1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Пред- положим, ради несущественных упрощений в записи, что с(х) ) ) О. Тогда все Л» отрицательны. Будем считать также, что си- стема всех собственных функций (и»(х)), й = 1, 2, ..., орто- нормирована в В»(В), т. е. (и», и,) = ~ и»и~дх=бы, (130) в причем и» соответствует значению Л». В [150] доказано, что все и» принадлежат пространству Н7»а,о(В) и образуют базис в про» 2 странствах 7»(В), ))т»(В) и %'ко(В).Крометого, там жедоказано, о| что в пространствах йт»(В) н вг»,о(В) можно ввести новые скалярные произведения [и, о] = ~ [а,»и,»о„»+ сио] йх в и (и, о] = ~ А (и) Ь (о) ах в соответственно, которым отвечают нормы 1]и ]], = т/[и, и] и ]]и][»= о = 1/(и, и), эквивалентные исходным нормам пространств 1»'»(В) и )Р'»,»(В). В этих новых скалярных произведениях система собственных функций (и»)», ортогональна, причем [и» иЛ = — Л»б»ь (13! ) а (и», и ) = Л»б»и (132) Функции а»е "'и»(х), й= 1, 2, ..., при любых числах а» являются решениями уравнения (126), удовлетворяющими краевому условию (127).
Они и все их производные по 1 принадлежат при всех 1) О пространству В",, » (В). Уравнению (!26) они удовлетворяют при всех 1) О для почти всех х из В. Будем решение и задачи (126) — (!28) искать в виде ряда Ю и(х, 1) ~, а»е~»'и»(х). »-» ые Гл Н.ПРелальныя зхпхчи формально, подставляя этот ряд в (128) и используя соотношения (130), мы найдем выражения для ам ал — — йр, из), в=1, 2..., Паша дальнейшая цель состоит в том, чтобы исследовать характер сходнмости ряда и(х, 1)= ~', (<р, иа)е"ь'и„(х) (133) з 1 и убедиться, что он дает обобщенное решение задачи (126)— (128) из такого класса, в котором есть теорема единственности.
Во-первых, легко видеть, что ряд (133) сходится в Ез(В) равномерно относительно 1 ) О, Действительно, прн любых т и р и Г)0 ! Р Р (р, иа)е "«,11 = ~',(~р, и„)'е ' » (2 (ф, «,)', з а а и М и причем числовой ряд ~~',(р, из)з сходится и его сумма равна з (! Ч~ 1(з. Следовательно, сумма и ряда (133) при любом 1) 0 есть элемент 7 з(В), непрерывно зависящий от 1) 0 в норме Вз(В). Последнее означает, что !1и(х, 1+ М) = и(х, 1) 11 -«О прка!- 0 и 01+ йГ ) О. Прн ! 0 ряд (!ЗЗ) сходится к ср в норме Е,з(В), н потому 11и(х, М) — ф(х) Ц- 0 при М- +О. Покажем, что при 0 ряд (133) сходится в норме пространства Фз,о(В) равномерно относительно ген (е, оо), где е — любое положительное число. Действительно, в силу (!32) р !р / „(1) ~ ~' (~р, и,)е з из(х)~ = ~~' Хзе з (<р, и ).
зй-т г з-е Но при ! ) е ) 0 функции Азе ь при всех й = 1, 2, ... не превосходят некоторого числа С„зависящего лишь от в. Поэтому при( ~е)0 / (г) ~ С, )' 1'р, и„) . Но это и доказывает желаемую сходимость ряда (133). Из нее следует, что сума)а и ряда (133) есть элемент йтз,з(В), непРерывио зависящий'от г в норме' этого пространства прн ( ) О. Й4члениое дифференцирование ряда (133) по 1 дает ряд Я йз'(у, иь)е"'из'(4, ~139 Ф-! ) 62) метод ФуРЬБ для пАРАБОлических уРАВнении 6!7 Покажем, что в таком классе задача (126) — (128) не может иметь двух разных решений. Одно из них, определенное формулой (!33), мы уже нашли.
Пусть и'(х, 1) есть другое обобщенное решение задачи (126) — (128) из класса )Лг Тогда их разность о(х, !) есть обобщенное решение из того же класса Ей, однородной задачи (!26) — (128), т. е. задачи ))4(о)=01 а !з,=.О о !2-о=О (135) В области Р,, г, е ) О, это решение обладает той гладкостью, которая требовалась при выводе энергетического неравенства (124), следовательно, для него справедливы оценки за) о2)»х (ее~а-е) ~ в2е(х В (е) (! 36) ери любом ееи(0, !) и 1е=(е, Т1. Устремляя в этом неравенстве е к нулю и используя то, что ~ оэс(х — »О при Б-РО, убедимся, В !е! что о(х, 1) — = О. Теорема единственности доказана.
Если на ф(х) наложить дополпитсльпые условия, то ряд (! 33) будет сходиться лучше, и его сумма будет обладать лучшими дифференциальными свойствами. Например, если который сходится в норме 7.2(В) и даже в норме Ч)ее(В) равномерно по г при 1) е ) О, где е — произвольное положительное число. )Аоказывается это так же, как и выше, с учетом того, что функции)хе !е ен = 1, 2, ..., на полупрямой 1) е ) О, не превосходят некоторого числа С,,„ зависящего лишь от е н г. Такая сходимость ряда (134) гарантирует принадлежность его суммы к )()'2,2(В) при всех г) 0 и то, что эта сумма есть обобщенная производная по ! суммы и(х, !) ряда (1ЗЗ) в областях Р,, г = = ВХ(е, Т), е ) О. Из всего сказанного следует, что сумма и(х, 1) ряда (133) есть обобщенное решение задачи (126)— (128) в области Рг = В)«',(О, Т) из класса !Лг, элементы которого о(х, 1) обладают следующими свойствами: они суть элементы 1.2(В), непрерывно зависящие от г ен (О, Т) в норме 1.2(В); они имеют обобщенную производную ое(х,1) в Рг, причем о(х, 1) и о!(х,1) являются элементами (уе,е(В), непрерывно зависящими от 1еи(0, Т'1.
Сумма и(х,1) ряда (133) при любом 1> 0 и почти всех х из В удовлетворяет уравнению (126). Граничному условию (127) она удовлетворяет в том смысле, что при ! ) 0 является элементом 272,2(В). Начальное же условие выполняется «в среднем»: ((и(х, 1) — !р(х)!1-' 0 при ! — Р+ О. ГЛ, П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ньз а1 о $ ф ее Ят (В), то ряд (133) сходится в норме йт (В) равномерно относительно 1)О и его сумма, тем самым, будет элементом о ~ о Я71(В), непрерывно зависящим от Г в норме У'2(В) при всех Г =е О. Действительно, благодаря (131) и (129) ~ (ф, иь) е~ь иь = ) [ ХА ](ф, иь) емь1 < А и 1 Ааа Р а ~'.~~,И~...~ = ~ 1ф, — =' — —"" 1, —,.ь ъ~[л!з ~[ф, „",' ~ =[ф, ], т.
е. ряд (!33) сходится в норме йтз~(В) равномерно относитель. а но !в=[0, оо). Покажем, что при феейта(В) ряды, полученные двукратным почленным дифференцированием ряда (133) по х1 1= 1...,, п, сходятся в норме Т.1(Рт), где Рт = ВХ(0, Т), а Т вЂ” любое конечное число. Это так, ибо т а (ф, и1)е А иь Ш Ф ьа и и т ~ йь (ф, иь~'е'"" ат ( ~~> е [ ХА [(ф, иь)' -+ 0 при т, р-о.ьо. Это же неравенство гарантирует и сходимость ряда (!34) в 11(Р). Наконец, из того факта, что система (и„), образует базис в пространстве !Р'ео(В) [150]„следует, что при ф ен йтз~,ь(В) ряд (!ЗЗ) сходится в норме йт](В) равномерно относительно 1 еи [О, ьо), и его сумма есть элемент йт~е ь(В), непрерывно зависящий от (еи[0, оо) в норме)Р'2(В). Ряд (!34) при этом будет сходиться в норме Т.е(В) равномерно относительно 1еи[0, оо), и его сумма о(х, 1)=и~(х, 1) будет элементом 1.,(В), непрерывно зависящим от 1~ [О, со) в норме (.з(В).
Итак, мы доказали следующую теорему: Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (126) и область В удовлетворяют условиям теоремь1 2 [148], с(х)) 0 и ф~г,з[В). Тогда решение задачи (126) — (128) дается рядом !63! МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ПАРАЕОЛИЧЕ( КНХ УРАЕНЕНИН б!9 (!33), который сходится в Е«(В) равномерно относительно 1ее г== [О, оо); при 1) О он сходится в норме (рг~(В) равномерно отлосительно 1 ен[е, оо), где е — произвольное положительное числ ). Ряд, полученный почленньсм дифференцированием ряда (133) по 1, сходится в Е«(В) при 1 ) О и равномерно относительно ген[а, оо).
Сумма ряда (133) есть обобщенное решение задичи из класса 8Я;(с любым Т), причем в этом классе имев~ место О теорема единственности. Если ц) ~(у' «(В), то ряд (!33) сходится о ) в (рг(В) равномерно по 1ы [О, оо), а ряды полученные его сгочленным дифференцированием один раз по 1или деа раза по к, сходятся в норме Е«(РТ), Рт = В)А',(О, Т). Наконец, при (р~)Ргю,ю(В) ряд (!33) сходится в норме Ур,(В), а ряд (!34) в норме 1«(В) равномерно относительно 1ен [О, оо). Рассмотрим егце задачу А (и) = [ (х, 1), и !з = О, и 1, ю = О, (137) где Š— то же, что и в (126),-а [~ Е«(0т). Ей формально удовлетворяет сумма ряда и(х, 1)=~ ~)«(т)е «( '~ати«(х),.
(138) А-! Ю где 1«(т)=*' ~1(х, т)и«(х)с(х. Покажем, что ряд (138) и ряды, е полученные его почленным дифференцированием по х один и два раза сходятся в норме Ех(РТ), так что сумма ряда и(х, 1) и ее производные и„, и и,„будут элементами И«(РТ). Для этого достаточно убедиться, что т р) с ),, [ к,[с () ~ нс м()[с) ()«9) «-р ю стремится к нулю прн р и пг-Роо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
