1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Е. )тХ = =О, и формула (332) показана, Непрерывность $„справа докажеы позже. Для доказательства интегрального представления оператора А через $т выведем одно неравенство. Введем проектор 502 ()8! ПРОСТРАНСТВО ГНЛЬВВРТА Отсюда видно ((кб), что норма оператора (А — «Е) й не превышает (Р— Л) т е. ()(А — «Е) йх;)((Р— Л)(! х !) Заменяя в этом неравенстве х на дл и принимая во внимание, что а» в» = д, получим основное для дальнейшего неравенство (А Ьх — «Дх()((Р— Л)(! Дх1!.
(33Т1 В этом неравенстве Л(« -Р и Ь определяютсн формулой (338). Переходим к доказательству формулы (2О4). Берем некоторое положительное число -„ и разбиваем промежуток (тл — »„М! на части: ш — » =Л (Л»()»(...(Л»(Л, =М; затем вводим проекторы дй = $„й — $»й 1, причем Е= Уай и Д„Д,=О при й~б (338) й-1 Имеем разложение любого элемента х на попарно ортогональные сла»аемые х = ~ д„х =,'5', лан й-1 й=1 Ах = ~Ахй Нетрудно видеть, что (Алй, Ах») = О и (Ахй, х,) =О при А.А: Е Например, первое иэ этих равенств доказывается так: (Ахй, Ах,) = (А Дйх, А Д1х) = (А Дтайх, Ах), а последнее выражение равно нулю в силу (338). Составим теперь выражение л я Ах — ~Ч~~«йбйх= ~(Аха -«йхй), й=1 й-1 где «й — любое значение из промежутка (Лй о Лй!. Слагаемые суммы, стонщей справа, попарно ортогональны, и пользуясь теоремой Пифагора, можем написать я л !! Ах — ~ , '«йайх!!' = ~(! Ахй — «йхй (!».
й-1 й-1 Пусть Ь вЂ” наибольшая из разностей Лй — Лй,. Пользуясь неравенством (337), получим из (339): )!Ах — л« ',«йдйхЦ ( Ь ~)хй(!», й=! й 1 или, в силу теоремы Пифагора, )1 Ах — у,' «йдйх (1а ( Э'! х (1'. 1» 1 линзйныя опкялтояы н 1а боз )В21 я отсюда следует, что при а — О мы имеем длн любого элемента х! л Ях=!пп ~талас. а=! Такил! образом, получаем основную формулу М Я= ~)сдйь Остается показать, что 5! непрерывна справа. Прн стремлении и к л проектор д, определяемый формулой (33б), не увеличивается и стремится к некоторому пределу Ь„ н нам надо показзть, что Ь, есть оператор аннулирования. Переходя в !337) к пределу, получим (А — 7 Е) Ь,х = О.
Отсюда, в силу второго свойства $м слелует, что $сдэх = Ь х, т. е. (7: — $„) Ь,х = О. С лругой -стороны, (Š— К.„) Ь = Ь, и, переаодя к прелелу, получим (Š— 5т) Ь, = Ь,. Принимая зо внимание (Š— 5т) Ь„г = О получим Ь,г = О, т. е. Ь, действительно аннулирует любой элемент х.
Отметим есце, что любой оператор О, коммусирующий с А, коммутирует и с йь 5 2. Пространства 1, и уэ 132. Линейные операторы в 1э. Мы переходим к применению обшей теории к прострзнствам 1, и Ее Выпсе мы уже видели, что, выбирая в Н некоторую замкнутую ортонормированную систему, мы приводим в биоднознзчное соответствие элементы збстрактного пространства Н и 1,. Можно, конечно, рассматривать 1, и самостоятельно как некоторое осущестнление Н, поскольку при обычных определениях алгебры и скалярного произведения в 1, имеют место все аксиомы Н.
Введем понятие урезанного'элемента(ср. 134). Пусть х (Еь Е„ ...)— некоторый элемент 1 и х'ю (с„ Е„ ...,Е» О, О,...) имеет первые )с-составляющие те же, что у х, а остальные его составляющие равны нулю. Элемент х'"' и называется урезанным элементом х. Мы имеем ~х — х!"1(э= 5' ~Еа/а — О при И вЂ” со, ся-ае! т. е. хсас=эх пРи лт — оо. ЧеРез Ес„Рэ,... обозначим оРты 1„т. е. у р» составляющая Е„= 1, а остальные равны нулю. 1(ля элемента х имеем (2) т ! Если А — линейный оперзтор в 1, и х'=Ах, то, вводя составляющие х'(Е'с(а,...), имеем (3) Е„=(х',ср„) =,Р а„,„Ем, т- ! (и = 1, 2,...) 504 ! (6а ПРОСТРАНСТВО ГНЛЬГВРТА где ал = (А галл гр„).
Таким образом, линейный оператор в ~л предстания матрицей с элементами (4). Сопряженному оператору АР соотнетстнуег матрина ! с о. ! 34]! а„= (А лу,ср„) = (6, Аул)= — а „. (б) Самосопряженный оператор характеризуется равенством ал =а„ (6) Лля билинейного функционала имеем формулу !у,у!=1,л'у!=~((т.,„а„) м=.та„(т.,„у.), л! л-!!гул= ! / лу=! Тл ! где У имеет состзвлающие (т(„т)м...). Образуя для х и у урезанные элементы хрм и у"', получим А (Ах'"'„у"')= У ~ а„„'с тл . л=! лу=-! Но (Ах!"',у"!) — (Ах, у) при Ф и 1 — со, и, следовательно, сл сл А ~~~~ (~) ал ! Т)„=1)Щ ~~;та„„т ТЫ. л !Тм ! А- л-1 (8) Иринимая во внимание (5), получим окончательно гара= л Ьруаул У Р ! (9) Обозначая бесконечныз м!три гм тгмл же буквами А и В, что и соо!ветстнующие операторы, а элементы эгнх матриц обозначая Если аря и Ьрл — элементы матриц, соответствующих операторам А и В, то для оператора Р= ВА имеем матрицу ггр„, определяемую формулой г!Рд(Р луг у(!Р)(ВАиувр)(АгуллВ*~Р) или, в силу формулы скалярного произведения и Ьм с! = Ху (Ау, в,) ° (Влзр, О,) = у а„,Ь;,.
Р ! у=! 505 (бз( ОГРлпсшясп»ыг опвглтогы си»волами 1А)рч и ~1В)лр, можем записать пРедыдУщУю фоРмУлУ в инде (вл) = ~~ (в),(л),к ь=-! Если имеются три линейных ограниченных оператора А, В н С, то, в силу сочетасельного закона (СВ) А=С(ВА), можно написать следую!дую формул> перестановки суммирования: т(~ к»„!ьь,) »ь! „- » »с»„(~ »в»„»ь»,,), р ~» / ь=! (с-! 163. Ограниченные операторы.
Всякий ограниченный линейный оператор А порождает, как мы видели, бесконечную матрицу а Рч. Поставим обратный вопрос: каковы должны быть элементы а бесконечной матрицы для того, чтобы формула (3) давала ограниченный линейный оператор в Ус? Л1ы требуеи, таким образом, чтобы ряды (3) сходились для любого элемента (<„(м...) из ?ч и чтобы существовало такое число ЛС, что для лк»бого элемента хп ?ь имеет место неравенство сО ) Оэ ь сь ~» (Уо„„(, (~" ~~»1ч (ь. (12) =! /=! ь=! Напомним, что для оилинейного функционала, в случае огрзниченного оператора Л, мы должны ииеть оценку /(Ах, у) ) ( ЛС))х!1 ()у!!г Применяя эту оценку к урезанным элементам, получим следующее необходимое условие для а, содержащее консчиые суммы: ! ь с ь с С т „, „-, Л1 ~~(,м У~, ~ (13) ч —..! а:! н=! ч ! Это условие оказывается не талы!о необходииым, но и достаточным, т.
е. имеет место следующая теорема: Теорема 1. Для того чтобы арч были элементами лсатрицы линейного ограниченно~о ссрео бразованпя, необходимо и достаточно, чпсобы для любых целых положсстельных к сс ? сс для любых ко.индексных час!ел (м и тс„выполнялось условссе (13) прп неко!пора.я выборе числа И (не зависящего от (ю т, й и с). Необходимость условия была выяснена выше.
Доказываем его достаточность. Г!усть (:», (ь...) — любой элемент из ?ь. В условии (13) полагаем У=й н т,„= т а„„,сн н=! (п = 1, 3, 3,... й,). (163 506 пяостглнство Гильвеятл Оно дает при этом или и тем более а а ;)'' а„$ — дг" Х ! $. !'. (14) Покзжем, что из этих неравенств следует сходимость рядов ~„а„". ~а=~ (л=1, 2,...) (1о1 для любого элемента из гм Пусть при некотором выборе элеменга (И', т $'...) и числа п этот ряд расходится. При этом и подавно расходится ряд Х ~л, ('! т ! и конечная сумма этого ряда ! а„(~'( а„Е'"', ( Л1я ~„)(д'!я. т ! т ! При беспредельном возрастании и левая часть этого нераиенства беспредельно растет, и мы пришли к противоречию. Таким образом, все ряды (15) действительно сходятся для любого элемента х. Покажем .теперь, что из (!4) следует неравенство а, '.
(Йя ~ !с !я. (16) Деиствнтельно, если бы при некотором (г и для некоторого элемента х из (, мы имели бы противоположное неравенство, то прн будет беспредельно возрастать при увеличении и. Изменим аргументы комплексных чисел т'и так, чтобы произведения а„т'"' оказались положительными числами. Применяя к полученному таким образом элементу 1, неравенство (14) и отбрасывая слева все слагаемые, кроме слагаемого соответствующего упоиянугому значению п, будем иметь 507 163 огглни'<явныя опгяатояы этом же <г и лостаточно большом 7 (причем мы можем, очевидно, считать 1)л) мы имели бы ь Р лл ~„а„г ~ )Л/" ~ )! )' и тем более ! ! ! р сл а„.1.~ ==да ~;!.!л, л= ! л<=! щ а э!о противоречиг (!4) при к =7. Таким образом, неравенство (16) доказано.
Беспредельно увеличивзя в неи л, мы придем к (12), н теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Отметим, что при доказательстве достаточности условия (!3), мы пользовались им толы<о в случае <' =Ф. Покажеи, что достаточно проверить это условие только для квадратичной формы, т. е. для ограниченности оператора достаточно проверить при любом <г неравенство (17) ал т=! л,т=-! Принимая во внимание формулу, выражающую бллинейный функционал через соответствующую квадратичную форму, и (17), можем написать ! л Г ь Х Плт<иЛл~ ,! ~ Х !лм + ~м !а ! ~ ) г !"<! т=! Считая нормы элементов х и у равными единице, мы получаем, принимая во внимание, что , 'з+ р !'( 2 ( ) а ',т+ ) р !Я), з для элементов любой нормы алт(т~л ~4Д< Х !(м!' ' ~ )т< т.
е. из (17) следует условие (13) при 1=1< и тем самым ограниченность оператора, определяемого матрицей ал . Отметим еще некоторые обстоятельствз, связанные с условием (13). Если а удовлетворяют условию (13), то элементы матрицы сопряженного оператора !Ал) = а р такм<е, очевидно, удовлетворяют этому условию, как это и должно быть, согласно общей теории. Введем еще матрицу 508 [163 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБГРТА транспонированного оператора и матрицу комплексного сопряженного оператора (А')рд — а рг 11А)рд — а, . (181 Мы имеем, очевидно, А* = (А)' = А', (101 и элементы матриц операторов А' н А, очевидно, удовлетворяют услови| (13), если ему удовлетворяют элеиенты основной матрицы А. Из (! 3) непосредственно вытекает, что все ард должны быть ограничены но модулю числом, не зависящим от р и у, а именно, полагая ( = и =1, а остальные д и пр равными нулю, получим ,'а ) (Дт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
