1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Свободный член 1 пусть является элементом Еэ(0т). Гнперболнчность уравнения (!54) гарантируется условием аы(х, !)$ $ ~~ т ~~' Ц, ! ! (155) в котором т — положительная постоянная, а $! — произвольные вещественные параметры (как всюду, считаем, что ам=а„). Поставим для уравнения (154) в области 0г первую начально- краевую задачу. Она состоит в определении функции и(х, !), удовлетворяющей в 0, уравнению (154), на нижнем основании 0, начальным условиям и !! -а =.= !р (х), и! !!=о = Ф (х), х еи В, (!56) и на боковой поверхности 0г краевому условшо и !зг=-О Бг В Х!О Т) (157) где  — грани!гш В. Иначе говоря, мы определяем решение и(х, !) уравнения (151) в области В евклидова пространства Я" в мо.
менты времени ген(О, Т), которое в начальный момент времени удовлетворяет условиям Коши (!56) н во все эти моменты времени обращается в нуль на границе области В. Покажем, что эта задача корректна, т. е. имеет не более одного решения, и это решение непрерывно зависит от начальных данных н свободного члена уравнения. Непрерывность по. нимается в смысле Интегралы!ых норм, определяемых энергетн ческим неравенством, которое мы сейчас выведем, Разрешимость 165. Гиперболические уравнения общего вида. Энергетическое неравенство для первой начально-краевой задачи. Оставшиеся разделы книги мы посвятим первой начально-краевой задаче для уравнений гиперболического типа.
Рассмотрим урав- нение 526 гл. и. пгеделъные злдлчи ~р(х) е= Я7»~(В), ф ен В»(В). (158) Вывод энергетического неравенства для решений задачи (154), (156), (!57) (мы будем опускать ниже эпитет «обобщенных», считая, что всюду речь будет идти об обобщенных решениях класса Ф'»(Рг), если не оговорено противное) близок к выводу энергетического неравенства для решений задачи Коши, прове. денному в [56). Он даже проще последнего, ибо возникающие в данном случае интегралы по боковой поверхности Вг обращаются в нуль в силу условия (157).
Мы заимствуем из [56) ряд обозначений и оценок. Точнее, обозначим через К(!) инте- грал К (!) = ~ (ими»,и,„ + иг) г(х, вш где В((е) есть сечение цилиндра Рг плоскостью ! = („а через Рь — цилиндр ВХ(0, г~), считая 1~ ( Т. Умножим уравнение [154) на — 2и~ и результат проинтегрируем по Ри — ~ 2М (и)и~Их Ж= — ~ 2~и, г(хЖ. и, и, . (159) Левую часть (159) представим иначе, преобразуя часть членов, в нее входящих, с помощью интегрирования по частям следую- задачи (154), (!56), (157) мы докажем в следующем пункте, правда, не для всего класса уравнений (154), а для той его части, для которой решения хорошо представляются рядами Фу.
рье. Здесь и ниже мы будем иметь дело с обобщенными решениями из класса !Р'»(Рг). Оии удовлетворяют уравнению (154) для почти всех (в смысле Лебега) точек (х, !)с: Р,. Элементы и(х, !) этого класса при всех !а=-[0, Т) принадлежат )Р»(В) и непрерывно зависят от ! в норме этого пространства (т. е. [[и(х, !+5!) — и(х, !)[[»'а — »О при й1-~-0 н г, г+Л!еп[0, Т)). Их производная и~(х, !) при всех ген [О, Т) является элементом 5,(В) и непрерывно зависит от ! в норме !.2(В).
В соответствии с этим начальные условия принимаются в слсду|ощем смысле: ![и(х, !) — ~р(х)Ц"в-»О и ![и~(х, !) — ~р(х)~[яв- 0 при ! — »+О, а о условие (157) — в том, что и(х, !) принадлежит !г"»(В) при всех г'еп[0, Т) (более подробно о пространствах )Р'з см. [Н; гл. 1Н)). Относительно ~р(х) и ~р(х) естественно предположить при этом, что звя гипегволнчвскив жглвнвння оьщего видя 527 тцим образом; и, 2и<,и<а<хЖ= ~ — (и,)'<(х аЧ- ~ и! <(х — ~ и,'а<х, в! в<о в <о> дам ~ 2а<оих<хх ° и, о(хЖ= ~ (2а<ои,,и<хо+ 2 -~ — их>и!) <(ха« = и, Р, Г д да да, ~ ~и„-(а ои и ) — — и и + 2 — и и,1<(х <!<= ~о<' ! О) д! ! хх д о о ! ~ а<хил<их <(х — ~ ами„и, <(х+ в<о в <о> да!и да<о + ~ ( —.— 'и и + 2 — и и<~1<!кЖ.
д! "! "о дх в ! о При выводе этих равенств мы учли, что и!э =О, а потому н ио!э = О. В силу них (159) эквивалентно следующему: т эт— Г да,„да,„ К (1) = К (0) + ~ ~ — и„.их — 2 — их<и! + д! х! хо дх, и! + 25<и„,и! + 2сии, — 2>и>1 <(х <!!. (160) Дальнейшие оценки интеграла ~, стоящего в правой части и, (160), вполне аналогичны тем, которые мы провели в [56] (то, что в данном случае й! есть цилиндр, а не конус, несуществен- но).
Мы не будем повторять их здесь, а напишем интересующее нас энергетическое неравенство, выводимое из (160) в резуль- тате этих оценок. Оно имеет вид (в (56) ему соответствует не. равенство (20!)) (но<+ а,. и„и„+ ио) <!хи,", в <<> (161) Входящая в него постоянная С определяется коэффициентами >!1, точнее, числом ч из условия (!55) и максимумами м<>дулей л да! х-л тда функций —, 2 ~ — — 1>!) и с в области 1х!. д! ' ~дх о-! ГЛ П ПРВДЕЛЬНЫВ ЗАДАЧИ Функции, стоящие в правой части неравенства (16!), извест. ны из условий задачи, в частности, интеграл по В(О) равен (ф2+а1»»р„1р,»+1р2)йх.
Из (161) следует неравенство в (и' + чи2 + и') ах < В1Я ч "Ц(»»»»1-~»э»*~- 1!»*»ф Ев о, О < ! (~ Т, (162) М (и) =— ~~ — (а,„(х) и„) + с (х) и — и11 = О. (163) в 1, »-1 Предположим, что для эллиптической части Е(и)= д = — (а,»и, )+ си этого уравнения и области В выполнены ге же условия, что и в теореме 2 (148], и, следовательно, система собственных функций (и„(х))„, и собственных значений (7») оператора Е при условии и!3 = О обладает свойствами, описанными в (150!. Предположил» пока, что с(х) < О. Это гарантирует отрицательность всех А», тан что удобно )»» обозначить через — р',,считая р» ) О. Все решения уравнения (163), имеющие внд и(х, !) = Х(х) Т(!) и удовлетворяю1цие краевому условию (157), исчерпываются функциями (а, соз !»»!+ Ь» э)п !»»!) и»(х), где а» где р — постоянная из неравенства а,~~,й, < !» 7, й1, (так что р— 1 1 мажоранта для а,»).
Неравенство (!62) также называется энергетически»2. Из него следует Теорема !. Задача (!54), (156), (!57) имеет не более одг ного решения из )р'2(ВГ), и ее решения непрерывно зависят от начальных данных и свободного члена. Действительно, если и,(х, !), 1= 1, 2, суть два решения из (Р'2(В ), отвечающие начальным данным Гр,(х), »т,(х) и свободным членам (силам) 1,(х, !), 1 = 1, 2, то их разность и(х, !) есть решение той жс задачи из (р'1(0т), отвечающее начальным дан. 2 ным Гр (х) = Г!11(х) — Г!12 (к), 2)1 (х) = 2!21 (х) — ф2 (х) и свободному члену !(х, У) =11(х, !) — 12(х, !). Поэтому для и(х, !) справедливо неравенство (!62), из которого и следуют оба утверждения теоремы.
166. Метод Фурье для уравнений гиперболического тига. Здесь мы докажем разрешимость первой начально-краевой задачи для гипербо. ° ческих уравнений видя 9»и Мвтад ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИН ГИПРРВЮьа»»%. ТИПА 529 и (х, !) = ~ (а» соз !»»! + Ь* з! п р»!) и» (х), (164) ь ояренеляя его коэффициенты а», Ь» нз начальных условий (156), Первее из этих условий дает выражение для а». а» = (ьр и»), (165) а вт»»рое — для Ь» Ь» — — — (ф, и»). ! (166) Формально такой ряд у!(овлетворяет всем требованиям нашей задачи. Наша цель — исследовать его сходнмость, в частности, показать, что его можно почленио дифференцировать два раза по х и !.
Последнее необходимо, чтобы оправдать справедли. вость равенств мЬ Ь=м(»Ь, ьь-ьь,м ььЬ Ь*Ь)= 4.»-ь = Х м (, ° ь,чь ь, м ь,ьЬ, Ь Ь) = ь, »=ь (167) т. е. убедиться, что сумма ряда (!64) удовлетворяет уравнению (!63). Мы докажем, что ряд (164) и ряды, полученные его почвенным дифференцированием по х и ! до двух раз включительно, сходятся в норме Р»(В) равномерно относительно 1ен [О, оо). Тем самым будет показано, что сумма ряда (164) удовлетворяет уравнению (!63) при почти всех (х, !) из Рг (н даже более: при всех ! из [О, со) для почти всех х нз В). Начальные условия будут выполняться в следующем смысле: [[и(х, !) — 4р(х) ![ьлв — » О, [! и,(х, !) — 4Р(х) [[»и'в-» 0 (!68) при С-»+О. Граничное же условие (157) буде, гарантировано принадлежностью и(х, !) к йг»,»(В) при всех 1) О.
Все зто 2 ь ь бУдет иметь место, если 4Р(х)еп Р»ть,»(В), а »Реп !У»(В). Действительно как доказано в [150[, функция ьр(х) разлагается в ряд Фурье 4р(х) = 2 (ьр, и») и»(х), сходящийся К ней в норме [[ [[», » ь причем [[т [!' — Х (р и )' р4 — Х а'рь (169) и Ь» — произвольные постоянные, а' и»(х) — собственная функ« ция, отвечающая собственному значению рь» = — !»»». Ввиду этого, естественно решение задачи (163), (156), (157)', искать в виде ряда ГЛ. !!, ПРЕДЕЛЪНЫЕ ЗАДАЧИ 530 нбб а функция 4р разлагается в ряд Фурье ф= х (ф, и„)и»(х), »-1 сходящийся к ней в норме (!.!!1 и и )»!4» 5" Ь»!44 (170) С другой стороны, Р ь <., ° ы4-Ь ~ м,»-~= !»-т Р Р = ~~', (а,гоз !4,!+ Ь, з!п !4»!)'14'„( 2 2 (а»»+ Ь',) !»4, ! ~~ — (а, соз !»»4 + Ь» з!п !4»!) и» ~» = ' »-т й Р !4» ( — а„з!и !4 1+ Ь» соз !»„!)'!4'„~ (2 ~ (а»+ Ь') р' (171) (172) и Р д» вЂ”,, (а» соз !4»! + Ь» ейп !4»!) и» Р (а»соз !4»1+ Ь з!п р !)»!»4 ( 2 ! (а»+ Ь~~) !44 (173) »-м » м Пз сопоставления оценок (171) — (173) с (!69) и (!70) убеж.
даемся в справедливости высказанных нами выше утверл4дений о сходимости ряда (164) и рядов, полученных его почленным дифференцированием по х и 1. При этом надо иметь в виду, что нормы !! !1, и !! ° !!» эквивалентны исходным нормам пространств О ! » Ят»(В) и У»та ь(В) соответственно, Принадлежность при всех 1) 0 суммы и(х, 1) ряда (164) к В"»,о(В), а ее производных о 1 и1(х, 1) и ин(х, !) к ((7»(В) и Е,(В) следует из доказанной сходимости и того, что отрезки этих рядов суть элементы (ут;,»(В), э 1 (4тг (В) и В»(В).
Итак, доказана теорема; Теор ем а 1. Пусть для коэффициентов М и области В выполнены условия теоремы 2 [148] и с(х) ( О. Тогда, если 4р ее 57», ь(В), а ф ен Ю»(В), то сумма и(х, !) ряда (!64) с коэффициентами а» и Ь», определяемыми формулами (!65) и (!66), есть решенив задачи (!63), (156), (!57), Она при всех 1=» 0 ом! МЕТОД ФУРЪЕ ДЛЯ УРАВНЕНИИ ГИПЕРБОЛИЧ. ТИПА 53! принадлежит !гово(В) и непрерывно зависит от 1 в норме этого пространства. Ее производные ио(х, 1) и ип(х, 1) суть элементы о В'о(В) и То(В), непрерывно зависящие от 1) О в нормах этих пространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
