1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Эти исключительные значения обозначим через (Ха), й =*1, 2, ... Пусть Х не совпадает ни с одним из (Ха), н и есть соответствуЮщее ему решение уравнения (475). Это решение и фактически принадле. жнт !Р,'.о(0), т. к. оба члена правой части (475) принадлежат Уота,о(0), если 7енйа(0). Поэтому и есть решение задачи (474) из пространства 27»,о(0). При !. = )аа (и только при таких Х) имеются нетривиальныв (т. е.
отличные от тождественного нуля) решения однородного уравнения иа — (Ха — Хо) Р.~ ' (иа). (477) Они также принадлежат (т"~ко(0), ибо из принадлежности иа к Еа(0) и свойств оператора Е~ следует, что 1л (иа) ен Ф'ко(0). Благодаря этому и» суть решения задачи Ь(иа) -Циа, иа ~з =О. (47В) нм 466 гл. и. певдельныв злдлчи Они называются собственными функциями оператора Е в области Р при первом краевом условии, а Х» — его собственными значениями. Из упомянутой выше теории линейных уравнений с вполне непрерывными операторами следует, что каждому к» соответствует лишь конечное число линейно независимых решений задачи (478), иначе говоря, каждое из Х» имеет конечную кратность. Для формулировки следующих утверждений нам надо ввести операторы, сопряженные к операторам Е и Еь действующим в пространстве Е,(0). Оператор, сопряженный к банному (линейному) оператору А, обозначается через А'.
Он определяется с помощью тождества (А(и), о) =(и, А'(о)), (479) которое должно выполняться для всех элементов и, на которых задан оператор А. Для ограниченных операторов А мы считаем, что областью определения (задания) Ы (А) оператора А явля. ется все Ее(0), а для неограниченных А — множество Я)(А), плотное в Е2(0). Область определения оператора А* (ее обозначают через !В (А')) состоит из тех и только тех элементов о, для которых выражение (А(и), о), являющееся линейной функцией от и на множестве Ы(А), может быть представлено в виде (и, ш), где ш есть какой-нибудь элемент Ее(0).
В силу плотности Я)(А) в Ее(0) такой элемент ш может быть только один, и ему полагается равным значение А'(о). Для случая ограниченных операторов А доказывается, что Ы(А*) есть все Ег(0) (все гильбертово пространство Н, если вместо Ее(0) взято Н). Это легко выводится из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала в Ет(0) (см. [Ч; 123]). Действительно, при любом фиксированном о из Ет(0) выраже ние (А(и), о) есть линейная непрерывная функция и, опреде. ленная на всем Ет(0) (т.
е. линейный функционал), и потому найдется единственный элемент ш такой, что (А(и), о) = (и, ш) при всех и е= Ет(0). Но это и значит, что о еп!а)(А'), ш = А*(о) и йб(А*)=Ее(0) Для неограниченных операторов А нахождение Ы(А') и «явного» вида А' — вопрос сложный.
Интересующие нас опера. торы Е и Е1 суть неограниченные операторы, заданные на мно. жестве м)(Е)=Ы)(Е~)=(е»,а(0), плотном в Е2(Р). Мы пока. жем, что сопряженные им операторы Е' и Е| имеют вид Е'(и) = вх ам в 1 — в (б,и) + си, Е( (и) = Е'(и) — Хеи (480) (т. е. являются дифференциальными операторами, сопряженными в смысле Лагранжа к Е и Е1 соответственно — см. фор. мулу (410)), и их области определения совпадают с К,~(0).
44Я ФРедгольмОВА РАВРешимость зАдАчи диРихле 467 Для этого проверим, что задача Ь1(и)= — ~, и)з=0 (481) где Ц(и) — есть дифференциальное выражение из (480), однозначно разрешима в Ягкз(0) при любой ) ЕИЬТ(0). Действительно, для 1.1 выполняются все условия теоремы 2 (148], в том числе и условие Ы(и, и)>б~1и1', б~ > О, если 14 ~ 1, ибо 1.((и, и) = ( — Ц (и), и) = ~ (ими, и,, — Ь,ии„, — си'+ Ааи') дх = =(ч(и, и). Обозначим через ((.1) ' оператор, сопоставляющнй 7" решение и задачи (481). Он является ограниченным оператором в Е,(0), устанавливающим взаимно однозначное соответствие между ь,(0) и Ж'и4(0). С другои стороны, для любых функции и и о из Чгг, а(0) справедливо равенство (0~(и), о)=(и, Ц(о)), которое получается двукратным интегрированием по частям левой части. Сопоставляя его с данным выше определением оператора А', сопряженного к оператору А, видим, что элементы о нз множества Ягз,о(0) принадлежат Ы(А')=Ы(Ц) н А'= Ь на нем вычисляется по правилу (480).
Нам осталось проверить, что а)(1',) — ))гт,(0),т, е. Доказать, что если ДлЯ каких-то элементов о и 1 из А'.Х(0) выполняется тождество (Е~ (и), о) = (и, 1) при любом и ен(1'х,о(0), то о ен'йгко(0) и 1=Я(о). найдем по )' элемент ш=(И) ~ — решение задачи (481) (оно принадлежит %"~еа(0)) и представим (и, 1) в виде (и, Ы(ш)) =(1.~(и),ш) согласно формуле (482). Тогда (и,1) =(1.1(и), ш) =(1.,(и), о), и так как элементы Е~(и) пробегают все А'.З(0), когда и пробегает )(гз,з(0), то отсюда следует, что о = ш, т. е.
о действи тельно принадлежит )Р'х, о(0) и 1 =.(.1(о). Итак, мы показали, что оператор 1,ь сопряженный к неограниченному оператору А'.ь действуюшему в пространстве Л~(0) и определенному на множестве !В(С1) = В'х~,з(0), имеет своей областью определения йр(Ь() то же множество ((гх,з(0), и на элементах этого множества его действие задается дифференциальным выражением (480). Так как дифференциальное выражение е(и) отличается от (.~(и) лишь на слагаемое Ази, которому от. вечает ограниченный оператор, то Ы(х)=Ж(4) = (Рьч(0); 019 ГЛ 1! ПРВДЕЛЪНЫВ ЗАДАЧИ 468 м!(Е*) =.'А!(Е1) = и!и о(Р) и действие оператора Е' на ЦГ~~, о(0) задается дифференциальным оператором Е* из (480).
3 а м е ч а н и е. Когда говорят о дифференциальном опера. торе Е*, задаваемом выражением (480), то имеют в виду лишь правило вычисления Е'(и) на функциях и(х). Надо отличать это понятие от понятия оператора, сопряженного к неограни. ченному оператору Е, порожденному дифференциальным оператором Е, В этом случае должна быть указана область определения дифференциального оператора Е и найдена соответствующая ей область определения сопряженного к нему оператора. Вернемся и изучению операторов Е и Е', а также Е! = Е— — Л»Е и Е1=Е' — ЛоЕ, заданных на множестве (У!о,о(О) про.
странства Ео(Р). Докажем, что сопряженным к ограниченному оператору Е!', действующему в Ео(Р) является ограниченный оператор (Е1), т. е. что (Е1') =(Е1) ' и Ы((Е1) ')=.'6((Е! ))=Ео(0) Это легко выводится из известных уже нам фактов; а именно, того, что оператор Е! и сопряженный ему оператор Е! устанав. ливают взаимно однозначное соответствие между Я(Е1) = -У(Е1) =)9~9, о(0) и всем пространством Е,(0) и для них верно тождество (482) при л1обых и, в ен К,о(Р). Когда и и о пробе.
тают множество Я1»,о(0), Е1(и) и Е1(о) пробегают асе Ео(0). Обозначив Е1(и) через 1р, а Е1(0) через»р, перепишем (482) в виде (р, (Е1)-'ф) =(Е1-Ъ ф). Так как это равенство справедливо при любых ор, »Ген Ео(0); то оно и показывает, что (Е! ) равен ограниченному оператору (Е1) в Ео(0). Вернемся теперь к задаче (474) и связанным с нею задачам (475), (477) и (478). Таи как Е! есть вполне непрерывный опе- 1' э ратор в Ео(0), то для сопряженного к нему оператора (Е! ) характеристическими числами являются те же числа (Л» — Ло), что н для Е1, т. е.
уравнение в=(Л вЂ” Ло)(Е» ) (а) (482) имеет ненулевые решения лишь для Л = Лы й= ), 2, ... (на. помним, что мы ограничили себя рассмотрением только вещест. венных Л). Каждому Л» соответствует конечное число нетривиальных решений в» уравнения (482), равное числу линейно не зависимых решений уравнения (477) прн том же Лм Иначе говоря, кратности характеристического числа Л» — Ло для Е1 и для 44Я РРЕДГОЛЬМОВА РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛВ 4бз (Е~ ') совпадают. Так как (Е4 ') =(Е4) ', то уравнение (482) эквивалентно системе уравнений Е4 (о) = (Л вЂ” Ло) О, о )з — — О, которая, в свою очередь, есть не что иное, как система Е'(О) = Ло, о !а — — О, (483) решения которой ищутся в яг~з,а(0), а дифференциальный опе.
ратор Е' задан равенством (480). Итак, вещественный спектр операторов Е и Е' при первом краевом условии не более, чем счетен, каждое из входящих в него ЛА имеет конечную кратность и единственными предельными для (ЛА) точками могут быть лишь Л= ~ОО. Однако из теоремы 2 [148] следует, что при Л, ббльших нлн равных Ло, задача (478) не имеет ненуле. вых решений, следовательно все ЛА меньше Ло.
Если бы мы с самого начала рассмотрели комплексное гильбертово пространство Е,(0) и задачу (474) с комплексными Л, то, используя соответствующие теоремы Фредгольма для уравнения (475), пришли бы к выводу, что полный спектр операторов Е и Е* со. стоит из не более чем счетного числа собственных значений, каждое из которых имеет конечную кратность. Сравнительно простые оценки типа [145) показывают, что спектра нет внв квадратичной параболы вида ЛРЗ 4х1(аз — Л'), где 444 — неко. торые вещественные числа, которые нетрудно подсчитать по константе эллнптнчностн Р и мажорантам р4 коэффициентов Е, причем С41 «О, а Л' и Л" суть вещественная и мнимая части ЛЗ (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
