1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Прн е> еп(0, т) из (419) следует ( т — е> н> 1 2 + Л вЂ” р — — — ае1 '» и ~(> ~ <— !1 Г ~Р, (424) Оо 44 т 4ее и потому, если прогтрьнгтао ю,', 4о1 !4Е! 447 е о(у', в(у'))=о(у в(у) — т) ~ а 41$, (429) Возьмем от обеих частей (429) модули, результат умножим па л-1 1+ Я ве (у') 4(у' и проинтегрируем по Вр. Это и элемеп. тарные оценки дают следующие соотношения: л-! ~ !о (у', в (у'))! '~/ 1 + ~~, в'„,(у') (у' = ~ ( о И5 ВР ! 1 3 (ле Р 0 л-1 (у, (у)- )+~, 6 1+~, „,(у) (у< ! ! в с !1 Ь',.!и1- ! 14 '4 ( /Щ/ ~и) в о ь ~<С, (430) Р для т еп (О, 6).
Постоянная С1 есть мажоранта для л-1 1+ Х в'„(у') в Вр. Проинтегрируем теперь неравенство ! 1 Оно справедливо для любой функции о, принадлежащей 941(В), 1 т. е. о из Ь!(О), имеющей обобшеипые производные первого по. рядка, суммнруемые по В. Граница 5 области Р должна обла. дать некоторой регулярностью, например принадлежать классу С'. Неравенство (428) справедливо и для более широкого клас са областей: для областей с липшицевымн границами.
Мы ие будем давать их точного определения, ио из приводимого ниже вывода нетрудно усмотреть, какие свойства 5 достаточны для справедливости (428). Неравенс!ао (428) потребуется нам лишь для функций о, принадлежащих С1(0). Поэтому мы ограни« чимся его доказательством лишь для таких о. Из этого факта и плотностп С!(6)' в йг!(О) следует справедливость (428) для любой о еи 971~(Р).
Возьмем в произвольной точке хе ец 5 мест. ную декартову систему координат (у1, ..., у„) и кусок 5р(х'),' поверхности 5, имеющий уравнение в(уь ° ° ° у -1) у' (уь ° * .. у. 1) ~ В, = (у'! (у'! < р). Пусть р таково, что область Вр,ь = (у:у'еи Вр, в(у') — б ~ (ул е в(у')) принадлежит О. Функцию в будем считать не. прерывно дифференцируемой в В,. Функцию о, принадлежащую С1(В), рассмотрим как функцию координат у в Вр,ь.
В силу теоремы Ньютона — Лейбница и!о гл !! Пгвделы!ыа ЗАдкчи 448 (430) по т в пределах от 0 до б н результат умножим на б-', В правой части появится интеграл о б-' ~ ~(о(у'. ы(у') —.) 1йу', о в который не превосходит б ' ~ ! в(у) (с(у. Таким образом мы в приходим к неравенству (о !сЮ(С!д ' ~ ! о1Иу+С! ~ ~ — ~ду~ з!«ч в о о ='С,б ' ~ ! о !!(х+С, ~ ! о„!с(х. "р, о в (43 !) Предполагая, что поверхность Я можно покрыть конечным чис.
лом кусков типа Яр(хо), мы придем к неравенству (428), суммируя (431) по всем таким кускам. Определим теперь пространство ))та о(0). Оно есть замкну. 2 тое подпространство гильбертова пространства )(т" (О) которое определено в 1!Ч!, 115]. Напомним, что Ято(0) состоит из всех квадратично суммпруемых по 0 функций, имеющих квадра. тично суммнруемые по О об. производные до второго порядка. Скалярное произведение в !!то(0) определяется так: (и, о)о — — ~ (ив + и,о„+ и„„о, „) а!х, о (432) где и„о„= ~ и, о„, а и„о„„= ~ и„„о„„. К(0) является полным гильбертовым пространством.
Норму в нем будем обозначать 1(и((о а =(и, и)оп, а иногда, коРоче, (!и!г'!. Г1одпространство Ю~о,о(0) состоит из тех элементов ИГо(0), которые обращаются в нуль на границе 5 области Р. При «хороших> границах 5 в Ю~!,о(0) плотно множество функций из Со(0), равных нулю на 5. Чтобы не доказывать этот важный для пас факт, определим )1'о,о(0) иначе: )т 2.
о (О) есть замыкание в норме Ж'о (О) множества С (О) Функций и из Со(0), равных нулю на 5. (Мы ввели здесь обо. нянчение Со(0); не следует его смешивать с обозначением Со(Р) множества всех дважды непрерывно диффереицируемых функ- 1461 ПРОСТРАНСТВО 4тт, 404 ций, имеющих компактные носители, лежащие в О. Элементы Соа(0) равны нулю не только на 5, но и в ее окрестности.) Ф'э',В(Р) есть полное гильбертово пространство с тем же скалярным произведением, что и в (т'зт(0). Для гладких (и даже липшицевых) границ 5 множество Ф'э, В(0) принадлежит множеа ~ ству !(та(0). Мы предоставляем читателю доказать это утверждение самостоятельно. Теперь мы переходим к получению оценки нормы в Ф4(0) решений и задачи (403) через нормы и и 1 в 1.4(0).
Для этого, помимо усдоаий (413) о коэффициентах Е, будем считать, что а,а имеют ограниченные об. производные первого порядка, т. е. ~ 444 (433) Кроме того, предположим, что 5 принадлежит классу С' (о до. пустимых ослаблениях этого условия см.
замечание в конце данного пункта). Эта оценка есть следствие неравенства ы~~ ~ ч ук(и) у, + С4!и!А (434) справедливого для любой функции и из)!тэка(0). Оно и пазы. веется вторым основнь4м неравенством для эллиптических оль раторов Постоянная С4 в нем определяется некоторыми харак« теристиками границы области 0 и постоянными т, 14 и 144 из условий (413), (433). Неравенство (434) достаточно доказать лишь для и ЯСТВ(0), ибо Са(0) плотно в Жа,о(0).
Действитель~ но, любое и из Ф'з, В(0) можно аппроксимировать в норме )Р'В(0) функциями и из Сао(0) Пусть (434) верно для всех и . В силу указанной сходимости и к и в (434), взятом для и, можно перейти к пределу по т-»со и получить (434) для и. Итак, пусть и ыСВ(0). Рааомотрим ~(4.(и))'а4х и оценим его снизу о следующим образом, (ь (и))'4(х Яами„4„„)'+ 2ами„,, ( — „'А и„+ о да,а 3 +в!и 4+ 3+( — +Ь4и 4+ )144х $ ХВ ~В(1 — Е) ~(аыиа,, Д'т(Х+(! — -~ ') ~ — '" и„„+Ь4иа4+Си) АХ,» о ~в(1 — е) $(а4Ы4',,„~)'4(х — С,( — — 1) ~ (и'+ и'„') 4(х.
(43б) о о ГЛ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ пав Здесь и ниже, если не оговорено противное, по повторяющимся дважды индексам подразумевается суммирование от 1 до л; е — произвольное число из интервала (О, 1), а постоянная Са, так же, как и вводимые ниже постоянные Сю определяются чис« ловыми параметрами из условий (413), (433), и возможно, об. ластью /).
Преобразуем интеграл ~ (а»аил,„а)зг/х с помощью В двукратного интегрирования по частям (см. (107)' 148)) к виду Г/1»илга а//их/х/ С/Х = Яасаихгх/а//ил»»!в д о а д — — (агап/1) и~!и, „, + д (а/аа/1)их,и„„„/ ~г/х+ ~ 1(З) сБ, х /1 х/ где ') 1(З) = аг»а/гихг [ил/„1 СОЗ (И, Ха) — И„„, СОЗ (а, Х/)[, (436) х = и ~ 8. Из (436) следует неравенство ~ (а»аих.х»)зг/х' ~ 7! (х) г/х+ ~ 1(з)сБ— В о 3 — Сз ~(в!и'„, + —, и'„)агх, е!~(О, 1), в! о (437) ') Для возможности первого интегрирования по частям функция и долж- на иметь производные третьего порядка, однако написанное нами равенство, полученное в результате двукратного интегрирования по частям, содержит от и лишь производные второго порядка и справедливо для любой функции и из С»(Р).
Чтобы убедиться в этом, надо аппроксимировать и из С'(Р) функ- циями и из С» (Р) в норме С' (Р). Для каждой из и равенство (436) имеет место. Переходя в ием н пределу по т-».со, получим (436) для и. Указан- ные аппроксимации и можно построить, например, тая: продолжить и на более широкую область Р =! Р так, чтобы продолжение принадлежало С»(Р), 1 и затем от него взять усреднения и» с й = — [1чн 1161. можно убедиться ш в справедливости (436) для и ш С»(Р) несколько иначе, не используя продол- жения и на более широкую область.
А именно, взять последовательность под- областей Р, ~ Р,!= ... области Р, с границами дРЬ равноотстояшими от дР [102). Пусть дР» получена из дР сдвигом вдоль внутренних нормалей н 1 дР на расстояние, равное †.. Для фиксированной Р» усреднения и функй'' ! а» ции и при т ) й определяются только значениями и в Р и сходятся при ш-ь со и и в норме С»(Р»). Для области Р» и всех и 1 с гл ) й равенство л» (436) справедливо. Переходя в нем я пределу по т -~-се, убедимся, что (436) верно для функции и в области Р». Затем сделаем предельный переход по областям Р», устремляя й н бесконечности.
Это даст равецгтго (436) для и и области Р, пРОстРАнстВО мт ~1О) в котором использовано следующее сокращенное обозначение 11(х) = ам (х) ап (х) и ,,(х) и.,х, (х). (438) Покажем, что в силу (413) имеет место оценка 1,(х)н т'и~„(х). (439) Для этого зафиксируем произвольную точку хо ни Р н введем в ее окрестности новые декартовы координаты: у = ом (х — х',), й, ! = 1, ..., п. Ортогональную матрицу им выберем так, чтобы она приводила квадратичную форму а,н(хо)$44 к диагональному виду, т. е. чтобы ам (хо) п,им — — А (хо) би, где Х1(хо) — собственные числа формы ам(х')$Ды а 6и — сим- вол Кронекера ').
Тогда, учитывая условие (413) и закон пре- образования и„,„при переходе к координатам у, получим 1(х')= Т1 Х Х <и )' ) т'и' Но, как легко проверить, и'„„= и'„,, и поэтому неравенство (439) действительно имеет место для всех точек хо из Р. Гэлагодаря (43?) и (439) из (435) следует неравенство ~ (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
