1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Но тогда Аг с )(с(А) и Аг= А*г с У, ибо г с У, и тем самым г с И. Но гс(А)) У и потому Аг= О, т. е. г с У, что совместно с г с У дает г = О. Этилс доказана единственность представления (166), т. е. 7 в прямая сумма: сг(А) + У. Определим теперь на линеале Р оператор А, полагая Ах= Ау + А*а, и линеал 1 обозначим через й(А). Очевидно А с: А С: Ап. Покзжем, что А удовлетворяет всем требованиям теоремы. На линеале .0 (А) оператор А совпадает с А и на У оператор Ав дает все У, что следует из определения У и того факта, что Авсс =О при и ~ У. Гаким образом, Р (А) = Н.
Остаегся показать симметричность А на Г)(А) ]187]. Отметим сначала, что (А*и„а,)=(и„А*и,)=О (и, и ссл~ У). Пусть х, и х, Е сг(А). Тогда, согласно (166), х, =у, + а„ х,=у, -~- и„и мы инеем (Ахь х )=(Ау, — 'Ааль х,)=(уь А*х„)+(А"аьу,)= = (уь Авх ) -, '(иь Ау ) = (ун Ачхс) + (аь Ау ) + (иь А*и„) = = (ун А "х,) + (сс„Ах,) = (хв Ахл). Теорема доказана. 299] някотоеыв твоевм~г о елсшиевниях и их спвктелх 631 Можно показзтгь что если А ' вполне непрерывен, то и А ' вполне непрерывен. Подробному изучению таких расширений операторов, как абстракткых, так и дифференпиальных, посвящены работы М.
И. Вншика (Труды Московского математического общества, т.1, !9о2 г.) и (.. Ногшапдег'а (Ас1а Ма(Пеша(1са, 94, 3 — 4, 1955). Следстпвие 1. Если вещественное число Л принадлежит чисто точечной части ядра спектра, то существует самосопряженное расширение А оператора А, для когпорого Л также принадлежит чисто точечному спектру с тем же подпространством Рт собственных элементов, что и у А. Оператор А, рассмзтриваемып в подпространстве Н, = Н Ед Р, является, как нетрудно видеть, ззмкнутым симметричным оператором и удовлетворяет условиям теоремы 1. Тем самым он допускает в Н, самосопряженное расширение Аь для которого Л есть регулярная точка.
Оператор А с областью определения Р(А)=0(А~)®Рм совпадаюшии с А, на Р(А,) и с А на Р„и будет, очевидно, указанным в следствии расширением. Следствие 2. Если А — максимальный, но несамосопряженный оператор, то непрерывная часть ядра спектра А заполняет всю вещественную ось. Действительно, в противном случае оператор А имел бы само- сопряженные расширения. Следствие 3. Если имеется вещественное Л, не принадлежащее непрерывной части ядра спектра А, то при любом Л(1шЛ)0) индексы дефекта рь и оь одинаковы.
Это следует из того, что А при указанном условии имеет само- сопряженные расширения. Теорема 2. Пусть вещественное Л вЂ” точка регулярного типа за,икнутого симметричного оператора А и У= Н Я Я(А— — ЛЕ). Пои этом существует самосопряженное расширение А оператора А, для которого Л принадлежит чисто точечному спектру и У является собственным подпространством, отвечающам Л. Без ограничения общности будем считать Л=О. Отиетим, что 1с(А) и У суть надпространства, причем У есть множество решении уравнения Аьг = О. Обозначим через Р (А) + У множество элементов вида х=у+г, где ус Р(А) и г с У.
Представление в указанном виде единственно. Действительно, в противном случае мы имели бы таков элемент х,, отличный от нулевого, что х, с Р (А) и х, Е У. Отсюда следует, что (хы Ах) = 0 (хч-0(А)) и (Ахь, х)=0. Йо, г|оскольку 0(А) плотно в Н, получаем Ах, = О, а это противоречит тому, что Л = 0 точка регулярного типа. Таким образом, мы можем определить на пряной сумме: 0(А)= = 0(А)+ У оператор А, полагая Ах= Ау, если х =у + г, где ус 0(А) и гЕУ. ссвоствьпгтво Гнльвевтх 1210 Симметричность А непосредственно проверяешься, ибо (А»,у) = 0 и (», Ау)=(», Ау)=(Аь»,у)=0.
Докажем самосопряженность А. Пусть (Ах, и)=(х, иь) (х( Р(А)), (167) Поскольку Аь С Аь, можно утверждать, сто сс ~ Р(А*) н ив=Аьп. Представляя, как и ныше, х в виде х=у-+», получим (Ах, сс) =(Ау, сс) =(у, и") + (», иь) =(у, А*п) + (», и*), или (Ау, и)=(Ау, и) л-(», и*), т. е. (», и*) = (», А "а) = О. Это равенство имеет место для всех » с У, а потому иь = = А*п ~ В (А), и, следовательно, существует такой элемент у, Е Р(А) что Ау,= и*, откуда А*п — Ауь = А*(и — у,) = О, т. е. и — у, = .= «, Е У н сс =уь + »ь Е Р (А).
В силу (167), самосопряженность А доказана. Остальные утверждения теоремы относигельно сиойств оператора А непосредственно следуют из его конструкции, Следствие. Если вещественное Л принадлежит чисто точечному спектру Л, то можно построить самосопрлженное расширение А, длл которого с, также будет принадлежать только точечной части ндра спектра А, прочем надпространство собственных эле. ментов А, отвечающее ) совпадает с подпространством собственных элементов А*, отвечаюигих Х.
Доказательство это~о следствия аналогично доказательству следствия 1 теоремы 1. 210. Независимость индексов дефекта от с.. Выше мы отмечали, что индексы дефектз р, и с7; не зависят от выбора комплексного числа ь из верхней полуплоскости. В этом параграфе мы докажем это утверждение. Прежде всего отметии, что если какой-либо линейный оператор В (не обязательно ограниченный) преобразует бноднозначно некоторое подпространство (с в подпространство Ж', то размерности 1с и йт совпадают: йгп Ь' = йгп %'. Э го следует из того, что линейно независимые элементы ( хь хь ...
) надпространства (с опера.сором В переводятся в линейно независимые элементы (Вх„Вхс...) подпространства (сс и наоборот. Введеч еще одно определение. Число т пазываегся размерностью линеала У по модулю линеал а l', если в 7 имеется т и не более т линейно независимых элементов, никакая линейная комбинация которых, кроче случая всех коэффициентов, равных нулю, не принадлежит Г.
Обычно обозначают сп = =йш7(шод Г). Число т может быть равно и бесконечности. ПУсть А — замкнУтый симметРичный опеРатоР и Ры с)с — его индексы дефекга, соответствующие )ч взятому из верхней полупло- 689 ивзлвисимость индвксои дефекта от ) 2101 скости. '!'огда, как мы видели [202[, имеюг место формулы И= Лл(Л)РТАМ,(Л), Н = 7.л (А) Я Мл (А), (168) где М,(А) есть совокупность всех нулей оператора Аь — ЛЕ, Лл (А) — совокупность всех элементов вида у = (А — > Е)х при х~ Р (А), и аналогично для Мл(А) и Лл-(А), Палее [203[: Р(А")=Р(л)+Мл(А)+Мл (А), (! 69) и любое симметричное расширение А строится с помощью изометричного оператора, устанавливающего взаимно однозначное соотвегствие между подпространствами !Л7л(А) и Лгл (А) (одинаковой размерности) пространств М,(А) и Мл (А) [202[.
Из формулы (169) следует, что рл [- дл = б!ш Р(А"') (шо4 Р (А)), (170) и, следовательно, сумма рл-г- дл не зависит от Л, Предположим сначала, что она имеет конечное значение. Построим какое-либо максимальное расширение А, оператора А и рассмотрим какое-либо л = Л' из верхней полуплоскости. Не ограничивая облцности, можем считать рл ( л)л. Отсюда следует, что индексы дефекта А, при Л= Л' суть (О, гл,), где гл — — ул — рлч По лемме из [208[ индексы дефекта А, для всех Л из верхней полуплоскости суть (О, г;), где гл — — г7л — рл [202[.
Далее из (169) следует Р (Ав") = Р (А а) + Мл (Ая) и мы имеем гл= б!ш Млт (А,) = г!1ш Р (А,") (глод Р(А,)), Р(лв) =Р(А) + (Š— Уо)М,(л), (171', откуда видно, что г,=дл — р, не зависит от Л. Тем самым рл и 9, пе зависит от Л. Предположим теперь, что рл+пл равно бесконечности. Если при каком-либо Л=Л' мы имеем рл — — со и л) =со, то возможны самосопряженные расширения А, и тем самым рл= со; ~ул=сю при любом Л. Остается рассмотреть тот случай, когда при каком-либо Л = Л' один индекс дефекта конечен, а другой бесконечен.
Пусть р; конечно и л)л = со. Из предыдущего непосредственно следует, что и при всяком Л будет р, конечно и л)л = со. Надо лишь показать, что р, не аависит от Л. Это легко получить из формулы [202[: [211 б34 пяостялнстяо гилъзвгта где А„ — фиксированное максимальное расширение, Лгь — изометрический оператор, зависящий от выбора Аь и Л. В силу существования (Š— г'ь) ', иа (171) следует р„дпп (7(Аь) (шод Р(А)), (172) что и доказывает независимость р, от Л. Из теоремы ! [209] следует, что если существует вещественное Л= Л„ являющееся точкой регулярного типа замкнутого симметричного оператора А, то он допускает самосопряженные расширения, и, следовательно, при наличии вещественной точки регулярного типа, индексы дефекта (рл7) (не зависящие от Л) одинаковы. Они равны размерности подпространства У собственных элементов А*, отвечающих собственному значению Л=Л,.
Действительно, считая Л,=О и обоаначая через А самосопряженное расширение А, для которого Л = Π— регулярная точка [209), имеем в рассматриваемом случае: О )г(А) ЩУ; 7)(А) = 77(А)+А 'У, причем в этих формулах представление элемента левой части в виде указанной суммы однозначно, и, следовательно, р=д1ш1)(А) (шодс)(А))=д)ш А 'У =д1ш У. 211. Об инвариантмости непрерывной частя ядра спектра при симметричных расширениях. В этом пзраграфе мы будем предполагать, что ззмкнутый симметричный оператор А имеет конечные индексы дефекта (р, д), и будем рассматривзть его замкнутые симметричные расширения. Начнем с доказательства простой леммы. Лемма. Если У и Уг' — два подпространсгпва, из которых второе конечномерно, то (173) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
