1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 94
Текст из файла (страница 94)
В написанном уравнении интегрирование по а совершается по фиксированному промежутку (О, Ь), где 5 — длина контур» 1, н при интегриро ванин по т верхний прелел является переменным. Иначе говоря, написанное интегральное уравнение имеет характер уравнений Фредгольма но отношению к переменной о я характер уравнений Вольтерра по отношению к перемен. ной к Несмотря на такой смешанный характер уравнения (27), обычный метод последовательных приближений, описанный нами лля уравнений Воль. терра, оказывастсн схолящимся н в случае уравнения (27). Метод применим и для области, ограниченной несколькимн контурами.
Он легко обобщается и на трехмерный случай и применим к внешним задачам. Приведение началь. ного условия к нулю совершается так же, как и в одномерном случае, при помощи решения задачи для всей плоскости или всего пространства. В слу. чае трехмерноге пространства формула была нами дана в [11; 214], В двумерном случае формула имеет внд + в(х и 1) — — у- ' э ' Р(5 р()двдр) 1 Исследования свойств тепловмх потенциалов н нх применения к предель.- ным задачам имеются в следующих работах: 1) Л е в н (Ест! Е.).
— Апп. 41 Ма!., 1908; 2) Ж е в р е й (Оечгеу М.). — 7. Л1айь рог. е1 арр!., 19!3, 9; 3) М ярм тц Г. М вЂ” Майк 2., 1934, 38, № 3; 4) Мю н тц Г, М. Интеграль- ные уравнения — Ыл Лл ГНТН, '!934; 5) Тихонов А. Н.— Бюлл. Щ)(, 1938, 15 в Функции Грина уравнения теилопроводнвсти. Совершенно так же, как и для уравнения Лапласа, можно ввести.функцию Грина и для'ураъмбнии тспхопроаодности. Для удобства в записи дальнейших формул оббзйачй(м че- рез ир(х — $, 1 — т) осровное сингулярное решение (!!). Функция Гркиа для зт(йцэка 9 ь х р» 1 ври одноролиык'прелельиык условняк и(, „в(, =9 (288 ГЛ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЕО определяется следующим образомг 6 (х, Е; $, т) = иэ(х — в, Š— т) — и(х, Е; В, т) Е~) т, 0 Е~т, (29) тле и(х, Е; в, т) удовлетворяет уравнению теплопроводиости по отношению (х, Е) при О < х < Е и Е) т, однородному начальному условию при Е тл и(х, т! а, т) О, (30) и предельным условиямг и(О,Е; $,т)=ич( — Э,Š— т); и(Е, Е; З,т)=и,(Š— 3, Š— т), Е)т.
(30г) ш (х, Е) ~ г(т ~ 6 (х, В, а) и (Э, т) дк (3!) о о удовлетворяет уравнению да деш — =из — +и(х, Е) дЕ дхэ и нулевым предельным и начальному условиям. Все сказанное может быть проведено в многомерном случае. Доказа. тельство высказанных утверждений можно найти а упомянутой выше работе А Н Тихонова !53. Применение преобразования Лапласа. Как мы уже упоминали, при решении системы интегральных уравнений (!8) можно применить преобразование Лапласа Это преобразование можно непосредственно применить к са.
мому дифференциальному уравнению (3). В данном случае мы будем приме. нять одностороннее преобразование 40 Е" (з) $ е а~с" (Е) «ЕЕ Е., (Е). о (32) В написанных формулах $ и т — фиксированы, причем 0 < В < Е Из приведенного определения иепосредственйо следует, что и(х, Е; $, т) и функция Грина зависят только от разности а = Š— т, н вместо у(х, Е, Э, т) можно писать и(х, Э, а), а вместо 6(х, Е; 5, т) писать 6(х, $, а), Условия (30) и (30г) дают предельные значения функции и(х, 5, а) на контуре полуьо. лосы, ограниченной полупрвмыми х=О и х = Е (Е ) т) и отрезком 0 < х < Е прямой Е = т.
В вершинах этой полуполосы эти предельные значения вепре. рывиы. Это непосредственно следует из того, что решение (!!), при фикснрозанном х, ие равном В, и стремлении Е к (т + 0), стремится к нулю. При= нимая во внимание, что указанные прсдельные значения не отрицательны, мы можем утверждать, что и(х, Е, а) ) О, и, следовательно, в силу (29), 6(х, Ь, а) < иэ Функция Грина имеет прн Е = т + 0 и х = в особенность, характеризуемую сингулярностью и« Мы имеем иа ) О, и, в силу (30), и(х, в, а) -« 0 при а -« +О, и отсюда вытекает непосредственно второе неравенство дли функции Грина, а именно 6(х, г„ а) ) О.
Можно доказать симметричность построенной функции Грина по отношению к х и 5. Пользуясь функцией Грина, можно строить решение исоднородного уравнения теплопроводиости, удовлетворяющее однородному начальному и однородным предельным условиям, а именно, если п(х,Е] — непрерывная функция в промежутке (О, Е) и при Е ) 0 имеющая непрерывные прочзводные первого порядка, то функция ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 487 Пусть мы имеем предельные условия (5) и однородное начальное условие (10), Вместо и(х,!) вводим в качестве искомой фувкции ее преобразование по Лапласу! м Ф(х, з) ~ е з и(х, !)д!.
(33) о Применим интегрирование по частям, причем будем считать, что произведение е-ми(х,!) обращается в нуль при ! оо, Принимая во внимание однородное начальное условие (!6), получим е м ф(», з) — — ~ и(х, !) де — 3! — е д!. 1" -э! !Г ди -з! з 3 з3 д! о о )!Аеняя масштаб для ! или х, можем считать, что в уравнении (5) а = 1.
Применяя к обеим частям уравнения преобразование Лапласа и считая, что в формуле (33) мы можем дифференцировать по х под знаком интеграла, получим для ф(х,з) уравнение, в которое будет входить производная толька по х: дтф зф. дхз (34) Применяя преобразование Лапласа и к уравнениям (6), получим предель ные условия для ф; Ф ]х-о = а! (з)! Ф] — ! = аз (з) (35) где ае(з) ~ е 'юз(!)д! (5=1, 2), (36) о Решение уравнения (34) при предельных условиях (35) беэ труда наяо. дится в явном виде: Ф (х, з) = а, (з) ф, (х, з) + а, (з) фз (х, з)„ (37), где з!и (! — х) ~/ — з ф, (х, з) = э!и ! (! — з фэ(х, з) = .
(38) з!н ! 'т! — з + ь 0 (о !) ~ э~э!не-л'Я'! (39) В основе дальней!рик вычислений лежит следующая формула! з, [бз(о, !)] — =ф(о, з) (Осмо~(1), (40) цГ: з э!п цl- з Применяя к функции (37) преобразование, обратное преобразованию (32), получаем искомую функцию и(х,!). Оказывается, что эта функция может быть просто выражена через функции ю,(!) и юэ(!), входящие в предельные условия, и через функцию бз(о) Якоби [1ПН 177], причем при построении этой последней функции мы принимаем А = е "!.
Эту фукцию Якоби мы обозначим через бз(о, !): гя. ы. пипдплы!ыи эядлчи пзз 488 где для краткости письма мы через ф(и, з) обозначили написанную дробь. Формулы (38) можно переписать в виде 1 Г дф (и, !зз) 1 ср,(х, з)= — — 1 ди и- —, Чсз(х, з) 1 дф (и, сзз) (О ( х «(2!), (41) ( — ! «(х «( !). Мы имеем, кроме того, очсвилно ссгч'-~ -'" сп - ~.-"»(')»» и т.е. яри преобразовании (32) перс»од от /(з) и /(!»з) равносилен переходу 1 от г"(!) к -ГР сь — ). Принимая во внимание это обстоятельство, а также ~ !з) формулы (40) н (4!), и производя дифференцирование по и нод знаком интеграла, получим.
2!' ' ди х д» з! (0«(х«(21), "»(' сз) 1 "»( .! —,т) !. !~фа(х,»Ц Рсз 1. ди л с — х ! д» и ш ( — ! < х <, .!). Применяя теперь к функции (37) преобразование 8! ' и яриннмая во внимание формулы (Зб) н теорему о складке, получим окончательно и (», !) = — — м, (!)» + — ю, (!)* д» д» (О < х < !), (42) где мы авели следующее обозссачсние Р, (!).Р, (!) = $ Р, ( ) Г, (С вЂ” ) дж о Можно выразить через функцию 0»(и, !) функцию Грана, о догорай ны говцрили в предыдущем параграфе. Заметим прежде всего, что формула (40)' Имеет 'место лишь для промежутка О < и»~ 1, Если — 1 Ш и < О, то 0 ~ и+ 1'~ 1 и, принимая во внимание периодичность 0»(и,!), москем на писать: )/ — з з!п — з (О ч~ и + 1 ~ 1)» ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА Возьмем теперь неоднородное уравнсние ди д'и — — +и(х, !) д! дх' (44) е однородным начальным и одпороднымн прсдсльными условиями.
Вводя функцию П (х, з) =, ~г [и (к, !)[ = ~ е згп (к, !) г(! (45) и применяя к уравнению (44) преобразование !)апчаса, получим д'гр (к, з) дхз — зф (х, з) — о (х, з) (40) н предельные условия |р (О, з) = ф (!. з) = О. !зля этих прсдельнык условий фушсцня Грина оператора, стоящего в ле- вой части уравнения (4б), как нетрудно проверить, будет 5|п (! — ь) З/ — з з!и к З! з (х(Ц, ч — аз|о|у' — 3 у(х, ', з) зш (! — х) З/ — з Нп ф ч! — з уг — з з|п! уг — з (х>Р [47) н через лту фуп| пию Грина решение уравнении (4б), удовлстворнющее пре.
дельным условиям (47), выражается в виде ! ф ( з) - ~ у (, $' ) о Ф з) др, -| )(ля того чтобы совершить преобразование (ч, представим функиш '[48) в виде ~ [У(.О:з)[-О(к[В!)- —,,[~з( —,[-! — )-~з( 2! . 1,)1 (г | | ь-~ г — О Е- + (к~2|. 2 уг- з з|п ! Згг- з 2 Зу- з з|п ! ч! — з з( ° е' з) = |00) сов(к — Š— !) ьг — з сов(к — $ — П у — з + . (к~4). 2 ЗI — з Мп ! Зl- з 2 З(.— з з|п ! 1/ — т 1 'х — $ .Принимая во .вннмакие, что если 0 и, х з $ ~ |, то — —,~ — ~.0 н 2 2! Э~ ч~1, а если Ее~~~к~(, то 0~ — ~ —, н 0~ — ~! к+$ х — Б 1 «+Б 2! 2! 2, 2! и, пользуясь формуламн (40) н (43), мы пояучнм !сщ ГЛ Н. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗЯДЯЧН Из теоремы о складке следует с ь! [у (х, $! 8) п(й! 8)) ~ л ($, т) св (х, й! 1 — т) сст, о и, следовательно, согласно формуле (49) и (х, 1) = ~ с(6 ~ л (В, с) б (х, 6! 1 — т) с(т.
(52) о о 28 Ып лх / 1 сов х со»28 ) соз хх = (,28» + 1» хз 28 хз+ которая справедлива для промежутка — л < х < л [Н; 157). Полагая в ней х = 2ло — л и х = а/ — 8'л, мы получим соя(2» — 1) ЯС вЂ” 8 1 ч ч соя 2лло — + 2 87 '~С вЂ” 8 З!П '(С З 8 8+ПЗЛЗ а ! и написанное выше неравенство для х дает 0 < о < 1.
С другой стороны, мы имеем разложение 0,(о,!) в ряд Фурье [111»,' 176)! Оз(о, 1) = 1+ 2 ~ е "" с соя 2лло. и ! Написанный ряд сходится равномерно относительно 1 во асаном конечном промежутке 0 < е < 1 < Т, лежащем правее пуля. Считая вещественную часть 8 положительной и интегрируя по частям, получим Т ~Ю -зз -вТ е — е соз 2лло [ сзьлчпс з !84 авп ! тз 8 ~ в з+ лзл' е л ! Наличие л' в знаменателе дает равномерную относительно з и Т сходимость этого рида, и, переходя к пределу при е - 0 и Т -ь со, мы получим е ~ Оз (о, 1) в(1 = — + 2 87 Е...
-зс 1 ч~ соз 2лло о и ! что и дает формулу (40), Подробнее изложение применения преобразования Лапласа к задачам теплопроводности можно найти в работах Г. Де ч а (Оое1зсй).— Ма(!з. 2, 22, 25, 26, 26 и в его книге «Рукочодство к практическому применению преобра- зования Лапласа и х-преобразования». — Мл Наука, 1971. Сравнивая зту формулу с формулой (31), мы видим, что функция С(х, 5!! — т], определяемая согласно (5!) через функцию Оз(о,1), есть функ. ция Грина уравнения теплопроводиости, о которой мы говорили в предыду. щем параграфе. Наметим теперь доказательство формулы (40), на которой были основаны все предыдущие вычисления, Мы имели формулу ПРИМЕНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ гм! 49! 156.
Применение конечных разностей. Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности н4 пгихх + и (х 1) (53) с начальным условием и ~г е = ) (х) (О ( х < О (54) и однородными предельными условиями (55) и)~=о=О; и(, ~=0, причем мы будем в дальнейших формулах считать а = ! и 1= 1. Этого всегда можно достигнуть изменением масштаба у 1 и х. Возьмем некоторый промежуток !О, Т) изменения 1 и разделим его на п равных частей точками гх = ий (й ° О, 1, ..., п), где Ь = Т: л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
