1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 95
Текст из файла (страница 95)
В уравнении (53) положим 1= 1г+г и производную по 1 заменим отношением приращения функции к приращению л независимого переменного. В результате такой замены мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций иг(х), которые являются приближенными значениями для и(х, 1,+г), поскольку мы производную по 1 заменили упомянутым выше отношением. Система дифференциальных уравнений для их(х) имеет, очевидно, вид г!ги г(х) и , (х) — и (х) п(х, 1гг.г) (й = О, !...
„и — !). (56) Принимая во внимание (54), положим иг(х) =1(х), а вге остальные функции и,е,(х) мы подчиняем предельным условиям (55): (57) их, г (О) = иг„„( 1) = 0 (й = О, !... „и — 1). Процесс вычисления сводится к следующему. Полагая в уравнении (56) й = 0 н подставляя иг(х) =1(х), получаем уравнение второго порядка для иг(х), которое мы должны проинтегрировать при предельных условиях (57). Найдя таким образом иг(х) и полагая в уравнении (56) й = 1, получаем уравнение для иг(х), которое мы должны проинтегрировать прн предельных условиях (57), и т. д. В дальнейшем нам придется исследовать уравнение вида хг —, — т'у= — я(х) их (58) при предельных условиях у(0) = у(1) = О, причем мы обозначили тг = 1: й. Введем ф)Рзкцию Грина оператора, стоящего в левой части уравнения (58), при предельных ям тл и лРвдвльнын зАДАчи условиях (59).
Нетрудно проверить, что она будет иметь вид [74] С(х, $)=— — (е'"" — е "")[емц-н — е ц в]: 2т(е'" — е- ) (х($), — [е" м-и — е- м-н](е'"1 — е-"1): 2т(е'" — е- ) (х)~), (60) (62) Правая часть написанного неравенства представляет собою решение уравнения — „, — т х= — [н(х) [, удовлетворяющее предельным условиям (59). Для этого реше.
иия, как мы только что доказали, имеет место оценка а(х)-- —, гпах [п(х)]. 1 е<л<1 В силу [63), тем более имеет место оценка (62). и решение уравнения (58), удовлетворяющее предельным условиям (59), выражается формулой 1 р(х) = 1 6(х, ь)п([,)г(к. (6! ) Докажем лемму: Для решения уравнения (58), удоелетеоряющего предельным услоеиям (59), имеет место оценка [у(х) [к= —, п1ах [п(х) [.
1 0<х~! Рассмотрим сначала тот случай, когда п(х) ~ 0 в промежутке- [О, (]. Покажем, что при этом у(х) ) О. Действительно, если бы это было не так, то р(х) должна была бы иметь внутри протеежутка отрицательный минимум, и в соответствующей точке было бы у" ) 0 и тту ( О, а это противоречит (58) при п(х) ~ ) О. Неравенство у(х) ) 0 следует и из (61), Таким образом, все значения у(х) — неотрицательны, и в некоторой точке внутри промежутка [О, (] эта функция прини. мает наибольшее положительное значение. В этой точке мы должны иметь у" (х) = О, и из уравнения (58) непосредственно следует — т'у(х) ) — п(х), откуда и вытекает оценка (62). Если п(х) принимает отрицательные значения, то, пользуясь формулой (61) н принимая во внимание, что функция Грина (60),' ие принимает о~гицательных значений, получим оценку 1 [р(х) [(~$ 6(х, ь) [п($) [с(ь.
(63) нгимвны|иь конечных Р»зностеи 493 Введем в рассмотрение ошибку у»+1(х), получаемую от замены и(х, 1»+1) на и»+1(х), и ошибку Ч»+,(х), получаемую от за. мены производной отношением приращения функции к приращению независимого переменного: у +, (х) = и (х, г»+,) — и, +, (х); д». ) ( (*,,) — "(* ) ~ (64) Ч»+1(х) = д( ~»+) причем, очевидно, у»(к) ~ О.
Полагая в уравнении (53) 1= 1»+» и складывая почленно полученное уравнение с (56), будем иметь уравнение 1(х) у» ,(х) — у» (х) Йх» — л + Ч»+1(к) или ( х ) — гп у»х, (х) = — гп у» (х) + т)„„(х). (65) » Если предположить, что функция и(х, Г) имеет непрерывную вплоть до ( = О производную по 6 то из выражения (64) для Ч»+,(х), путем применения формулы конечных приращений, мы можем заключить, что для функций Ч»+~(х) имеет место оценка )Ч»+~(х) ! = т, где т не зависит от й и х и стремится к нулю вместе с й.
Обозначим через 6» максимум (у»(х) ! при О = х < 1. Применяя к уравнению (65) доказанную выше лемму, получим б»+1 ( б»+ йт. Суммируя это неравенство от и = О до й = а — 1 и принимая во внимание, что Ỡ— — О, получим б,~ ийт=Тт. Это неравенство тем более будем иметь место, если суммировать от й = О до некоторого л = гп ( и — 1, т, е. мы имеем (и(х, ( ) — и (х))х Тт (лт= 1, 2, ..., а — 1). (66) Мы видим таким образом, что ошибка у„(х) стремится к нулю вместе с и.
При доказательстве этого факта мы предполагали, что существует решение задачи и(х, () и что эта функция имеет непрерывную вплоть до Г = О производную по й Указанное применение метода конечных разностей принадлежит Роте (Ко(йе Е.) и изложено в его работе «Етче)г))шепа)о. на!е рагаЬоИсЬе Капйчег(ац(даЬеп а!з Огепх(а!1 е)пг))гпепз)опа1ег Кап»)тхег(ан(йаЬеп» (Ма(Ь. Апп., 1929, 102). В этой работе рассматривается более общее уравнение вида д»и ди д =и(х Г) д( +и(.» 1, и), и изложенный метод используется для доказательства существо- вания решения. нот гл. и пеедельные задачи Ао+)со = 0 при предельном условии (7! ) о!с=О и ໠— коэффициенты Фурье функции 1(Р): ао = ~~1(Р) оо(Р)с(Я. (72) в Положим, что функция 1(Р) сама непрерывна, имеет в замкнутой области В непрерывные производные до второго порядка и равна нулю на й При этом )(Р) = ~ а„оо(Р) с-1 (73) Если мы имеем неоднородные предельные условия и1,=о = сос (1)' и !.-с = мо(!) то, вводя вместо и новую искомую функцию о по формуле о = и — (1 — х) со с (1) — хсоо (1), мы приведем предельные условия к однородным.
Указанная замена функции изменит свободный член п(х, 1), что не играет существенной роли. Этот метод позволил исследовать и многомерные параболические уравнения, причем не только линейные, но и некото рые классы квазилинейных уравнений (см. работу О. А. Лады. женской: Первая краевая задача для квазилинейных парабо. лических уравнений. — ДАН СССР, 1956, 107, с.
636 — 639; Тр. Моск. матем. об-ва, 1958, 7, с. 149 — 177, и ее книгу «Краевые задачи математической физики».— Мл Наука, 1972). ! 57. Метод Фурье для уравнения теплопроводности. Мы применяли часто раньше метод Фурье для решения предельных задач. Проведем обоснование этого метода, пользуясь теорией интегральных уравнений Рассмотрим, в случае трех независимых переменных, однородное уравнение "с=" +и«о (67) в области В с контуром 1 при следующих условиях. и!с о — — 1(Р) (Р из В); (68) и!с=О. (69) Метод Фурье дает формально решение этой задачи в виде и(Р; 1)= Х аое "о'оо(Р), (70) о-с где Хм о»(Р) — собственные значения и собственные функции уравнения метод еэгьв и написанный ряд регулярно сходится в Б, т. е.
ряд 6 ~ ]а«о«(Р)! «-! (74) сходится равномерно в в (см. (!27]), Принимая во внимание, что 0(е «(~1 при 1) О, мы мо. жем утверждать, что н ряд (70) сходится регулярно, если Р принадлежит В и ! ) О. 1ем самым, его сумма и(Р, !) есть не. прерывная функция Р н 1, если Р принадлежит Н и 1) О. От. сюда следует: )пп и(Р; 1) = и(Р; 0) = ~., а«о«(Р) =](Р), «-++о «! т. е. функция и(Р; !), определяемая формулой (70), удовлетво рвет начальному условию (68). Далее, каждая из функций о«(Р) удовлетворяет предельному условию (69), а потому и функция и(Р;1) удовлетворяет этому условию при 1) О. Остается убедиться в том, что функция и(Р; 1) внутри В и при !') 0 имеет непрерывную производную по 1, непрерывные производные и„, и„„ и удовлетворяет уравнению (67).
Продифференцируем ряд (70) почленно по 1! Π— Х, а«Л«е "«'о,(Р), «-! (75) и пусть а — произвольно выбранное положительное число. При* нимая во внимание, что при всех достаточно больших л мы имеем 0 < Л«е ~«"„< 1 и равномерную сходнмость ряда (74), можно утверждать, что ряд (75) сходится регулярно, если Р принадлежит В и 1) !х. Совершенно аналогично доказывается, что и ряд Ю Х а«Л«е ' о«(Р), «-! полученный почленным дифференцированием ряда (75) по 1! также сходится регулярно при указанных выше условиях. От. сюда следует, что и(Р; !) имеет непрерывные производные пер. вого и второго порядка по ! при 1) 0 и Р, принадлежащем Н, и для этих производных мы имеем и! (Р„!) = — ~ а«Л«е «'о„(Р); «-! и«,(Р; !)= ~ а«Л~е "«'о,(Р).
(76«) «-! ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ П88 Аналогичное рассуждение применимо и для производных лю. бого порядка по 1. Но мы имеем оА (Р) = Л» ~ ~ О (Р; Я) о8 (Я) ЫЯ, в где О(Р; Я) — функция Грина оператора Лапласа, при предель. ном условии (7!), и формулу (768) можно переписать в виде ОЭ ис (Р; 1) = — ~~~~ $ $ аАЛ~Аг ~8'0(Р; Я) оз Я) 818. 8-1 В Принимая во внимание равномерную сходимость ряда (768) в' В при 1 ) О, можем переставить сумму н интеграл и получим и~(Р; 1) = — ~~ 6(Р; Я) им Я; 1)сБ, (77) в (79) и совершенно аналогично и (Р; 1) = — ~ ~ 0 (Р; ф и8 Я; 1) д5. (78) в Функция ипЯ, 1) непрерывна в В прн 1) О, н из (77) следует, что и8(Р; 1) имеет внутри В при 1) О непрерывные произвол- ные первого порядка по координатам (х, у) точки Р.
После этого формула (78) показывает, что и(Р; 1) имеет внутри В при 1) О н прерывные производные до второго порядка и удовле- творяет уравнению би (Р; 1) =- и, (Р; 1), что мы н хотели доказать 158. Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь неодно- родное уравнение и8= и„„+ и„+ п(х; у, 1) с однородными начальными и предельными условиями )пп и О; (80) 8.8+8 и )8 О. (8() Введем в рассмотрение коэффициенты Фурье свободного члена ЬА(1) $$ п(Р; 1) ив(Р)81о (82) в и будем искать решение задачи в виде и(Р; 1) ~~~; ев(1) вь(Р), (83) й 8 иа! нсодногод!!ое и лвнгние 497 Подставляя в уравнение (79) и принимая во внимание, что »»е» = — Л»о», получаем для коэффициентов с»(1) дифференциальное уравнение: с» (1) = — Л»с» (1) + Ь» (1), откуда, принимая во внимание (80), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
