1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 88
Текст из файла (страница 88)
457 Г>>ЛЬЯЕРТОВЫ ПРОСТРА!>СТВА! ОПЕРАТОРЫ !4П стема элементов (!рА) „что (ч>А, ф!)=бы и любой элемент и 60 представим рядом и = ~~' (и, !рх)!рА,сходящимся к нему в норме А ! О пространства Н. Отсюда следует, что !|и(!>= ~, ~(и, фА) г'. Число А-! таяна базисов неограничено. Но, выбрав однц такой базис, можно построить изоморфизм между двумя произвольными комплексными гильбертовыми пространствами Н>, в том числе между Н и комплексным гильбертовым пространством (ь Элементами (А являются числовые последовательности х=(хь хг...,) комп лексных чисел хА, удовлетворяющие лишь условию ~ (х, г' < А-! <ОО„Операции умножения на число и сложения определяются так: ах =(ах>, ахь ...), х+у=(х>+у>, ха+ум ...), а сна.
лярное произведение равенством (х, у), = К хАуА. А-! Указанный выше изоморфизм строится так: элементу и ен Н сопоставляется набор й = ((и, !р!), (и, <ре), ...) его коэффициентов (и, !рА) по выбранному в Н ортонормнрованному базису (!р,) и Нетрудно понять, что при этом (и, о)=(й, б), ° Благодаря этому с абстрактной точни зрения все гнльбер. товь! пространства (имеются ввиду лишь полные сепарабельные пространства) устроены одинаново, и факты, доказанные для одного из них, могут быть переформулированы для другого.
Пространства, указанные в начале данного пункта, изоморфны вещественному пространству (ь а тем самым и друг другу. Поэтому многое из того, что было доказано для пространства (.>(О), оказывается справедливым и для других пространств. Папример, неравенство Буняковского — Шварца есть простое следствие аксиом (455). Для случая абстрактного пространства Н оио имеет вид ) (и, о) ((!! и(!!!о!!.
Однако мы не будем использовать наличие изоморфизма между интересующими нас конкретными функциональными пространствами, ибо извлекаемые нз этого факты мало наглядны, н к тому же мы не доказали еше, что пространства йгэ(0) с целыми ! сепарабельные. Сепа! рабельность (5'>(О) и Фт о(0) будет следовать из предло>кеннй пункта [!50).
Ее нетрудно доказать для всех пространств (5',(0) нз более простых и общих соображений, что и сделано в (Ч; гл. !Ц. В данном гильбертовом пространстве Н можно ввести новую гильбертову струнтуру (т. е. иное сналярное произведение) так, чтобы оно оставалось при этом снова полным пространством. Для этого надо, чтобы новая норма !! (!', соответствующая но- п!7 гл.
и. предельные зкдлчн 458 ному скалярному произведению (,)' (т. е. (!и)Г= ~/(и, и)') была эквивалентна исходной норме !! !1 Эквивалентность норм 11 !!' и 11 !! означает существование таких двух положительных констант С! и Сь что для всех элементов Н справедливы неравенства С,1~и1<1и ~1'--С,1и$. Ясно, что если последовательность элементов иы й = 1, 2, сходится в норме !) !!, то она сходится и в норме )| 1|' и наоборот.
Это гарантирует полноту Н и по отношению к сходимости в новой норме. Если Н было сепарабельным, то и порожденное нм новое гильбертово пространство будет сепарабельным. Одним из основных объектов изучения в гильбертовых пространствах являются линейные операторы. Оператор А назыааетсп линейным ограниченно!и оператором в Н, если он отображает Н в Н, причем А (пи + Ьо) = аА (и)+ ЬА (е), и существует такое положительное число С, что для всех элементов Н выполняется неравенство ") 1А (и) 1( С !! и 11 Нижняя грань всех таких С называется нормой оператора А и обозначается через 1!А!!. Докажем справедливость простого предложения, с которым мы, по сути дела, встречались не раз для конкретных функциональных пространств и конкретных операторов, действующих в них. Л е м м а 1.
Пусть А есть линейный ограниченный оператор в гилвбертовом пространстве Н, и его норма !!А!!< 1. Тогда уравнение и= А(и)+ о (456) однозначно разрешимо в Н при любом о. Для нахождения решения уравнения (456) используем метод последовательных приближений в его простейшей форме, а именно: пусть и! —— о, и„+! =А(и„)+ о, и = 1, 2, ... Легко видеть, что ((и,(1=(!и(1, ((и„+! — и„6=1(А(и„— и„!)11:=; ~ (11 А ~! !1 ив — и„, 11 ~ ... (~ 1! А 1~" ' 1! ит — и ! ~ ~ (~~ А 1!ь !! о !!. Отсюда и из условия 1(АЦ ( 1 следует, что (иь), ! есть последовательность Коши в пространстве Н, а так как Н полное, то в Н существует элемент и, к которому сходится эта последовательность.
В силу ограниченности А элементы А(иь) сходятся ч) Часто вместо А(и) пашут короче Аи. ГИЛЬВЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА; ОПЕРАТОРЫ 459 мт! к А(и), и потому и будет решением уравнения (456). Если бы (456) имело два разных решений и и и', то их разность 7е удовлетворяла бы уравнению ю = А(ю). Но это невозможно, ибо 117е11 = 11А(ю) 1~ ( 11А1111ю~~ ( 11ю11. Тем самым лемма доказана. 3 а меч ание. В ['47; 86] доказано аналогичное предложение для нелинейных сжимающих преобразований, из которого вытекает лемма 1.
В дальнейшем нам придется иметь дело с линейными неограниченными операторами, действующими в пространстве Н. В абстрактном гильбертовом пространстве Н изучаются различные классы таких операторов. В большинстве случаев предполагается, что линейный неограниченный оператор А задан на некотором линейном множестве, плотном в Н. Это множество называют областью определения А н Обозначаю~ м)(А). Так, например, дифференциальный оператор 0 из (402) даже при гладких коэффициентах будет неограниченным в пространстве 07(0). В качестве области его определения можно взять множество 1477(0) или множество УР'э,ь(0), если для 0 выполнены условия (413) и (433). Оба они плотны в 07(0). Абстрактные операторы А, сопоставляемые 0 указанием области определения Т„обладают разными свойствами, и потому их надо различать.
В дальнейшем, имея в виду задачу Дирихле, мы будем считать, что Я(Ц=(Т7з,ь(0). Ради упрощения записи обычно не вводят специального обозначения для оператора, порождаемого конкретным дифференциальным оператором (., но четко указывают область его определения (за этим оператором сохраняют символ 0). Нам потребуется в следующем пункте еще одно понятие, связанное с линейными операторами, а именно, понятие ограниченного линейного оператора А, действующего из одного гильбертова пространства Н в другое гильбертово пространство Нн Такой оператор определен на всем Н, и его значения лежат в Нн он дистрибутивен, т. е.
А(аи+ Ьо) = аА(и)+ ЬА(о), н существует такая константа Сь что для любых элементов и из Н справедливо неравенство (457) 11 А (и) 114 ~ (С4 11 и ~1, где 1) (1 есть норма в Н, а 11 1)4 — норма в Нь Нижняя грань таких чисел С4 называется нормой оператора А, и ее чаше всего обозначают также 11А11, без явного указания пространств Н и Н, (если это не вызывает недоразумений).
В соответствии с этим определением дифференциальный оператор 0 из '(402) будет ограниченным линейным оператором, действующим из пространства Н %'7~, ь(0) в пространство Н4 — — 07(0), если коэффициенты Т. удовлетворяют условиям (413), (433), Не вводя и в п4В гл.
и. иеедельные зодлчн этом случае специального символа для оператора Е, мы будем четко указывать, какая область определения и область значений оператора Е имеется в виду. 148. 0 разрешимости задачи Днрихле в пространстве )ео(0). Переходим теперь к исследованию разрешимости задачи (403) в пространстве Ж'о(0). Пусть относительно Е и 0 выполнены условия п. [145] и п. [146], которые гзрантировалн справедли вость первого и второго основных неравенств. Обозначим через Е~ оператор Š— ЛоЕ, где Š— единичный оператор, а число Ло выбрано так, чтобы и[ Л,— р,— —,' =6,>0. ач Тогда в силу (417) длн любой функции и из (то~,о(Р) справед. пиво неравенство Е1(и, и) — — ~ Е~ (и) и йх = Е (и, и) + Ло]! и ]]о ) б, ]! и ]]о, (459) о из которого следует оценка ]! и ]] ( Ь~ ]! Е~ (и) ]!.
(460) С другой стороны, для оператора Е~ и произвольного элемента и пространства ЯГзо, о(0) имеет место неравенство (434) с некоторой постоянной Сь определяемой областью О, числами т, и, !оь ро из условий (4!3), (433) н числом по+]Ло], где р, = = гпах(]ро], ]по]). Из этого неравенства н оценки (460) получим ]]и]]'о'~С,]] Е~(и) ]], (461) где Со= 2ч 1+СМ~| Докажем справедливость следующего вспомогательного предложения: Те о р е м а 1. Пусть для Е и оператора Ео, имеющего тот же вид, что и Е, справедливы условия (413) и (433), и для Е| —— Е, — ЛоЕ и Ео справедливо неравенство (459). Область 0 предполагаем удовлетворяющей условиям предыдущего пункта. Пусть, кроме того, задача Ео(и) ), и [з О, (462) имеет решения и из ЯУоео(0) для какого-либо плотного в Е,(Р) множества йй элементов Е Тогда задачи Ет(и) =), и]з — — О, (463) где Е, = Ео+ т(Е| — Ео), однозначно разрешимвг в чтьо(0) -для всех т иэ [О, !] при любой ! из Ео(0)., РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В 222(О! 4Е1 Из условий теоремы следует, что для Еа справедливы неравенства Еа (и, и) — = — ~ Е, (и) и с(х ) б, (! и ((2 (464) и !! и (!' ~ (~ С2 (! Ео (и) (! (465) для любой и из УРА,2(0).
Благодаря (465) задача (462) однозначно разрешима в й72.2(0) для любой ) из Е2(0). Действительно, для ) ен зй разрешимость дана одним из условий теоремы, а единственность следует из (465). Если же 1ен Е2(Р), но не принадлежит зх, то возьмем последовательность 1, л2 = 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
