1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Таким образом, для любого заданного положительного с можно фиксировать такие значения а н Ь из упомянутого выше множества, повсюду плотного в [ — со, +оо], ция ограниченной вариации. При этом, если за точки деления хв будем брать точки, принадлежащие к множеству точек, на которых дп(х) — е (х), то предыдущее доказательство сохранит свою силу, и мы по- яр еж н е м у п р и д ем к формуле (69). Укажем теперь обобщения доказанной теоремы, аналогичные тем обобщениям, которые мы приводили в [1Ц. Теорема 3. Лоложилс, что у (х) непрерывна внутри промежутка [ — со, + со] и ограничена, ип(х) и г(х) — возрастаюгцие Функции на [ — со, +со], непРеРывные на концах этого пРомежУтка, и Бп(х) — Б(х) на плотном множестве точек иромежутка [ — со, + со] й, в частности, на обоих концах этого промежутка.
Лри этом имеет место Формула 50 интигплл стилтьвсА что первое и третье слагаемые правой части формулы (72) будут меньше с при всех достаточно больших значениях и, К конечному промежутку [о, Ь] применима доказанная выше теорема, т. е. и второе слагаемое правой части (72) будет меньше с при всех достаточно больших значениях и. Таким образом, леван часть неравенства (72) будет меньше Зс при всех достаточно больших значениях и; откуда, ввиду произвольности с, и следует формула (7!).
Перейдем теперь ко второму обобщению теоремы 2, которое касается несобственных интегралов Стилтьеса. Теорема 4. Положим, что э (х) непрерывно внутри промежутка [ — со, + оэ[. йп(х) и д(х) — ограниченной вариации но этом промежутке, причем вариации яп(х) нс превышают некоторого числа, нс зависящего от и. Пусть далее рп(х) — «(х) нп множестве, плотном в [ — оо, + со[, и несобственные интегралы У(х) ддп (х) = 1)ш [ э" (х) дяп (х) в — ьь Л сходяася равномерно относительно и. При эаолг у (х) инпссгрирусмп по и(х) на [ — оэ, + оэ], и и,исса место формула [71].
Пусть в — заданное положительное число. Существует такое положительное А, что для любого промежутка [В', В"], лежащего вне [ — А, + А], имеет место оценка В" ~ ~ У(х) дип (х) ~ ( с. в (73) Фиксируем любой такой промежуток [В', В"] н пинсем очевидное нера- венство в В" В" В" ~ у(х) дя(х) )(( '[ у(х) див(х) )+! ~ у(х) дя(х) — ~ У(х)ддп(х) !. В вг В' В у(х) дя(х) = 2е, В Это неравенство, ввиду произвольности с, и доказывает существование интеграла от у(х) по д(х) на [ — со, +со].
Формула (71) доказывается совершенно аналогично тому, что мы делали выше при помощи подразделения промежутка [ — со, +со] на три части. 13. Принцип выбора. Мы исследовали раньше принцип выбора для множества непрерывных функций [!Тс; 13 и 16]. Сейчас докажем теорему, которая даст нам принцип выбора для функций ограниченной вариации. Теорема (Хслли). Пусть 5 — множество функций огроничснной вприоции нп промежутке [а, Ь] (копсчном или бесконечном), причем существует такое положительное число Е, чспо для всех функций В(х), принадлежащих $, имеют место нсровенстпво !а(х)[ -7-' )г (й) (74) В силу замечанин к теореме 2 можно взять настолько большое и, чтобы второе сла~аемое правой части было меньше в.
При этом из (73) будет непосредственно сведовать, что |З] 51 ПРИНЦИП ВЫБОРА в. е. все функции я(х) по абсолютной величине ограничены и их вариацпи на[а,Ь| также ограничены некоторым числом. Прсг этом из любой бесконечной последовательности рл(х) функций, принадлежащих множеству й, можно выделить подпоследовательность дл (х), которая во всех точках "й [а, Ь] стремится к некоторой функции е(х) ограниченной вариации. Достаточно доказать лишь возможность вылелення подпоследовательности ел (х), которая во всех точках [а, Ь| стремится к пределу.
После этого нз "й условий теоремы, в силу сказанного в |12], будет непосредственно следовать, что и предельнан функция е(х) есть функция ограниченной вариации. Предварительно докажем лемму. Лемма. Если имеется некоторая последовательность функций И„(х), возрастающих на промежутке [а, Ь| и ограниченных одним и вем же числом ь', во из нее можно выделить подпоследовательносвь функций, имеющих во всех точках [а, Ь| предел.
Построим счетное множество точек хй (Ь = 1, 2, ...), содержащихся в |а, Ь], и состоящее из левого конца х=а и всех точек х, имеющих рациональную абсциссу. Это множество точек плотно в |а, Ь], и мы можем выделить подпоследовательность И„ (х), которая сходится во всех точках хй. "й Таким образом, мы получаем предельную функпию Ь (х), определенную пока только в точках а и хй. Распространим ее на остальные точки [а, Ь] следующим образом. Если х есть точка [а, Ь|, не принадлежащая упомянутому множеству точек хй, то будем считать Ь(х) равным точной верхней границе значений й(х) для всех хй, лежащих левее х, т. е, положим И (х) = зир Ь (хг). кй (л Построенная таким обрззом функция й (х) будет, очевидно, возрастающей и ограниченной нз промежутке |а, Ь]. Она может иметь только конечное или счетное множество точек разрыва: 1„ ,сь... Во всех точках хй множества, повсюду плотного на |а, Ь[, последовательность Ь„ (х) сходится к И (х).
Соль гласно теореме 1 из |12|, сходнмость будет иметь место и во всех точках непрерывности И (х), лежащих внутри [а, Ь]. Таким образом, сходимость Ь„(х) "й к И(х) может отсутствовать лишь в точках разрыва .[й функции И(х) н на правом конце промежутка. Применяя к последовательности И„(х) еще раз "й принцип выбора, можем добиться того, чтобы сходимость имела место и в этих точках (1Тг; 15], и таким образом лемма доказана. Теперь уже нетрудно доказать и основную теорему 1. Каждую функцию ограниченной вариации я(х), принадлежащую множеству р, мы можем представить в виде разности возрастающих функций [](гл(й)+й(х) 3 2 [[(гаМ) л(х)1, (75) 1 1 причем, в силу (74), обе эти возрастающие функции по абсолсотной величине не превосходят числа ь'. Применяя лемму, можно утверждать, что из посаедовательности ел (х) можно выделить такую последовательность, для которой уменынаемое в правой части (75) во всех точках [а, Ь] стремится к предельной функции.
Применяя еще раз лемму, можем утверждать, что из полученной последовательности можно выделить подпоследовательность, для которой и вычитаемое правой части (75) во всех точках |а, Ь] стремится к предельной функции. Таким образом, получим такую подпоследовательность ел (х), которая во "й всех точках |а, Ь] стремится к предельной функции, и тем самым теорема доказана. [14 интпгядл стилтьесл 14. Пространство непрерывных функций. Рассмотрим множество всех функций, принимающих вещественные значения и непрерывных на заданном конечном промежутке [а, Ь], и назовем это множество пространством С, Элементом этого пространства (или его вентором) явлнется любая непрерывнав на [а, Ь] функпия.
Различные непрерывные функции представляют собой различные элементы С. Фчнкцию, тождественно равную нулю на [а, Ь], назовем нулевым элементом С. Вели мы составим любую конечную линейнуго комбинацию вещественнык функций, непрерывных на [а, Ь], с вещественными ноэффициентами с,уг(х)+саут(х)+ ... +с ущ(х), то получим вещественную непрерывную на С функцию, т.
е, элемейты С можно умножать на вещественные числа и складывать, после чего опять получзется некоторый элемент С. Эта операция подчиняется обычным законам элементарной алгебры, например: уг (х) + Л (х) =ут (х) + Л (х); с [ут (х) + Л (х)] = су, (х) + суа (х); (с, + ст)У(х) = сьУ(х) + сьУ(х); с, (стУ(х)) =(с,сП У(х). Введем в пространстве С понятие нормы элемента, т. е., иначе говоря, введем понятие о длине вектора в пространстве С. Нормой элемента У(х) мы назовем наибольшее значение, которое и р и н и м а е т [ У(х) [ на [а, Ь]. У нулевого элемента норма равна нулю, а у всякого другого она положительна.
Будем обозначать норму элемента У(х) символом [] У[[. Введем, наконец, в пространстве С пои я т ие с ходи мости. Мы будем говорить, что последовательность элементов гя(х) из С сходится к э л е м е н т у У(х) из С, если ][У(х) — У» (х) [] — О. Это последнее равносильно тому, что наибольшее значение ] У(х) — Уя(х)[ на промежутке [а, Ь] стремится к нулю, а это, очевидно, равносильно тому, что У„(х) У (х) равномерно н а [а, Ь].
Введем теперь понятие функционала и оператора в пространстве С. Функционалом в С назовем всякий определенный закон, согласно которому любому элементу У(х) из С сопоставляется определенное вещественное число. Дая функционалов вводнт обычно следующие обозначения: Ф [У(х)], Ч' [у (х)] и т. д. Понятие функционала является видоизменением обычного понятия функции.
Роль аргумента в случае функционала играют элементы С, а значением функционала является вещественное число. Функционал называется дистрибутивным, если для любой конечной линейной комбинации элементов сЛ(х)+саул(х)+ ... +с ум(х) он удовлетворяет равенству Ф[сгУг(х)+ сЛ(х)+ ... +с„,Ум(х)] = (76) = сгФ [Уг (х)]+ саФ [Л (х)]+ ...
ещФ [Уя, (х)]. Функционал Ф[У(х)] называется ограниченным, если существует такое положительное числа Ь(, что для любого элемента У(х) из С выполняется неравенство (77) [ Ф [У(х)][ ( Ьу[] г"(х)[[. В левой части неравенства стоит абсолютное значение вещественного числа Ф [У(х)], которым выражается значение функционала в С для элемента у(х), а справа стоит произведение положительного чисаа утг на норьгу элемента У'(х), т. е. произведение утт на наибольшее значение, которое имеет [у(х)] на промежутке [а, Ь].
Дистрибутивные и ограниченные функпионалы будем называть линейными функционалами. Можно еще ввести понятие непрерывности функционала, а именно функционал Ф[У(х)] называется непрерывным зри выполнении следующего условия; если уя(х) — у(х) 53 14] ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦНй Ф [г (х)[ = '] у'(х) г(д (х). (78) а Он представляет собой линейный функционал Ф [г"(х)]. Его дистрибутив- ность вытекает из дистрибутивности интеграла по отношению к функции г(х), а его ограниченность непосредственно следует из оценки в г" (х) ~(д(х) ( ТЛг (я), а где Ь есть наибольшее значение [г'(х)] в промежутке [а, Ь], Таким образом, для функционала (80) роль числа Ф, входящего в формулу (77), может играть полная вариация )г„(Р), Вернемся к неравенству (77).
Если оно имеет место при некотором выборе положительного числа ДГ, то оно тем более имеет место при больших значениях утг. Покажем, что существует наименьшее значение Ф, при котором (77) имеет место. Отметим прежде всего, что если ]]у'[] = О, то у'(х) тождественно равно нулю на [а, Ь], т. е. у (х) есть нулевой элемент С, если [ыб][ = О. Для всякого другого эаемента ,']у[[ ) О.
Но нулевой элемент С можно представить в виде произведения уа (х) = О. г'(х), где у (х) — какая-либо непрерывная функция. Из (76) следует, что Ф (га) = О. Ф (у) = О, т. е. любой дистрибутивный функционал равен нулю на нулевом элементе С, Таким образом, для нулевого элемента неравенство (77) имеет вид О ( д( ° О, и оно собл1одено при любом выборе )тг, так что мы можем рассматривать (77) лишь при ][у'[[ ) О. Принимая во внимание (76), мы можем переписать (77) в виде '6~1~=~ Но Р(х) =-, .
есть элемент С с нормой единица. г" (х) []У[] (79) р а в н о мер но на [а, Ь], то Ф[Уа(х)[ — Ф[у(х)]. Нетрудно видеть, что линейный функционал непрерывен. Действительно, пользуясь (76) и (77), можем написать ] Ф [у (х)] — Ф [га (х)] ] = ] Ф [г (х) — Уа (х)] ] ( АГ [[ г (х) — га (х) []. В силу равномерной слодимости Уа(х) к У(х), имеем ]] г'(х) — г" (х) [] — О, и, следовательно, Ф[у'(х)] — Ф[уа(х)[ — О, т. е. действительно гг [га(х)]— — Ф [г"(х)]. Мы могли бы при определении линейного функционала потребовать дистрибутивностн и непрерывности и затем доказать его ограниченность, т.
е. при наличии дистрибутивности ограниченность функционала и его непрерывность равносильны. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта, которое не представляет никакого труда. Приведем пример функционала. Пусть х, какая-либо фиксированная точка из промежутка [а, Ь]. Значения непрерывных функций в этой точке у(ха) представляют собой линейный функционал в С. Определенный интеграл л ~ г'(х) а'х а также представляет собой пример линейного функционала, пусть Р(х) — функция ограниченной вариации на [а, Ь]. Для всякого элемента г"(х) из С можем составить интеграл Стилтьеса иитегглл стилтьесл Обозначим через пв — точную верхнюю границу неотрицательных чисел [ Ф (7)[, где 7 (х) — любой элемент С с нормой единица; пф — — эи)т [Ф(7) [, йтп = ! (80) Из (78) непосредственно следует, что пв и есть наименьшее возможное значение /тг в неравенстве (77).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
