1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Если оба указанных подпространства, или по крайней мере одно из двух, не совпалают с Н, то У называется обычно изометрическим оператором, т. е. дистрибутивный оператор У, определенный нз некотором подпространстве Г и переволящий его биоднознзчно в другое подпрострзнство Е" с сохрзнением нормы элементов (и тем самым скалярного произведения), назывзется изометрическим оператором. Обра~ный оператор У ', переводящий Л" в У, есть, очевидно, также изометрический оператор.
Если У и Е" совпадают с Н, то У вЂ” унитарный оператор, определенный во всем Н. формулы у= Ах+ гх и Уу=Ах — !х переводят 0(А) биоднозначно в Ег(А) и !. !(А) и из них следуют формулы 2) ( ! 201) Рлсгнигвггиг злмкггктого сньгчвтяичного опвязтояя 609 А =-2'-(у+ иу), первая из которых переводиг биоднознячно Ег(А) в 1)(А). Если мы заменим у на 2гу, чго приводиг к тому же линеалу ьг(А) элементов у, то получим более простые форлгулы х =у — Уу; А -=г(у+иу), (124) (125) (уы х) = (ры у — иу) = (у„у) — (уы иу), или, в силу изометричности У: (уы х)=(иуы иу) — (уы иу) =(иу„ †иу) = (О, иу) = О, что и требовалось доказать. Имея какое-либо х из 1, мы, согласно формуле (124), имеем определенное у из У и по формуле (125) получаем определенное Ах.
Таким образом, построен дистрибутивный оператор А. Пусть х' и х' — два элелгента г', а у' и у' — соответствующие элементы и. Пользуясь изометричностью У, получаем: (А ', Хь) =(г(К'+ иу') у" — иу') = =г(у, у")+г(уу, у") — г()у, иу) — г(иу', иу")= =г(уу,у ) — г(у', иу'). Тот же самый результат мы получим, раскрывая (х', Лх') = =(у' — Уу', 1(у" + Уу')), т. е. (Ах', х')=(х', Ах"), а потому А первая из которых попрежнему переводит биоднозначно Ег(А) в й (А), а вторая дает соответствующий элемент Ах. О~метим, что линеал О (А), определенный формулой (124), плотен в Н. Изометрический опера гор У называется п р е о б р а з о в а н и ем К э л и замкнутого симлгетричного оператора А. Докажем теперь теорему, в известном смысле обратную предыдущей. Теорема 2.
Если У вЂ” изометричеснггй оператор, переводяттг надпространство й' в подпространство Е", и формула (124) для у, прггнадлежагпггх и, определяет линеал 7, плотный в Н, то формула (125) определяет на У за.минутый силгметричный оператор А, ггриче.и У есть преобразование Кэлгг для А, а и и У." совпадают с Е.г(А) и Е г(А).
Прежде всего нам надо показать, что формула (124) при различных у из У дает различные х, т. е., как и выше, налг илло показать, что из у„— Уу,=О следует, что у,=О. Составим скалярное произведение (уы х). Если мы докажем, что оно равно нулю для любого х из (, то, поскольку этот линеал плотен в Н, мы можем утверждать, что у, = О. Итак: (291 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБВРТА есгь симметричный оператор.
Локажем замкнутость А. Пусть х„ из 1 таковы, что х„= . х и Ах„=) ти. (126) Нам надо показать, что хЯ( и я=Ах. Обозначим через у„элементы У, соответствующие х„, т. е. х„=у„— Уу„; Ах„=! (у„+ Уу„); (127) 1 . 1 из этих равенств следует, что у„=- . (Ах„+1х„) =)-2;(тг+1х). Обозначая для краткости письма этот предел через у, можем утверждать, что у~ 1', ибо 1.' есть подпространство, и что Уу„=) Уу, ибо У есть изометрический оператор и, следовательно,,~~ У(у — у„) 11 = = '9 у — у„'8, Переходя в формулах (127) к пределу, получаем х=у — Уу и то=((у+Уу), где уЕ У, т.
е. хЕ( и в=Ах, что и требовалось доказать. Наконец, из формул (124) и (125) при за- мене х на 21х следует у=(А+ 1Е) х и Уу=(А — 1Е) х (х~ 1), откуда и вытекает непосредственно, что У есть преобразование Кэпи для А, и что Е' и Е' суть (ч(А) и Е;(А); теорема доказана. Локазанные теоремы приводят непосредственно к выяснению возможности расширения замкнутого симметричного оператора А. Пусть  — замкнутое симметричное расширение А (не совпадает с А).
При этом правые части формул у = (В + 1Е) х; з = ~  — 1Е) х определены на линеале 0 (В), более широком, чем 77(А), а для элементов х, принадлежащих 0 (А), они дают тот же результаг, что и правые части формул (119) и (120). Таким образом, подпространства (.г(В) и Е,(В) строго шире подпространств Л;(А) и Е;(А), и если обозначить через 11 преобразование Кэли оператора В, то можно утверждать что Р' переводит !.;(В) в Е;(В) и на 1.;(А) совпадает с У, т. е. изоме три чески и оператор 1! есть расширение изометрического оператора У. Пользуясь теоремой 2, мы можем утверждать что и, наоборот, в с я к о е р а сширение изометрического оператора У, приводящее к изометрическому же оператору (!, дает, согласно формулам (128) х=у — Ъу; Вх=((у+ Ъу) (у Е У(1)), замкнутый симметричный оператор В, являющийся расширением А.
Согласно сказанному выше, только таким 202[ индвксы двввктл путем и можно получать расширения А, являющиеся замкнутыми симметричными оператора ми. Если А — самосопряжеггсгып оператор, то Ц (А) и 7 с (А) суть все Н, и расширение невозможно. 202. Индексы дефекта. Обознзчим через М;(А) и М с(А) надпространства, дополнительные для 1.с(А) и Е с(А), и через р и су размерность Мс(А) и М ;(А). Если, например, 1.с(А) есть все Н, то М;(А) отсутствует, и мы считаем р= О.
Если Мс(А) конечномерно, то р — число его измерений, и если М;(А) бесконечномерно, то р= оо. Пара чисел (р, сс) определяет так называемые и и д е к с ы д е ф е к т а оператора А. Локажем ряд простых теорем, относящихся к индексам дефекта. Теорема 1. Для гамоеоссряженностсс сссмметричного замкнутого олераг~ора А необходимо сс достаточно, чтобы оба его индекса дефекта были равны нулю. Если А — самосопряженныя оператор, то, как мы знаем из [201[, формулы (119) и (120) преобразуют гс(А) в Н, и, следовательно, р=су=О. Положии наоборот, что р=с)=0.
При этом 7.с(А) и 1. с(А) совпадают с Н, и У есть унитарный оператор (определен, как и У ', во всем Н). Пусть (Ах, п)=(х, пг) для всех х из О(А). Нааг надо доказать, что и с. гс(А) и пЯ=Ап. В силу (124) и (12б), предыдущее равенство переписывается в виде с (у, )+1(Уу, и) =(у, и ) — (Уу, и*), откуда, в силу унитарности У, (у, и' — У го*+со+сУ гп)=0, и, ввиду произвольности у, имеем: па+си=У г(о* — стг).
Обозначая вв 4-сп=2су', имеем пч — сп=2сУу', откуда в=у' — Уу' и он=с(у'+Уу'), т. е. и~о(А) и пч=Ап; теорема доказана. Лостаточносгь является также следствием теоремы 2 из [187], Перед доказательством следующих теорем выясним структуру изометрических операторов. Совершенно так же, как и для унитарных операторов [137[, можно показать, что изометрические преобразования У надпространства У в подпространство 7." свалятся к преобразованию полной ортогональной нормированной системы хн х, в У в такую хге систему ун ум...
в У.', так что Уха —— у„(Н считается сепарабельным) и У~ паха — — ~' алую При этом, очевидно, или обз надпространства должны быть бескогсечсгой размерности, или оба должны иметь одно и то же конечное число измерений. Если это условие выполнено, то, ввиду произволыюсти выбора ар~он, мы можем построить бесконечное множество изометрических преобразования У в К.'. Имея изометрический опе- 612 1202 пгосгглнство Гильсягтз ратор Ег, переводящий 1.;(А) в Е;(А), мы можем его расширить только путем добавления одинакового числа новых ортов нз М;(А) и М ;(А) и установления между ними попарного соответствия. Из этих сообрзжений непосредственно вьшекает следующая общая теорема: Теорема 2.
Для возможности рапилренпя за.пкнутого сп.нметричного операпаора А с сохранением и и спзсметпячностп необходимо и достаточно, чтобы оба индекса дефекта оператора А были отлнчнымн от нуля. Если это условие выполнено, то п.иеегпся бесчисленное множестпво пасипаренпй. Для возможноспт расширения А до са.иосопряженного оператора необходи,ио и достаточно, чтобы индексы дефекгпа,4 были одпнаковымн (отличными от нуля), и если это так, пао указанных расшпренссй существует бесчисленное множество. Опишем общую схему расширения оператора А.
Выделяя из М;(А) и М;(А) какие либо подпростракства Дг; и Ж; с одним и тем же числом измерений, построим какой-либо изометрический опеРа~оР )г, пеРеводищий )ч'; в Ж е ОпРеделаем длЯ РасшиРенного оператора В надпространство Ег(В) как ортогональную сумму Е;(А)Я Я Ма = Е,(В), так что всякий элемент у из ~;(В) единственным образом представим в виде у =у' +у", где у' = Е;(А) и у" ~ Ио Расширенный изометрический оператор )г определяется формулой Ьу= Уу' + Ъу', правая часть ко~арой представляет собой разложение Ъу, принадлежащего Е;(А) ® юг о в оргогональные подпространства Е;(А) и ДГ е Согласно (124), линеал 0 (В) определяется формулой х =у' +у" — Уу' — Уу" = (у' — Уу') + (у" — гу'), где (у' — (У) — любой элемент В (А) и у" — любой элемент Лге Запишем этот факт в виде хв = хл + хнг — 1' хне Совершенно аналогично формула (125) дает Вх=1(у'+ Егу)+ + 1у'+1\гу', т.
е. Вх и = А ха + (хн, + Л~хяе (130) Если М; и )ч'; совпадает с М;(А) и М ;(А), то последние формулы определяют самосопряженное расширение А. Нетрудно показать, что п р е д с т а в л е н и е хл с у м м о й (129) е д и н с т в е и н о. Иначе говоря, нам надо показать, что если сумма (129) равна нулевому элементу, то и все слагаемые равны нулевому элементу.
Действи~ельно, если ха=О, то и Вхв=О, и формулы (129) и (130) дают ,кл + хи, — тгхн,= 0 и Ахл + )хн, +1(гхн.=О. Умножая первое уравнение на )и складывая со вчорым, получим (А + )Е)хл + 2)хъ;. = 0; в написанной сумме первое слагаемое принадлежит Е;(А), а второе ортогонально Л;(А), откуда следует, что оба они раины нулю, т. е. хя,.=О, а потому (гху,.=О и хл =О, что и требовалось доказать. Если один из индексов дефекта равен нулю, а другой отличен от нуля, то А не имеет замкнутых симметричных расширений, и такой 018 2021 индяксы дзьвктл оператор называется м а к с и м а л ь и ы м. В связи с этим термином самосопряженный оператор, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
