1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 89
Текст из файла (страница 89)
из И, сходящуюся к Г' в норме Е2(0). Для каждой из Г существует решение и задачи (462) с Г" =1, принадлежащее )Р'2,2(0). В силу линейности задачи (462) разность и~ — и есть ес решение, соответствующее свободному члену 1=12 — 1 . Для иА— — и справедливо неравенство (465), т. е. (! иА — и ((~ ' а=. С2 (! 1в — 1и (! из которого видно, что (и )„", обраруют последовательность Коши в пространстве Ю'и2,2(0). В силу полноты последнего, су- 2 ществует единственный элемент и ~ (Р'2 о(0), к которому схо.
дятся и в норме )Р'2,2(0). Так как коэффициенты ЕР являются ограниченпымн функциями, то Е2(и~) будут сходиться в Е2(Р) к Еа(п), н потому Е2(и) = Е Итак, мы убедились, что задача (462) разрешима в В'2. о(0) при любом 1 из Е2(0), причем в силу (465) решение ее единственно. Тем самым, можно утверждать, что оператор Еа устанавливает взаимно однозначное соответ. стане между полными пространствами )Р'2~л(0) и Е2(0).
Обратный к Еа оператор Еа ' отображает Е2(0) на )Рзя 2(0), и в силУ неравенства (465) для любого элемента о из Е2(0) (Ео (о)(' (~С2!!о(! (466) Оценка (466), или что то же оценка ((Ео '3((С2 нормы ЕЗ ', как оператора из Е2(0) в )Р2,2(0), дается неравенством (465) (действительно, если в (465) функцию ЕА(и) обозначить через о, то и есть не что иное, как ЕР ~(о)).
Покажем, что этими же свойствами обладают и все операторы Е„т~ [О, 1]. Для этого при. меним к обеим частям уравнения (463) оператор Еа и резуль. тат запишем в виде и+ ТЕо (Е2 — Ео)(и) =Ее 2()). гл. и. певдельные задачи пм Равенство (467) рассмотрим как операторное уравнение и+тАо(и) "Ьо ([) (468) в пространстве !аз,о(0) со свободным членом 7о ([). В нем А,=Ьо (7., — (.о) есть ограниченный оператор, действующий в пространстве В'з,о(0). Его норма не превосходит постоянной Сз, определяемой максимумами модулей коэффициентов 7,з и 7.о и Св ибо для любой и ен )гз, о(0) норма П (Ь! — 1-о) (и) П ( С»П и Р>, н в силу (466) ПАо(и)П~в~([йо'[П(Ь! — 7.о)(и)П(~СзПиП~", (469) где С,=СзС,.
В силу леммы 1 [147) (468) имеет единственное решение в Уг'а о(0) для т ен [О, Сз ). Но это означает, что задачи (463) однозначно разрешимы в !г'з, о(0) прн любой [ ~ 7.з(0) и любом неотрицательном т < Сз, и операторы Ь при т ~ [О, Сз ) устанавливают взаимно однозначное соответствие между )(Гз,о(0) и 7з(0). Если Сз ~(1, то возьмем какое- либо т~ из [Ч»Сз ', Сз ) и, представив 0, в виде Ь,=йч+ +(т — т~) ((ч — Ео), запишем задачу (463) в эквивалентной форме; и + (т — т~) 1,, ' (7.з — Ео) (и) = 7.»,' ([). (470) Оператор А~— = 7.„~(7.з — Ьо) является ограниченным в простран.
стве !г"о~о(0) Покажем, что его норма не превосходит Сз. Для этого заметим, что из условия (459) для 7.з и 7.о следует 1,»(и, и) = — ~ 7.»(и)и»(х (! — т)йо(и, и)+т1,з(и, и)~)бзПиПз, и т ~ [О, !]. Кроме того, для коэффициентов 0», стоящих при и„, и и„,„, справедливы те же неравенства (413) н (433), что и для соот. ветствующнх коэффициентов 0 и Ео, а модуль коэффициента прн и не превосходит из+[)оо[. Ввиду этого, для 0, справедливы неравенства (460) и (461), а из этого следует, что ~7,,'(7,, — 7.о)[~" Сз для тех т, для которых Ь, ~существует, в частности для т = ть Но тогда уравнение (470) однозначно разрешимо в -1 Ф'з,о(0) прн т — т, он[0, Сз ), в том числе при т=2ть Таким образом, мы установили существование оператора Ы„ обратного уз Если 2тз ( 1, то пРедставим 0, в виде Ьз„+(т — 2тз)Х Х (7.~ — 1о) и повторим для него только что проведенное рас.
суждение. Так, за конечное число шагов, мы исчерпаем весь отрезок т он[0, !! и докажем обратимость операторов 0„ а тем РАЭРешимОсть зддАчи диРихле в аг~(в) ма) 463 самым и нашу теорему 1. При т = 1 оператор Е, совпадает с интересующим нас оператором Ег =Š— Л»Е. Теорема 1 позволяет доказать безусловные теоремы сущест. вования для задачи (471) Ег (и) — Е (и) — Лои =1, и )3 = О, для достаточно широкого класса областей Р.
Пусть сначала 0 есть шар или параллелепипед»). Для таких Р возьмем в каче. стае Ео оператор Лапласа. Для него задача (462) удовлетворяет требованиям теоремы 1, Действительно, для таких областей нам известно, что оператор Лапласа при первом краевом условии имеет гладкие вплоть до границы собственные функции (и») и они полны в пространстве Ео(0)»*). Их можно считать ортонормированными в Ео(Р), Любая функция 1 из Ег(0) разлагается по ним в ряд 00 ) (х) = ~ (1, и») и» (х), сходящийся к ) в норме Ео(Р). Функции иа удовлетворяют уравнениям Аи» = Л»и», и„13 = О, (472) Задача Аи=), и)з — О, (473) ч прн любом )(х)=~~ с»и»(х) имеет решение и(х)= 7 — и,(х), »-г »-г и это решение принадлежит йУо~,о(0). Кроме того, множество йй функций 1(х) вида ~ с»и»(х) с произвольными коэффицисп.
»-1 тами с» плотно в Ео(0). Оператор Ео = А удовлетворяет и всем другим требованиям теоремы 1, правда, вообще говоря, с другими, чем Ег, постоянными ч, )гь б. Но это не играет существен. ной роли: можно в условиях (4!3), (433) и (459) выбрать по. стоянные ч, )и и бг, общими для Ео = А и Ег. Таким образом мы показали, что задача (471) однозначно разрешима в В'~г,о(0) при любой )елЕо(0) для случая, когда 0 есть шар, или параллелепипед.
Аналогичное рассуждение *) При и = 2 (задача в )г') в качестве 0 можно взять круг или прямоугольник. **) В (П; 199, 16!) и в (М1; 134 — 137, 146, 164 — 1661 дан явный вид всем иа для так х областей 11, на которого ясно, что и» еа С" (б); в 11271 до. иаоана нолнот ° » г (ИВ ГЛ П ПРВДВЛЬНЫВ ЗАДАЧИ остается справедливым и для других областей О, для которыя известно, что все собственные функции и» спектральной задачи (471) принадлежат Ятэ,ь(0). Например, это так для сфериче- ского слоя 0 = (х.
О < р ()х~( р1) и других областей, являю. шихся параллелепипедами в сферической или цилиндрической системах координат, Пусть теперь область 0 может быть преобразована в область б, являющуюся одной из таких областей, причем функции у = у(х), хан Е), осуществляющие это преобразование, и обрат- ные им функции х х(у), у~В, принадлежат С'(0) и С»(Ь) соответственно, а якобианы — и — строго положительны. д(х) д(к) д(х) д(у) Легко видеть, что если при этом и(х)~йтз,ь(Р), то й(у)= =и(х(у)) будет элементом (т'»,ю(0) и наоборот. Дифференци- альное выражение Е(и) при переходе от переменных х к у пре- образуется так: Е(й)= — '(~„(у) — ")+ Ь,(у) — '" + б(у) й, ду А ду»т ду~ где ду,(х) ду„ (х) 1 ~ й,» (у) ~аи (х) -3-' — — ", I 4 1» к(у! Б, (у) ~ь,( ) — "'„ "! »,(М г 1! ~~( 1 )) а б(у) с(х(у)).
Легко проверить, что коэффициенты Е уловлетворяют неравенствам вида (413) и (433), правда, е другими постоянными. По этим постоянным можно выбрать столь большое число Аь, что для Š— )ЧЕ в 0 будет выполняться условие вида (458), а потому и неравенство (459). Если 0 есть шар, параллелепипед или шаровой слой, то из доказанного выше следует, что задача Е (й) — Л,й = 7 (у), й )еи О,однозначно разрешима в Ф'зкь(0) при любой (ен Е»(б). Переходя в ней к старым переменным х, убедимся в однозначной разрешимости в (Р",,ь(0) задачи (47!) при взятом нами )ь и любой ( ~ Е,(0), Таким об.
разом доказана следующая теорема: Теорем а 2. Если коэффициенты Е из (402) удовлетворяют условиям (413) и (433) и область 0 есть шар, параллеленинсд или шаровой слой, или может быть преобразована в одну из этих областей с помои(ью регулярного преобразования у у(х)ен еовдгольмова вазэвшимость задачи диоихлв 46$ ~ С'(О), то задача (47!) однозначно разрешима в Гьо(0) нри л»обой ] ы Еа(0) длл всех достаточно больших Хо. 3 а меч ание. С помощью этой теоремы можно доказать, что такая же разрешимость имеет место для любой области 0 (в том числе н неограниченной), граница которой есть поверхность класса Са.
149. 0 фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле. Рассмотрим теперь вопрос о разрешимость задачи Дирихле А(и) Хи+], и]з О, (474) при произвольном вещественном Х. Все дальнейшее справедливо для любых комплексных Х, но мы ограничимся случаем вещественных Х, Пусть для Е и 0 выполнены условия теоремы 2 предыдущего пункта. Возьмем столь большое Хо, что для Ь| = Š— Х~Е справедливо заключение этой теоремы, и преобразуем задачу (474) к эквивалентному виду и = (А — Ао) 1.1 (и) + а-Г (7).
(475) В [148] было доказано, что ЕГ преобразует элементы Ьа(0) в элементы )Ра,о(0) и для любой ! е= Ео(0) [Ь '(!)~[л- С ]У]] (476) (см. (461)). В силу теоремы Реллиха (см. [!Ч! 116]) отсюда следует, что Е1 является вполне непрерывным оператором в Еа(0) (т. е. как оператор, действующий из ьо(0) в Ер(0)). Поэтому к уравнению (475) применимы теоремы Фредгольма, изложенные нами в ]! Чд 29] (см. также [Ч, 133 — 135] ). Из ннх следует, что уравнение (475) однозначно разрешимо в Ьа(Ь), при всех )., кроме, может быть, счетного числа Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
