1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 97
Текст из файла (страница 97)
= сопи( обращаются в потенциалы, указанные в (152], Эти обобщенные потенциалы име1от вид е1 (1') ч/1 — 1' ! и1(х, 1) = 2а Аул и 1 1 О,(х, 1) =1 2а т(в (94) ]х о1 (1')] е ь (1 айч М> (95) ] х — а, (1') ) ) а1 (1) — и, (1') ] (1 — 1') Л (1 — 1')'- а 4(о) (1 (1о(1) (1 — 1') А откуда и следует скодимость интеграла Рис. 16. (95) .
Величина интеграла (94) по малому участку: 1 — б ( 1'(1 стремится к нулю при 6-~-0, при любом положении точки (х, 1), и отсюда непосредственно следует, что и1(х,1) непрерывна вплоть до 1,. Для интеграла (95) существуют различные пределы прн стремлении (х, 1) к точке (хм 1а), лежащей на (ь а именно1 1! Гп о1 (х, 1) = ~ 1)1 (1о) + о1 (хо 1о) (ж И.И(аи 1,1 (96) где ьч(хо, 1и) — значение интеграла (95) в самой точке (хи, 1и), знак (+) надо брать, если (х,1)-Р(хи,(и) справа от (ь и знак где 1р,(1') и ф1(1') — непрерывные функции. Функции ис(х, 1) и о1(х, 1) имеют непрерывныв производныв и удовлетворяют уравнению (5) везде вне линии 11, Оба потенциала имеют смысл и в том случае, когда точка (х, 1) находится на линии 11.
Для потенциала и1(х, 1) зто непосредственно очевидно, так как подынтегральная функция имеет оценку С(1 — 1') 1м где С вЂ” постоянная, Для потенциала о1(х, 1), если, точка (х,1) находится на 1ь мы можем ' у написать: гл и, павдельныв зьдлчн 504 ( — ), если (х, 1)-)-(ха, 1а) слева от 1,. Если о,(1) = сонь(, то очевидно, что о,(ха, 1а)=0, и мы получаем результат из $152). При доказательстве формулы (96) мы не будем писать знак !. Рассмотрим интеграл (95) при (р(1') = 1: ) а (!')-х )' оа(х, 1)= ), [х — о(!'))е 4"(' () (11' (97) ь и функцию ! ! а ((з-х н 2а 1/а 4 а/! — !' ь (98) Вводя вместо 1' новую переменную интегрирования х — а (!') 2а ~(~ — !' получим т.
е 1пп са(х, 1)=на(ха,!а)~ 1, ы, !).+(а„(,) л мы получили формулу (96) ири (р(!')=— 3. оа(х, 1)+н)а(х, !)= — $ е "(1г, (99) 2 а-а (ь) аа ~с:ь причем в верхнем пределе надо брать знак (+), если х— — о(!) ~ О, и знак ( — ), если х — о(1)( О. Если точка (ха, 1а)) лежит на 1, т. е. ха — о(1а) =О, то а оа(ха 1а)+ ва(ха 1а) = = ~ е-** а(г. (100) х,-~ (ь) а ъ'~„-ь Из определения п)а(х, 1) непосредственно следует, как и выше, что и)а(х, !) непрерывна вплоть до 1.
Из (99) следует !)ш (оа(х, 1) + н(а(х, !)) = — $ е-*'г(г, 2 (д !).+(х,. (,) )(и ! ь(1(,-ь и, вычитая почленио формулу (100) из последней формулы, поа лучим оа(х !) оа(ха !а)+= ~ е-"((г, 2 а( о'+оч (а )!а !ва! ОБОБщенные пОтенциАлы пРОстОГО и ПВОЙБОГО слоя 505 Переходим к общему случаю.
Перепишем выражение и(х, 1) в виде с ! а П'1-к !' е(х 1) — 1 с( [,)(1'),Р(1„)1 " а(с ! Яа яс-с'1,() + са П'>-к 1' — [Х вЂ” О (1')] Е Яа'1С-С'! С(С' ((П!) 2ач'а с (с — с')ь ° а Совершенно так же, как и в [95[, достаточно показать, что пер. вое слагаемое сохраняет непрерывность, когда точка (х, !) пересекает ! в точке (хв, (а). Пусть е — заданное положительное число. Выберем положительное 6 настолько малым, чтобы имело место неравенство 1 яа (1 ) яр (са) ! (~ е при [ )' — (а [ < Ь, и разобьем промежуток интегрирования Ь < г'е.
с на части Ь ~ 1'( са — 6 н са — 6 < 1'( с. Функция, которая выражается интегралом по первому из этих промежутков, непрерывна в точ. ке (хв, са), и достаточно показать, что интеграл с 1 1а П'! -к!' [,р(С) р(1,)[ — (') е ° яс-с!,и достаточно мал прн всех положениях точки (х, 1), если она достаточно близка к точке (ха, 1а) нли совпадает с ней. Указанный интеграл по абсолютной величине не превосходит с !асс!- Г в ( [к — а(с)! ва ~/й ) (С вЂ” С') Б е " ' 1.
с,-в Предположим, что разность л — о(1') меняет знак не болыне чем й раз, где й — определенное целое положительное число, нри св — 6:6; с'~1 н пРоизвольном положении (х, 1) в некотоРой окрестности (ха, са). При этом интеграл с 1»сгс-»1* Ц вЂ” ( )1,- .,'...' а, с-в представится как сумма не более чем Ь интегралов вида с + СГ+', !а Ы'с-» ' с ГЛ. 11. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ пь ются от интегралов е 'с[а на величину которые отлича х-а (сс+,) ьа (/! (с ( 2Е 4и "-'(') ьа )(С-С с+) (а (г)-хп з/с — с' 'с Прн этом для всяких (]),((') удовлетворяется уравнение (5) н пре- дельное условие на характеристике с = Ь, а из предельных усло- вий на [, получаем систему интегральных уравнений Вольтерра для (р,(()) 2 С, [а, (С')-а, (С)]Я ы, (() (Р,(() [ '1,' 1 с [,, (() о, (( )] Яа (с -с') с[с с-) ь [ас(с)-ас(Ч' (ь (с) = — ([) (()+ ~~) ~ ', [иь(() — о,((')]е я (с-с') ([с 2ах(к (С-С') А с-) ь (103) Рассмотрим интегралы, входящие в первое уравнение: с я]с (С') (а (с')-а,(ОЕ (с — с')'с [о( (() — о( ((')] е '" (' ' [(' ( э ь с (])с О') [а|И')-а Ип , [о) (е) — И2((')] е ""(' ') ([('.
ь (! 04) (105) которая по абсолютной величине не превышает некоторой постоянной. Таким образом, упомянутый выше интеграл остается ограниченным, когда (х,() находится в некоторой окрестности (ха, (ь). Этот интеграл умножается на е, и тем самым доказательство того, что первое слагаемое правой части формулы (10!) непрерывно, когда (х, с) пересекает [ в точке (хь, са), доводится до конца совершенно так же, как н в [95]. Пользуясь указанными выше потенциалами, можно привести предельную задач У для области, указанной на рис. 16, к интегральному уравнению, как это мы делали в [152].
Положим, что условия таковы: и = 0 на характеристике 1 = Ь и и =в,(с) на [(. Будем искать решение в виде [а И')-х]' и (х, () = ~ '] с, [х — ос ((')] е я '" " с[('. (102) с-( ь В интеграле (104) полярность при 1' = ( снижается за счет числителя отношения о1 (с) — а, (с') 1( а совершенно так же, как зто было отмечено нами выше. Во вто ром интеграле показатель у е при Г'-~( стремится к ( — оо), и зто полностью снимает полярность. Аналогично рассматриваются интегралы и для второго из уравнений (103). Таким об. разом, система (!ОЗ) имеет единственное решение и может быть решена методом последовательных приближений. Можно искать решение указанной выше предельной задачи и в виде суммы двух потенциалов простого слою 1 Г 2а Ч/й Ч/С вЂ” У с-с ь При этом мы приходим к системе интегральных уравнений первого рода: 1 ы (О 2а /и (107) 1 азз (С) = 2а З/й 1 Умножим обе части на (у — С) э и проинтегрируем по С от С = Ь до 1= р: 2 я !((д)-',) ~ Р,(с') 7((с (с', д) ес', , (.ь 1,(Р)- ~ ~ Рс(с')К„(с',Р)ес', " с-( ь (108) ,где ы (с) (с(р)-~ ' ес, ь чуу — с и (е((сз-ес (сс!' С(С)(С' р) е "(' '' с(С с (109) причем справа мы изменили порядок интегрирования и воспользовались йшр.
мулой Дирнхле [11; 82!. Система (!08) эквивалентна (107) (ср, [П, 821).Мы 196 ОБОБЩЕПНЫС ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО И ДВОИНОГО СЛОЯ 507 ГЛ. 1!. ПРЕДЕЛЪНЫЕ ЗАДАЧИ нмсем, очевидно [о( И'1-а </1)) с 11 11 [О прн 1.ь Ф'+Э (1 прн н, прнннмая во вннмание формулу [П; УЭ) дт ,, зт'(у — 1) (1 — г') мы получаем Кн(у, у) К,э(у,у)~л; К)э(у, у) =Км (У, У) Дифферснцнруе» систему (108) по у, причем мы считаем, что ы/(!) имеют нспрерывныс пренэаодные, н нрн этом функцнн [/(у) нмеют также непрерывные проиэводвые [П; ЕЗ)'. , дКИ(у,у) )1 (У) -~' 01 (У) + — Д ~~~ ~ 'Р) (! ) д 1 Э , дК»(К,У) [э(У)- — фэ(У)+ —,~~~' ~ 01(1') Й( ° 2п й2о ач(ц ду 1-1 Ь (110) Юля нычнслення дронэводных представим К//(1', у) в виде (г [о ! (/'! - о (/1)) КП (1', у) ~ е д [агсэ)п ~2 —, — 1)~.
1' Интегрируя по частям п днфферснцируя по у, получнм э [о(1/'1-о/(О)* дК// (/', у) 2 ЧаН/-/1 с Х ду ) — )') ) лу=у)ь-) ) [о/ (!') — о, (!))э 1 Х([о,(!) — о,(/)]о/(!) /..., ~ду, При / чь ! сходнмость ннтеграла на пределе ! = У обеспечнвается показательной фуннцней, а при / ) дробь, стоящая и фигурных скобках, не имеет полярности, н вся фигурная скобка стремится к нулю, как (! — У). Учитывая все ато н пронэводя элементарные оценки подынтегральной функцив прн 1эь ) н 1 ), нетрудно убедиться, что интегралы мажорируются функцией / вде С вЂ” некоторая эостояппая. Отсюда видно, что дКП (1', У) ь/! (1 У) у'(/ — 1' где ь)/(1)у) — непрерывные фупкцнн (У,у), и к системе (110) прнменн» метод ноеледевательных приближений [1ЧП 00). , 169 акь и Гуньпплрльоличьскиь пункции 161, Суб- и суперпараболические функция.
При решении предельной за- дачи для уравнения тсплопроводностн можно применить метод, аналогичный методу верхних и нижних функций, который был нами изложен в [119]. Мы рассмотрим на плоскости (х, 1) область В, ограниченную сверху и снизу характеристиками 1 = О а 1 = 6, а слеал и справа лнннямн, имеющимп уран. нсння (93), причем мы пс дсллсм пока иикаких предположений о свопотвах функций аг(1), кроме то1о, ч1о эго одном1ачкые непрерывные функции и а»(1) ( аз(1), при опрсдслсцнн суб- и супсрпэраболнчсских функций мы 'должны выбрать какую-либо основную область, для которой умеем решать предельную задачу для уравнения иг- ихк О (111) прп любых непрсрывпых предельных ус.говнях. Для уравнения Лапласа это был круг.
В качссгве такой области для уравнения (!П) мы выберем, на. пример, равносторонний треугольник й, основание которого параллельна оси 1 = О, а боковые стороны направ.чеиы в сторону возрастающего 1. Решение предельной задачи и(х,1) для такого треу1ольника может быть получено по способу, указанному в [169], и оно единственно. Это решение достигает сво. е1о наибольшего и наименьшего значения на сторонах треугольника [П; 219].
Непрерывная в замкнутой области В функция 9(М) = »р(х,1) называется суб- парабояической, если ее значение ф(М») в любой точке Мч, лежащей внутри и, не больше, чем значение в этой точке то1о решения уравнения (! П) в любом достаточно малом треугольнике В, содержащем Мч внутри себя, кото. рос имеет на сторонах [) те же значения, что и ф(М). Суперпараболичсская функция ф(М) = ф(х,г) определяется аналогичным образом, но только ту(М») должно быть не меньше значений решении уравнения (11!) в треугольниках ]).
Наименьшее значение суперпараболнческой фуикцйп и наибольшее субпара- болической дости1аются на границе В. Нетрудно видеть, что ееш ф (х,1) имеет внутри В непрерьгвные произ- водные ф», ф„ ф„ и ф» — ф„ ~ О внутри В, то ф(х,г) — суперпироболичеспоя функ»!ия. Действительно, пусть и — функция, удовлетворяющая уравнению (П)) й совпадающая на сторонах () с ф При этом разность м = ф — и равна нулю на сторонах () и шг — ш„3э О пнутри [). Но при этом функция иг должна дости1ать наименьшего значения на 1раннце В [151], где оиа равна нулю, т.е. ш ~ь О во всем треугольнике В, т.е, ф ~ и в [), что и требовалось доказать. Аналогичным образом, если фг — ф» < О внутри В, то гр — субпарабалн ческая функция Всякое решение уравнения (1!!) есть одновременно н суб н суперпараболическая функция Совершенно так же, как в в [118], можнО доказать, что если [»(М), ..., [ (М) — суп«рпараболические функции, то и ф(М) = ш!и[[1(М), ..., [„(М)] — суперпараболическая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
