1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 125
Текст из файла (страница 125)
оператор, у ко~араго оба индекса дефекта равны нулю, называется иначе г и п е р м а к с и м а л ь н ы и. Положим, что А имеет индексы дефекта (1, 1), т. е, что подпространства М; (А) и М; (А) одномерны, и пусть пь и гоь — какие-либо их элементы, пРи чем )) оь () = 11 ш, '1! ~0, так что все их элементы предста зимы в виде в = ап„, те = аь ы где а — любое комплексное число. Формула (г(апь)=е 'ь ать, где 8 — любое заданное вещественное число из промежутка 0(8(2я, дает изометрическое преобразование М;(А) в М ;(А), и, добавляя это преобразование к тому преобразованию К которое переводило Е;(А) в Л;(А), получим унитарный оператор 1с; формула (128) определяет нам самосопряженный оператор Е, который зависит от выбора указанного выше числа 8.
Если индексы дефекта А суть (2, 2), то, выбирая какие-либо взаимно ортогональные нормированные элементы вь и, из М;(А) и шь те, из М ;(А), мы положим 1Ъь =шь (й= 1,2). Фиксируя оь и выбирая всевозможнылги способами гоь, получим все различные К. Дополняя изометрическое преобразование У до унитарного г', мы получаем опять по формулам (128) самосопряженный опера~ар А. Докажем еще теорему, которая дает новую характеристику подпрос~ранств М;(А) и М ;(А). Теорема 3. М;(А) есть надпространство собственных элементов оператора А*, соответствующих собственному значению Л= — 1, т. е.
надпространство оешенпй уравненпн А*х=)х, а М,. (А) есть надпространство решений уравнения А"х= — )х. Отметим, что, поскольку А* есть замкнутый оператор, линеал его собственных элеменгов, соогветсгвующих какому-либо собственному значению, всегда замкнут, т. е. есть подпространство.
Элементы о подпространства М;(А) характеризуются тем, что они ортогональны (А + 1Е)х при любом х из Р (А), т. е. характеризуются равенством ((А + 1Е)х, и)= О, которое может быть переписано в виде (Ах,п)= (х, 1о), где х — любой элемент из Р (А).
Последнее равенство, в силу определения А"', равносильно тому, что в Е Р (Аь) и А ап =со, и утверждение теоремы относительно М;(А) доказано. Таким же образом доказывается и утверждение относигельно М ;(А). Из доказанной теоремы следует, что наличие индексов дефекта отличных от нуля, связано с тем, что оператор Аь уже не является симметричным на Р(Аь) и владеет собственное значение 1 или ( — 1), или оба эти числа. Вместо чисел ь-1 мы могли бы взять любое невещественное число ), из верхней полуплоскости и сопряженное с ним число Л. При этом формулы у=(А+ЛЕ)х; е=(А+лЕ)х (х=Р(А)) (203 6! 4 пгостглнство гильввгтл совершают биоднозначное преобразование Р (А) в некоторые подпространства (.,(А) н Е>-,(А), и мы имеем изометрическое преобразование е= Уу перво~о из них во второе. 1(ополнительные подпространства М,(А) и Мх (А) суть подпространства решений уравнения А"х= — Хх и А*х = — Лх.
Размерности этих подпространств будем обозначать через (р„, 9,). Это — индексы дефекта А. В дальнейшем будет доказано, что они не зависят от выбора Л нз верхней полуплоскости. Формулы (129) и (130) будут иметь вид хв = хл + хн„— Ъ'хню Вха = Ахл — Лхн, + ). (тхн„. Первая из них дает Р(В) и ее, очевидно, можно записать в следующем виде: (129~) Р (В) = Р (А) + (Š— Ъ~) Л~„, где Л)„ — некоторое подпространство из М„(А) и Ъ' — изометрический оператор, переводящий Л)„ в подпространство Л)ю находящееся в Мг (А). Пусть ьь(1=1, 2, ..., л) — линеалы. Назовем прямой сумм о и Еь множество Е элементов, представимых в виде: х = х, + х, + +... + х„, где хьЯ ьь, если указанное представление х единственно (ь — линеал).
Формула (129,) дает пример прямой суммы. Прямую сумму записывают часто в виде Е=(., +Ея (точка над знаком +). 203. Сопряженный оператор. В теореме 3 мы установили связь между введенными нами подпространствами и сопряженным оператором. Выясним до конца состав линеала Р(Ав) и связь между А* и А. Обозначая через хл, х, и х, любые элементы из Р (А), М; (А) и М;(А), мы имеем следующую теорему: Теорема.
Формула о=хл+х;+х; (131) дает весь линеал Р(А*) и Аео= Ахл + (х; — !х н (132) Веяний элемент из Р (А*) представим фор.мулой (131) единственным образом. Из того факта, что А* является расширением А, и теоремы 3 из 1202) следует непосредственно, что элементы э, определяемые формулой (131), принадлежат Р (Ав) и что имеет место формула (132). Покажем, что о представимо формулой (131) единственным образом, т. е. что из хл+х,+х;=0 (133) следует, что все три слагаемые суть нулевые элементы. 615 203] соигяжвнный онзглтог Применяя к (133) оператор А"', получим Ахи+!х, — !х;=О и, умножая (133) на 1 и складывая с последним равенством, будем иметь (А+ гЕ) хл + 2 !х; =О. Слагаемые лево,'! части этого равенства взаимно ортогональны и потому оба они должны равняться О, т.
е. х;=О. Точно так же, умножая (133) на ( — !), получим х;=О и, в силу (! 33), ха= О, Остается показать, что всякий элемент н из 0 (Ав) представим формулой (!31). Такой элемент харакгеризуется теи, что для всех х из Е1(А) имеет место равенство (Ах, э)=(х, э*) или, в силу (!24) и (126) (1(у+ Уу),э)=(у — Уу,с*), откуда следует (134) (Уу, эа — !в)=(у, за+!э) (у б Ег(А)). Проектируя во взаимно ортогональные подпространства, можем написать: эа — !в=ха,+х;; на+)э=ха, +хь (13о) где хаги Л;(А) и хг,.б Е г(А).
Подставляя в (134) и пользуясь тем, что х; ! Уу и х; ! у, получим (Уу, хс,)=(у, хг!) или, полагая хсг=у' и хс,= Уу", где у' и у" принадлежит Е.;(А), можем написать (Уу, Уу")=(у, у'): далее, в силу изометричности У, (к, у" — у')=О для любого у из У.г(А) и, в частности, при у= =у" — у', что приводит к равенству у"=у', т. е. хг,. =у' и хг, = Уу'.
Подставляя в (1Зб) и вычитая почленно эти равенства, получим э= ! ! 1 21 = †.(у' — Уу') + †.х ††.х , откуда и следует представимость в 21 ' 21 ! 1 формулой вила (! 31), ибо —, х; Е М; (А) и — — х; ~ М; (А). Укажем на одно следствие теоремы. Из нее непосредственно вытекает, что формула та=(Аа — (Е) и (1 36) переводит линеал Е! (Аа) элементов в в Н. Действительно, в силу (131) и (132), получаем та= (А — (Е)хл — 2(х н причем первое слагаелюе есть любой элемент из Е,(А), а второе — любой элемент из дополнительного подпространства М а(А).
Таким образом, если толковать (136) как уравнение относительно э, то оно имеет решения при любом ш из Н. При этом однородное уравнение (А* — !Е) и = О имеет в качестве решения подпространство М;(А). Если оно не пусто, т. е. первый индекс дефекта р ,-~ О, то уравнение (136) при любом тв имеет бесконечное множество решений э = э, + хн где э, — какое-либо частное решение (136), а х; — произвольный элемент М;(А). Частное решение э, имеет вид (131), и, ввиду возможности добавления к решению любого элемента из М;(А), мы можем считать, что э, не солержит хи т. е. решение уравнения (136) может быть записано в виде: э = (хл + х,) + хи где хл и х; — опреде- 616 1204 пгостялнстяо Гильзветл легшые элементы и х; — произвольный элемент. Если р = О, то х, отсутствует, и получается определенное решение.
Совершенно аналогично уравнение (А* +!Е) в' = тар' при произвольном таг из Н имеет общее решение н'=(ха+ х,')+ + х' ь где хл и х,' — определенные элементы, а х' ; — произвольно. Если второй индекс дефекта д= О, то х'; отсутствует. Отметим, ч1о имеют место формулы в = хл + хт + хр; А"в = = Ахл — яхт — )хт(1гл! ) 0), аналогичные формулам (!31), (132). 204.
Максимальные операторы. Укажем простой прием построения максимальных операторов. Выберем какую-либо полную ортонормированную в Н систему (137) и определим изометрическое преобразование У формулой Ух„ = ха, (7т = 1, 2, ...), т. е. для любого элемента у из Н мы имеем Уу=,г пахан а=! Следуя обозначениям из [201), можем сказать, что У есть Н, а Г образовано всеми ортами (137), кроме хн и формулы (124) и (125), в которых у — любой элемент Н, приведут нас к замкнутому симметричному оператору А с индексами дефекта (0,1).
Надо только проверить, что линеал 7)(А), образованный элементами у — Уу, плотен в Н. 1(ля этого достаточно, очевидно, показать, что существуют элементы х из г)(А) такие, что для любого заданного орта х„ норма !!ха — х !! сколь угодно мала. Образуем элемент т — 1 у=,~ ю хыа где гл †некотор целое положительное число. Мы имеем и-1 т — 1 %~ и — а т~ а — а =у — Уу= ~ ж х„,— г т выем! Б=ю и ! =ха ' хаю /П а ! 205) влсшигвниь симмятгичных полхогглничшшых опгялтогов 617 откуда, в силу теоремы Пифзгорз и нормированности х„ „ следует )!ха — х)!'= — „7 ))ха„"= —, ю=1 и, беспредельно увеличивзя лг, будем иметь сколь угодно мзлые значения для (х„ — х ), что и требовалось доказать. Максимальный оператор указанного типа называется э л е м е н т а р н ы м с и и м е т р и чным оператором.
Если положить В= — А, то 0(В) совпадет с У(А), а вместо формул (!19) и (120) получим: у=( — В+)Е)х, л= ( —  — 1Е) х, откуда при замене х на ( — х) видно, что (В+ !Е) х преобразует линеал В (В) в полпространство 7.; (А) и ( — )Е) х преобразует 7) (В) в )ч (А), т. е. при замене А на ( — А) 7ч и Е г меняк1тся местами, и, следовательно, если А есть указанный выше оператор с индексами дефекта (0,1), то( — А) имеет индексы дефекта (1,0). Пусть У,— унитарный оператор, переводящий орты (137) в орты х„'. Применение предыдущего приема к ортам хь дает нам изометрический оператор У'ха=ха+~ и элементарный симметричный оператор А', причем, очевидно, У'= У,УУ,', А' = У,АУ,', и 77(А') получзется из 0 (А) при помощи оператора У„, Можно доказать, что если А — люГ>ой замкнутый симметричный оператор с индексами дефекта (О, д), где д) 0 и конечно, то Н можно представить в виде ортогональной суммы подпространств: ,Ч= 7., + Е, + 7., +...+7.ч, приводящих оператор А и таких, что каждое Е» при )г ) 1 бесконечномерно, а оператор А„, индуцированный А в Вм есть элементарный симметричный оператор; полпространство ).м которое может и отсутствовзть, может быть кзк бесконечномерным, так и конечно- мерным, и индуцированный в нем оператор А„ есть самосопряженный оператор.
Аналогичный результат имеет место и при и = со, В случае индексов дефекта (р, 0) при р ) О операторы А а обратны по знаку элементарным симметричным операторам. 206. Расширение симметричных полуограниченных операторов. Пусть А — симметричный полуограниченный оператор с нижней границей глл. (! 38) (139) .У„(х)=(Ах, х) — (у, х) — (х, у), х ~ 77 (А), (Ах, х)) лгл(х, х). Будем пока считать, что тл) О, т. е. что А — определенно положительный оператор. Мы постараемся расширить его так, чтобы он оставался симметричным и чтобы его область значений совпала со всем Л.
Такое расширение приведет, как известно !!87), к само- сопряженному оператору. Сопоставим оператору А квадратичный функционал с вептественными значениями 618 [205 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЯРТА где у — любой фиксированный элемент УУ, и рассмотрим задачу о его минимуме. Теорема У. Если уравнение Ах =у (140) .У„(»)=(А», г) — (у, г) — (», у) =(А», ») — (Ах, г) — (», Ах) = =(А(х — »), х — г) — (Ах, х)=(А(х — г), х — г)+.У„(х) и из неравенств (А (х — г), х — ») ) та[, 'х — »,[' и тл )0 следует первая часть теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
