1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Л = Л'+ (Л"). Значительно более сложный анализ показывает, что полный спектр задачи (474) состоит из неограни. ченного числа собственных значений (Л4)„пи КеЛ,-+- — со при й-~-оо, Это было установлено Карлеманом (см. (138)). В следующем пункте мы докажем это для случая снмметри ческого оператора Е, т. е.
когда Е' = Е илн, что то же, когда Ь,(х)= — О, а сейчас перейдем к формулировке и доказательству третьей теоремы Фредгольма для задачи (474). Пусть в ней Л равно какому-нибудь собственному значению Ль Если задача (474) имеет решение и для Е взятого из Ез(0) (мы всюду имеем в виду решения нз класса (Р'зв, о(0)), то умно. жая первое из уравнений (474) на произвольную функцию О из класса йгз,а(0) и интегрируя затем по Р, мы можем результат преобразовать следующим образом. ~ Е (и) в 4(х = $ и 1.' (Р) 4(х = ЛА $ пв гЬс + $ 1и 4(х.
о в Э в 470 049 гл. и пьвдельныв з»д»чи Для о, равных любому из решений о» задачи (483) с Л = Л», это равенство приобретает вид ~(о»ах=О, (484) о следовательно, оно необходимо для разрешимости задачи (474). Докажем, что условие (484) является и достаточным для разрешимости задачи (474). Действительно, необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения (475) в пространстве Е»(0), согласно третьей теореме Фредгольма для уравнений с вполне непрерывным оператором Ь[, является условие О=0.
'(1), )=О,(Е ') ( ))= Ч, ), » о где о» вЂ” любое решение уравнения (482) с Л = Ль Но задача (482) эквивалентна задаче (483) с Л = Л», и их решения ь» совпадают, так что это условие есть не что иное, как условие (484), Оно имеет такой же вид и в случае комплексного Л». Подытожим теперь все доказанное в виде теоремы: Теор е м а 1. Пусть для 0 и 0 выполнены условия теоремы 2 предьсдущего пункта. Тогда задача (474) однозначно разреисима в [1т»,ь(0) для любого 1 из Ь»(0) при всех вешегтвенных Л, кроме не более чем счетного числа значений Л», й = 1, 2.
составляющих вещественную часть спектра 0 в 0 при первом краевом условии. Для этих и только этих значений Л» однородная задача (478) имеет нетривиальные вещественные решения, причел! каждому Л» соответствует лишь конечное число линейно независимых решений задачи (478), Множество (Л») является вещественной частью спектра сопряженной задачи (483), причем Л» для нее имеет ту же кратность, что и для задачи (478), Числа Лы й = 1, 2, ...
можно расположить в порядке их убывания, и единственной точкой накопления для (Л») может быть лишь Л = — ьо. Для разрешимости задачи (474) при Л =Л» необходимо и достаточно выполнение условий (484) ортогональности 7' ко всем решениям однородной сопряженной задачи (483) при том же Л». При выполнении этих условий общее решение задачи (474) н» имеет вид и=-иь+ ~ с,и»„где иь есть какое-либо частное ре! шение задачи (474), с,— произвольные числа, а и»п ! = 1, ...
..., [ч» — решения задачи (478) с данным Л». Эта теорема есть одна из возможных формулировок фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле (474). Как сказано выше, аналогично исследуется задача (474) для 1,, заполияюших всю камиле~сную плоскость. Условие разре- 1Ю1 ФРедгольмовА РАзРешимость зАдАчи диРихле 471 шимости задачи (474) при комплексном ХА имеет тот же вид (484). Полезно заметить, что для решений задачи (474) при всех Х, отличных от (ХА), справедлива оценка 1 и 1'а ~ (СА '1 7 1, (485) Т.
(и, т1) = — ~ (Хги + Р) 11 Ых, Э (486) где Р = 7+(Х вЂ” Хг)и. Число Хз выберем столь большим, чтобы выполнялось неравенство (420), гарантирующее теорему единственности из 1145] для задачи (474) с Х = Хы т, е. для задачи (487) Х(в) =Хчи+Р, в)в=О, причем функцию Р=)+(Х вЂ” Лг)и рассматриваем как известную (в ней в качестве и взято известное по условию теоремы Обоб. щенное решение из йтги(0)). Ясно, что Реп 7г(0). В силу (4864 и есть обобщенное решение задачи (487) из ЯГЗ(0) с только что указанным Р.
С другой стороны, теорема 2 (148) гарантирует однозначную разрешимость задачи (487) в классе йтг,о(0) (бла. годаря (420) имеет место первая теорема Фредгольма). В силу постоянная СА в которой зависит от коэффициентов Т., области 0 и взятого Х. Для тех Л, для которых выполнено условие (420), мы смогли дать явное выражение для СА через некоторые сравнительно простые характеристики области 0 и параметры Р, р, 1А, и Х.
В общем же случае, когда известно лишь, что Х не совпадает со спектральными значениями Хы й = 1, 2, ..., мы можем утверждать существование постоянной См но не можем выписать ее явного вида. Ясно, что СА стремится к бесконечности при приближении Л к спектру (ХА). Заметим, что и фактическое определение спектра для данных Х и 0 является весьма сложной вычислительной задачей. Из теоремы 1 данного пункта и теоремы 2 (148) вытекает следующее предложение: Те о р е м а 2. Пусть для Х и 0 выполнены условия теоремы 2 предыдущего пункта.
Тогда любое обобщенное решение задачи (474) из класса (Р'г(0) является элементом ))таз(0). Действительно, пусть функция и является обобщенным ре. шепнем задачи (474) из класса В'г (О), т. е. принадлежит о~ В'~(0) и удовлетворяет тождеству (407) при любой функции э т) ен Ю'г(0). Запишем тождество (407) в виде гл, и пявдгльныв задачи п60 же теоремы 2 ]145) это решение обязано совпадать с исследуе о мым обобщенным решением и нз В'з(0), н потому и есть эле.
мент Я7г.о(0), что и требовалось доказать. 150. О спектре симметричного оператора. Рассмотрим снм. метрнчные дифференциальные операторы 1. вида (402), т. е. такие, для которых оператор Е', сопряженный с. по Лагранжу (его выражение дается равенством (480)), совпадает с 0, Они имеют вид д Г дик Е(и) = — ~ам — )+ си. дх (, дх ) Изучим для них спектральную задачу Е(и)=Хи, и]э=О, (489) в ограниченной области Р, считая, что для коэффициентов Е и области Р выполнены условия теоремы 2 ]148).
Из результатов, доказанных в [149], следует, что для неограниченного опера. тора Т, заданного на плотном множестве Я(Ь)=(рз~,ч(0) пространства Е~(0) равенством (488), сопряженным оператором является он сам с той же областью определения )ргь с(0). В этом случае говорят, что 0 является самосопряженным оператором, и записывают это в виде равенства Л = Ь'. Соответствующая ему квадратичная форма Е(и, и) имеет вид 0(и, и) = — ~ 0(и)ис(х= ~ (а„и„,и,„— сиз)дх.
в о Так как по условию — с(х)) — Мм то при Хз = рз Е, (и, и) — = — $ (0 — Хь) (и) йх = Ь (и, и) + Хо И и ]]' ) в ) ч ~ и~ йх ) чСп~ ]~ и ]]э, в (490) где Сс есть положительная постоянная из неравенства (423)' ]145). Согласно результатам 1148] для Е1 Еа — ХоЕ существует обратный оператор Е, ', который является вполне непрерывным, самосопряжеиным оператором в пространстве Ез(0). Ввиду этого для него справедливы теоремы, доказанные в ]1Чн 39 — 36).
А именно, его спектр (полный) состоит ие более чем из счетного числа вещественных чисел, которые мы обозначим через Мм й = 1, 2, ... Каждому р~ соответствует конечное число линейно независимых решений уравнения Е, из= рди„, (491) СПЕКТР ГИММГТРИЧПОГО ОПЕРАТОРА »ТЗ являющихся элементами Л»(0). Так как Л~ обратим, то число р = О не есть точка спектра Е~' (т, е.
ни одно р» не совпадает с нулем), и потому число различных собственных значений !»» неограничено. Из свойств оператора Ь| следует, что и» принад. лежат )кт, »(0), н потому любое и» есть решение задачи А|и= — и, и(з — — О, 1 (492) и с !» = р», и, наоборот, любое решение задачи (492), принадле. жащее )Р'»ь» (О), есть решение уравнения (49!).
В свою очередь, аадача (492) есть ие что иное, как задача (489) с Л = ЛР+ р-'. Из неравенства (490) следует, что все и» отрицательны и — !»»( ( т-'СО. Действительно, для и = и» неравенство (490) дает оценку Е.~(и», и») = — — Ци»!(») тСо Пи» !». 1 -1 и» Опять-таки в силу свойств, установленных в (!Ч,! 30 — 33) для виотие непрерывных симметрических операторов, собственные числа н», и = (, 2, ... можно считать занумерованными в по. рядке их возрастания. Кроме того, каждое собственное значение удобно записывать в последовательности (!»»)» , столько раз, какова его кратность, и каждому из них сопоставить одну нормированную в 0»(0) собственную функцию иы причем выбрать их так, чтобы они все были ортогональны друг другу. В соответствии со сказанным, мы будем считать, что — т 'Ср(~!»~- !»,~(...
<О, !»»-РО при й-»со, (493) и соответствующие им собственные функции (и») „, удовлетво. ряют условиям (и„, и1) =бы. (494) Спектр оператора Л при условии Днрлхле состоит из чисел (Л,)~ ,, Л» = Л» + !» ', и числу Л» соответствует собственная функция и» вЂ” решение задачи (489) при Л = Лм Все функции иы как отмечалось выше, суть элементы В'в а(0).
Ясно, что Л» — — оо при й-»- со, Займемся теперь теоремами разложения по системе соб ственных функций (и»), 1. Теорема 5 ()ЧО 36) утверждает, что система (и,)„", образуег базис в Л»(0), т. е. любая функция ~ нз Л»(0) разлагается по ней в ряд Фурье ! 1 (х) Х (! и») и, (х), (495), ГЛ. П, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ сходящийся к ней в норме Сз(0), и (!11= Е (1, и,). (496) А-! Покажем теперь, что если 1 ен йГ"з,о(0), то ряд (495) сходится к ней в норме К,о(0), т. е. ряд (495) допускает почленное диф- ференцирование по х один и два раза и полученные прн этом ряды (заметим, что онн уже не ортогональны в Ез(0)!) сходятся в Ьз(0) к соответствующим производным 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
