1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 87
Текст из файла (страница 87)
(и))'Их~>(1 — е) !Го'~,'и„„Г+ ~ 1(з)~Ю вЂ” Сзе1~!и„„Р— о з — Се ')и„~'1 — С,(В ' — 1)((1и!)! ), а из этого неравенства — неравенство (1 — е)(тн — С,е~)(!и„„~(~(111. (и) 1!' — (1 — е) ~ 1(з) сБ+ +(Сне, '(1 — е)+С (е ' — 1)')(Ци!)'и) . (440) Здесь е1 — произвольное положительное число, е — произвольо2 ное число из (О, 1), а ~~и„„(2 = ~ и'„'„дх.
При В = 11? н в, = — „ о (440) примет вид —,, т')! и,„. !)Т((9 1, (и) ~(4 — — ) 1(з) сХЗ+ С4()(и )(~в), (441) До сих пор мы не использовали обращение и в нуль на 5. Покажем, что если воспользоваться этим условием, то интеграл ') Напомним, что 6Л равно 1 нрн 1 1 д равно О нрн 1 И'- 1, ГЛ, и. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ /д5 может быть преобразован к виду, не содержащему вто. рые производные и по х. Этот факт является центральным при выводе неравенства (434). Чтобы доказать это, рассмотрим произвольную точку хс на поверхности 5 и введем в ней местные декаРтоеы кооРдинаты У: Уд сд!(х! — »д!), Ь= 1, ..., а, т.
е. таяне, что ось уп нанравлена по внешней нормали и к 5 в точке х' и матрица (см) — ортогональна. Пусть у,=ы(у!, .... ..., Уп !) есть уравнение поверхности 5 в окрестности начала координат у:(О, ..., О). По условию, функция дд(у!, ... ..., у„!)ее С'. В силу ортогональности матрицы (см) имеем х,— х', с„у, /= 1, ..., п, и потому соз(п, х!)=сп!, /=1, ... , и. Рассмотрим выражение /(е) в точке х' и перейдем в нем к координатам у: 1(хд)=амапс,ию ср,с,!и„, с,д — амане,ир,срдс !ир р сю=- где Ьрп=-а!!ср/с,!, р, !/ 1, ..., а. Используем теперь граничное условие и1з — — О.
Вблизи точки хд, координаты у! которой равны нулю, это условие имеет вид и (у! уп-ь м(у! " уп-!)) = О~ причем оно выполняется тождественно по у!, ..., у„, вблизи у! = ... = у, ! = О. Проднфференцируем это тождество по у; и ум д, 1=1, ..., и — 1, и учтем, что в точке х" ддр,=О, =1, ..., и — 1. В точке хд это даст зи ию = О, ир,„д — ирдардрд = — — ырдрд, (443) ди !', Ь=1, ..., и — 1. Благодаря — ~ =О, 1=1, ..., и — 1, У! !дп 1(» ) = (ЬппЬрр ЬпрЬпп) Ь и и (444) При р = и и произвольном !/, а также при д/= и и произвольном р члены, стоящие в круглой скобке (444) взаимно сакра.
щаются, что вместе с (443) дает для /(хд) представление и-! 1(хд)= — ~~' (Ьп„ЬР— Ь„РЬ „)( — „) ыр р . (445) р д 1 Будем считать, что координаты уь ..., у, ! в касательном плоскости к 5 в точке хе'выбраны так, что все смешанные про- ПРОСТРАНСТВО 2Р2 р(о! изводные э„ а, Р ч' !7 в точке хР Равны нУлю (этого, как нз. Рррр~ вестно, всегда можно добиться за счет ортогонального преобра. зования координат уь " ., др !). Тогда Р-! Цхр) = — ~ (Ь Ь вЂ” Ь'„) ( — ) Вз„„, (446) р В силу предположения: Яы Сз найдется такое неотрицательное число К, что ееар] ~(К, р 1,...,и — 1, (447) для всех точек хэ поверхности Я.
Если, в частности, 12 есть выпуклая область, то в качестве К можно взять нуль. Из условия (413) следует, что 0(ЬррЬРР— Ь,р~ (р', и поэтому 2 !,д ) (448) =Сз ~(и!+2]и„]]и„„])!(х(С, ~(аи~„+(1+в ')и'„')2(х, (450) и о где е — л2обое положительное число. Постоянная Сэ равна кон. станте С из (428).
Подставим в (449) эту оценку граничного Благодаря этому из неравенства (441) получаем —,т(1и..!г-':-!1(.(н)1Р+-,р'(л — 1) К ~ ( — „) !А+С (11и1!' ')'. 3 (449) Для оценки граничного интеграла при К ) 0 воспользуемся неравенством (428), взяв в нем о=и'„: !Ив ГЛ П.
ПРЕДЕЛЪНЫЕ ЗАДАЧИ 1-! интеграла, взяв а= — т»( — р'(и — 1) КСА), и приведем подоб- 4 1.7 ные члены: —,!!н-!Р(1(7.( )У+С.(11 (!Е>)' Прибавив к обеим ее частям член — (!|и!1и~)', получим е (!(и 1!а)'(!! Ь(и) !('+ С„(!(и !1")'. (451) С другой стороны, для любой функции и енС!!(О) справедливы соотношения ~ и» 1(л= — ~ и Лиях~(!!и((!(Ли!((~ ~/и (!и!Ц!и»» 1(~ о о ( 1!и»»Р+ 4" 11и!(' »!' с е ) О. Используем его с е= —. для оценки сверху члена 40! С11!и.!», имеюшегося в правой части (451).
В результате этого элементарные преобразования приведут нас к неравенству — (!111 11и~) (115 (и) !!~+ С,1! и 11~, (452) из которого следует интересуюшее нас неравенство (434). !(ак сказано выше, все постоянные С» определяются») и известными нам параметрами нз условий (4!3), (433). Онн могут быть выписаны явно, что легко сделать, следуя только что приведенному выводу неравенства (434). Если и есть решение задачи (403) из пространства й7',4(1:1), то благодаря неравенству (434) мы можем оценить его норму в )!7г(Ю) через!Д и (!и!), а именно: 1!и!)' ~ — (!7!и+ 1(!+ С!(!и !!( — 11) !1+ ( +С!) 11 и!!.
(453) Если же Х таково, что выполняется неравенство (420), то отсюда и из (421) следует возможность оценить (!и((!е! только че. рез (!(!!! ((и(1~~~(~ — „+ ( — „+ С!) )(!1!!. (454) 3 а м е ч а и и е. Из данного нами доказательства неравенства !(434) видно, что от области В были использованы лишь две характеристики: постоянная С из (428) и постоянная К из (447), причем условие (447) может нарушаться в отдельных точках Я и даже на целых множествах точек Б поверхностной меры нуль. ГИЛЬВЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА, ОПЕРАТОРЫ 455 Весь вывод сохраняется для широкого класса областей 0 (на.
пример, для любых многогранников). Неравенство (434) и приведенный здесь вывод взят из ра. боты О. А. Ладыженской (ДАН СССР, 1951, 79, с. 723 — 725). Такое же неравенство было установлено ею и для общих одно/ди х! д родных краевых условий вида ~ — +аи) ~ =О, где — овна. ~д! 7!з ' дг чает дифференцирование по направлению, не касающемуся по. верхности 5 и гладко меняющемуся при переходе от одной точки поверхности к другой.
Более того, были даны оценки, обобщающие неравенство (434) на случай производных и л1о- бого порядка (полные доказательства имеются в книге: Л а д ы- ж е н с к а я О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. — Мс Гостехиздат, 1953). Неравенство (434) для первого краевого условия (т. е. для и ~з = О) независимо от О. А. Ладыженской и другим способом было доказано Каччоп- поли (О!Огп. Ма1. Ва11ап! !п1, 1950 — 51, 80, р. 186 — 212).
Частный случай (434), когда 0 есть круг, извлекается из работ С. Н. Берн- штейна (Ма1Ь. Апп., 1906, 62, 5. 253 — 271; 1910, 69, 8. 82 — 131). Примечательной особенностью двумерного случая является то, что неравенство (434) место для операторов 7. (и) = ~ а,ьи„,„А+ ~ д,и„, + си, Н А-1 ' 1-1 старшие коэффициенты а,А которых могут быть произвольными измеримыми функциями, удовлетворяющими лишь условиям (413). Этот факт доказывается с помощью приема С. Н. Берн. штейна, сводящего данный вопрос для Ь к аналогичному вопросу для оператора Лапласа, и приема О.
А. Ладыженской преобразования и оценки контурного интеграла ~ 1(з) г(3, изложенного выше. При размерности пространства х, большей двух, прием С. Н. Бернштейна не работает и, оказывается, для справедливости неравенства (434) необходимо накладывать те или иные дополнительные ограничения на коэффициенты а,ь (у наев это условие (433)) (см. по этому поводу главы 1 и П1 книги; Ладыженская О. А., Уральцева Н, Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973). 147. Некоторые сведения о гильбертовых пространствах и операторах, действующих в них, Ранее мы имели дело с конкретными гильбертовыми пространствами — пространствами Ьт(0), бает(0), Фт(Р), )Р'з(0), ИГЕ.о(0).
Всех их объединяют некоторые общие им свойства, которые положены в основу определения абстрактного полного сепарабельного гильбертова про. странства О, гл. и. пьвдвльььыв задачи 456 Приведем здесь краткую формулировку аксиом, определяю. щих комплексное гильбертово пространство Н, а также некото. рые их следствия (более подробно см. Р1; гл.
Ч) ). Прежде всего„ Н есть линейное множество, т. е. его элементы и, о..., можно умножать на комплексные числа а, Ь, ... и складывать, и эти операции обладают теми же свойствами коммутативности и ассоциативности, что и в случае комплексного и-мерного векторного пространства (1!11ь, 251). Во-вторых, для любого целого положительного т существует т линейно независимых элементов. Наконец, каждой паре элементов и н о нз Н сопоставляется комплексное число, называе мое скалярным произведением.
Оно обозначается символом (и, о). Это скалярное произведение должно обладать следую. шими свойствами: 455 (аи, о)=а(и, и) и (и, и) > О, если иные. По (и, и) определяется положительное число, называемое нормой элемента и, а именно: ььи(ь=(и, и)'ь. Она равна нулю лишь для нулевого элемента Н (который мы обозначаем просто через О).
В соответствии с этим вводится понятие сходимости: последовательность (иь)„, сходится к элементу и, если 11ьп (1 иь — и()= О. Последовательность (и„)" называется сходяь-ь ь-1 щейся в себе, или последовательностью Коши, если (!иь — и 3- О при й и т, стремящихся к бесконечности. Пространство Н называется полным, если для любой последовательности Коши (иь)„ь существует элемент и, к которому она сходится. Наконец, Н называется сепарабельным простран.
ством, если существует счетное множество элементов Н: (оь)„„ плотное в Н. Последнее означает, что для любого элемента и ~ Н и любого е ~ О найдется такой элемент ом что (1и — оД( < е. Если Н обладает всеми перечисленными свойствами, то оно называется полнььм, сепарабельным, комплексным гильбертовым пространством. Часто свойства полноты и сепарабельности включаются в понятие гильбертова пространства и в дальнейшель не оговариваются особо. Мьь также не будем указььвагь их отдельно, считая, что оба эги свойства выполнены. Если в качестве а, Ь, ...
берутся лишь вещественные числа, то скалярное произведение (и, о) также должно быть вещественным, и в равенствах (455) комплексного сопряжения нет. В этом случае говорят о вещественном гильберговом пространстве Н. Доказывается. что в абстрактном гильбертовом простран. стае Н существует ортонормированный базис, т. е. такая си.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
