаеьс,'«х — хр ч,, ! < с и ! Ах — Ахр, е,, ' ( с. Отсюла, г 2' ввиду произвольности ', н следует, что хр, е, с обладают тем свойством, которым мы виске охарактеризовали последовательность ы„; теорема доказана. Один н тот же замкнутый сиыметричный оператор может быть порожден различными матрицами и ортами. Если А а„а (ча) и А . Ьча «фа), то, вводя унитарный оператор (7, указанный выше, и полагая ир — (ф, Рр), получим формулы (194), (195) и (!96).
Отметим еще, что если à — заданйый симметричный замкнутый оператор, система ортов уа принадлежит П(Г), (апь)— матрица, определяемая формулой (191) при замене А иа Г, и А а„а «еь), то Г или совпадает с А или является расширением А, как это мы видели выше. б47 т«нтарнля э«яиихяпсгюсогть С-матриц 217! в Ь 'в' Ьла сеча = . п„агч ° л=! с=! у и,лола= ир,иий и л ! с==! (199) Достаточно доказать первую. Вторан доказываетсн аналогично. Мы имеем: В силу (198), сумму, стоящую в круглых скобках, можно расслсатривать как составляющую с некоторого элемента $ из Ьр Обозначая через у унитарный оператор в Си осуществляемый матрицей (ирч), можем записать правую часть последней форлсулы в виде: (200) откуда и следует непосредственно первая из формул (199).
Из (199) непосрелственно слелтет; лл со )е с ирлбт ~ (,хч а-! !л=! Ьл„и „( ~, (201) л=! и-! Действительно, обозначая тсс = орс, имееи элемент ч из (а с составлнющими чс, и правая часть первой из формул (199) может быть записана в виде (у сч)а, откуда и следует непосредственно первое из условий (201).
Второе доказывается аналогично. Ввали еще элемент т' из (л с составляющими т„ = Ьлв, можем записать первую из формул (199) в виде: (ут!')р — — (у ст!)», откуда (у '«)„= = !)Ч')р, умножая на и а и суммирчя по д, получки: т, е. одну из формул (!90). Вторая доказывается аналогично; теорема доказана, дадим теперь определение унитарной эквивалентности двух систем пл„ (у„) и Ь„„ (фа), каждан из которых содержит некоторую полную систему ортов, Опрвделенав 2 Рве сиетелсы ала(у„) и Ьла(фа) нпзываютея униспврно эквивилентнылщ, если уншппрнпя м'атрица СС е элелсентпми и ч —— (ф, В ) применилсп к (а„а) и приводит к преобразованной лсисприие (Ьлл).
рч= ч 'р формул (194) и (!95), а из ссловий !!98! слс В сг схоличосп и внешних рядов. В силу сказанного выше о внутренних суммам одно из условий (!98) влечет за собой второе условие. Из (19!) и (198) непосредственно следует, что Ьал = Ьла, и, из условий (193) и унитарности матрицы ( ирд ), следует, что сумма ссо Ь членов ! Ьль !л конечна, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
