1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 96
Текст из файла (страница 96)
е. с»(0) = О, получим с»(1) = $ в о! Ь»(1')сй', о и подставляем это в (83): ! и(Р; 1)=~ о»(Р) ~е~»" "Ь»(1')!й'. (84) »-о о Оправдаем это решение при следующих предположениях о сво. бодном члене: и(Р; 1) имеет при всяком 1) 0 внутри В непре- рывные производные первого порядка по координатам точки Р н ряды К', Ь.(1) "(Р); Й Ь,(1)Л„.,(.); 2 Ь,(1)Л,'е„(Р) (85) » 1 »-! »-! Ь„(1) о» (Р) — 1! Х»о»(Р) $ е~»»! '!Ь» (1') !11'. »-! »-! о Ф Принимая во внимание регулярную сходимость второго из ранив (85), мы можем утверждать, что ряд, стоящий в вычитаемом написанной разности, рав>юмерно сходится при прежних регулярно схолятся, если Р принадлежит замкнутой области В я 1 любому конечному промежутку [О, Т).
Принимая во внимание регулярную сходнмость первого из рядов (85) и тот факт, что О < в»! ! ~1 при 0 < !' (1, можем утверждать, что ряд, стоящий в правой части формулы (84), равномерно сходится при указанных условиях для Р и 1. Его сумма и(Р,1) — непрерывная функция Р и 1 при тех же условиях для Р и 1. Из вила правой части (84) непосредственно следует, что и(Р;1) удовлетворяет условиям (80) и (8!). , Остается проверить, что функция и(Р; 1), определяемая формулой (84), имеет внутри В и при 1) 0 соответствующие не. нрерывные производные и удовлетворяет уравнению (79). Дифференцируя почленно по ! ряд, входящий в формулу (84), по- лучим из» Гл.
и. пеедельныв 3АдАчи условиях для Р и 1, Сумма ряда, стоящего в уменьшаемом, равна п(Р; 1), ибо по условию этот ряд регулярно сходится [$71, 31). Таким образом, мы имеем О » и,(Р; 1)=п(Р; 1) — ~~~ о»(Р) Х» ~ е»~ 'Ь»(1')й', (86) »1 ' О причем и~(Р; 1) непрерывна при указанных условиях для Р и 1. Заменяя в этой формуле Р на Щ умножая обе части на 0(Р; Я) и интегрируя по В, получим, принимая во внимание интегральное уравнение для о»(Р), ')') 0(Р; Я) и»(Я; 1)»(В= в = )) 0 (Р; Я)п(Я; 1)дЯ вЂ” ~Ч о»(Р) ~ е»и пЬ»(1')Ж', »-! о причем сумма последнего ряда равна и(Р; 1). Таким образом и(Р; 1)= — )) 0(Р; Я)и,(0; 1)»Б+ )) 0(Р; Я)п(ф 1)дВ.
(87) Поскольку пЯ; 1) имеет внутри В непрерывные производные, можем утверждать, что последний интеграл имеет внутри В непрерывные производные до второго порядка по координатам точки Р, и оператор Лапласа от этого интеграла равен [ — пЯ; 1)). Используем теперь регулярную сходимость третьего из рядов (85) и докажем, что и(Р; 1) имеет внутри В непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению (79) .
Обозначим щ(Р; 1)= — и,(Р; 1)+и(Р; 1) = ) о,(Р) Л» ~ е»»н ~Ь»(1')Ж'. »-1 Принимая во внимание регулярную сходимость третьего из ря. дов (85), мы можем написанный равномерно сходящийся ряд дифференцировать почленно по 1, после чего получим и,(Р; 1)= ~ Х»Ь»(1) о„(Р) — ) о»(Р) А» ~ е»' пЬ»(1')Ж', »-1 »-1 0 причем написанные ряды равномерно сходятся. Заменяя в последней формуле Р на Я, умножая обе части на 0(Р; Я), инте. нводг!огодноя тнавнвния 499 грируя по Я и учитывая уравнение для вь(Р), получим ~ ~ 6(Р; Я) и!! (Я; !) !13 в 00 00 Ь4 «) п„(Р) — ~~ оь(Р) )!4 ~ ехь!! ~!Ь «') г!!', ь-! А-! о и, следовательно, принимая во внимание (85), получим и (Р; 1) — ~ ~ Р (Р; Я) ш! Я; 1) г(В, в откуда следует, что и!(Р; Я) имеет внутри В непрерывные про.
изводные первого порядка. После зтого формула (87) показы- вает, что и(Р; 1) имеет внутри В непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению би (Р; 1) = и! (Р; 1) — п(Р; 1), и тем самым формула (84) полностью оправдана. Если говорить только об обобщенных решениях уравнения (79), то можно оправдать формулу и при меньших предположе- ниях о свободном члене. Напомним определение обобщенного решения уравнения (79).
Пусть Р— цилиндр, о котором мы го. ворилн в [151], и Рг его часть, ограниченная сверху плоскостью 1 = Т. Функция и(Р; 1) называется обобщенным решением урав- нения, если для всякой функции о(Р;1), имеющей внутри Рг непрерывные производные до второго порядка и равной нулю во всех точках, достаточно близких к границе Рг, имеет место формула ) ) ) и (0т„0+ и„„+ о!) !(х ду !1! = — ) ) ) нос(х !(у Ю.
(88) ог ог Мы ограничимся обобщенными решениями класса С(Т)т). Предположим, что первый нз рядов (85) регулярно сходится, если Р принадлежит В и 1 находится в конечном промежутке [[О, Т[. Тогда сумма зтого ряда равна п(Р; 1), и, как мы выше видели, ряд (84) сходится равномерно, так что и будет принад. лежать С(Р,). Обозначим через п„(Р; 1) отрезок первого из рядов (85) п„(Р; 1) = ~ Ь4«) о4(Р), ь-! и через и„(Р; 1) — отрезок ряда (84): й ! Х;~ „(Р) ~ хь(!-пЬ «.),1У 4-! о гл и пгсдгльные зхдлчи кч Функмия и„(Р; 1) удовлетворяет уравнению (79) со свободным членом и.(Р; 1).
Таким образом, мы можем написать: ~ ~ ~ и„(о„„+ о„„+ о,) ихиуи1= — ~ ~ ~ п„одхк(уй. ог ог 11ереходя к пределу при и- со и принимая во внимание, что п,(Р;1)-~п(Р;1) н и,(Р;1)- и(Р;1) равномерно в ээг, мы получим (88), т. е. функция и(Р, 1), определяемая формулой (84), есть обобщенное решение уравнения (79). Непосредственно видно, кроме того, что эта сумма удовлетворяет условиям (80) и (81). Если использовать тот факт, что непрерывное обобщенное решение однородного уравнения теплопроводности есть классическое решение этого уравнения (82], и теорему единственности решения предельной задачи уравнения теплопроводности, то, совершенно так же, как и для уравнения Пуассона, можно показать, что обобщенное решение неоднородного уравнения (79) при заданных начальных н предельном условиях †единствен. 159.
Свойства решений уравнения теплопроводности. Рассмотрим уравнение и, — и„,= О. (89) Пусть имеется решение и(к, 1) этого уравнения, имеющее непрерывные производные и, и и~ в некоторой точке М и ее окрестности Из уравнения (89) следует, что при этом производная и, — непрерывна. Окружим точку М достаточно малым прямоугольником АВС0, со сторонами, параллельными осям (рис. 15), так, чтобы в этом прямоугольнике существовало указанное выше решение и(к, 1) Выберем начало координат в точке А, и пусть 1 — длина АВ, Обозначим через ы,(1) и ыэ(1) — значения нашего решения и на сторонах АВ и ВС, и через 1(х) — его значения на стороне АВ. Рагсмотрим сначала тот случай, когда 7(к) = О. Мы можем написать решение и(х, 1) согласно формуле (17) в виде Ф к' и(к, 1) = ~ ~ ) ч ке сен-и пт+ о (1 т)'и с ~к-~> 1 ~ Ф(Ю (х 1) е-4а~(Ф,),(т (9О) 3 2а з/а (! — т) тде непрерывные функции Чэ(т) и ф(т) определяются из' ин!тегральных уравнений (18).
При этом надо иметь в виду тебрему единственности для "уравнения (89). Пусть точка 1нм Ьа) находится внутри АВСВ. Рассмотрям, например, первый иэ- интегралов, вмвдящнх в правую часть фор- своистВА Решения РРАВнения теплопРОВОдиости ЕВ! мулы (90). Если мы заменим в нем хь на х'+ х"г, где х' достаточно близко к хь и х" достаточно близко к нулю, то веществен. ная часть (х'+х"1)з будет положительной, откуда видно, что упомянутый интеграл будет равномерно сходящимся на отрезке (О, 1] по отношению к параметру х = х' + х"~' при всех комплексных х, достаточно близких к хь, и, с другой стороны, подын.
тегральная функция этого интеграла есть целая функция х при 0 ~ т < б Отсюда следует, что величина интеграла есть голоморфная функция х в окрестности всякой точки (х,1), находя- шейся внутри АВСВ [П!м 70] и, в частности, точки М. То же можно утверждать и относительно второго из интегралов, входящих в правую часть У формулы (90). Таким образом, решения уравнения (89) р суть аналитические функции переменной х. Это утверждение не будет справедливым по отношению к переменной б Действительно, если бы всякое решение уравнения А а а (89) было аналитической функцией г, то значения функции на любой прямой, параллельной оси Г и принадлежащей полуполосе, изображенной на рис.
!5, вполне определялнсь бы, в силу принципа аналитического продолжения, теми значениями, которые имеет эта функция на отрезке упомянутой прямой, принадлежащей прямоугольнику АВСВ. Но это не будет иметь места, так как значения и зависят, очевидно, от того, каким именно способом мы будем продолжать функции ьн(1) и гвз(1), заданные первоначально только на отрезках А0 и ВС прямых х = 0 ик=й До снх пор мы предполагали, что 1(хь) ма 0 в промежутке (О, 1). Если это не так, то мы можем продолжить эту функцию 'на более широкий промежуток Еа, Ь1 так, чтобы она была равна нулю на концах этого промежутка, и затем продолжить ее нулем вне этого промежутка. Составим разностш и-ки и — — 17(В)е м йа. В З/яГ ~та разность имеет нулевые значения на отрезке АВ, н к ией прылолеимы указанные выше рассуждения. Остается рассмотр~гь .,ращение <4 ки Я;Ех, Г)= — -1-Щ)е .
и аВ.к 'к гл. и. пвндвльныв задачи бвз гдв л2 +1 иы+~(1)= ти+~ ~ (и=О, ), 2, ...). дх'"+' )иен Пользуясь уравнением (89), можем иапнсатгн ди ди йии,()) нт„+1(1) — в)„( — „) = и,'„ к О (92) Если р — положительное число, меньшее радиуса сходимости ряда (9)), то мы имеем неравенство [П)т, 84) 1. ие"+'()) ~ й( (за+ 1)) [ ри ' где М вЂ” некоторое положительное число. Из (92) вытекает сле- дующая оценка для производных функции и, (1): Нии1(1) ! М (ти+ 1]) ! Ши [ и Эта оценка не гарантирует аналитичности функции и1(1). Если бы мы имели более сильную оценку: то ряд Маклорена функции и~(1) был бы сходящимся, п эта функция была бы регулярной в окрестности начала.
160. Обобщенные потенциалы простого и двойного слоя в одномерном случае. В [152] мы изложили решение предельной задачи в полуполосе, ограниченной снизу характеристикой 1= 0 уравнения (5), а сбоку прямыми х= О и х=1. Рассмотрим теперь область на плоскости (х, 1), которая ограничена Применяя теорему об интеграле, зависящем от параметра ([П)з) 70), мы видим, что ие(х, 1) будет регулярной функцией (х, 1) в окрестности любой точки, находящейся над осью 1 = О, т.
е. при 1) О. Отметим еше, что из формулы (90) непосред. ственно вытенает, что функция и имеет производные всех по. рядков по 1 при 0 ( х ( 1. Можно дать оценку для производных от решения уравнения (89) по 1. Пусть и(х,1), аналитично по х, имеет производные всех порядков по 1 в окрестности х = 1 = О н нечетно по х. Мы будем иметь разложение в ряд Маклорена: 1ищ Ововшепныа пОтеициАлы пРОстОГО и двОИИОГО слОя воз снизу характеристикой 1=Ь, а сбоку — двумя линиями 11 с яв. ным уравнением (рис. 16): х = о,(1); х= ое(1) [О1 (1) < оз(!)], (93) причем о1(1) имеют непрерывные производные при 1) Ь, Для решения задачи в такой области нам надо построить обобщен. ные потенциалы простого и двойного слоя, которые при о1(1) = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
