1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Рядьц полученные почленньим дифференцированием ряда (164) по х и 1 до двух раз включительно, сходятся в Во(В)' равномерно относительно 1 ) О. 3 а м е ч а н и е 1. Если условие с(х) ( О отбросить, то сохраняются все утверждения теоремы, только несколько первых собственных значений Хо могут оказаться положительными или равными нулю. Соответствующие нм члены будут иметь вид !а,е~"А +бое з1 о )и„(х) или (ао+ЬА1)ио(х). На сходимость ряда (164) наличие нескольких таких членов влияния не оказывают: их сумму можно выделить из (164) в виде отдельного слагаемого. 3 а м е ч а н и е 2.
Для гиперболических уравнений задача Коши и начально-краевые задачи одинаково решаются как в сторону возрастающего, так и убывающего времени 1. Ряд (164) сходится указанным образом и при 1( О. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение М(и)=1(х, 1), (174) Для этого разложим ! в ряд по (ио)„ »» Э 1(х, 1)= Л, (1(х, 1), ио(х))ио(х)= — ~ 1А(1)ио(х), и найдем для уравнения М (и) = 1А (1) и (х) (176) решения и(х, 1) вида Х(х) Т(1), удовлетворяющие условиям (176).
Положим и(х,1) = То(1)ио(х), тогда для То(1) из (!76) следует» уравнение З.„ТА (1) — Т" (1) = 1А (1). (177) Его решением, равным нулю вместе с производной при 1 = О, яв» ляется, как известно, функция о Т,(1) = — — — (! ч!и р„(1 — т)1А(т) дт, РА о (!78) где М вЂ” то же, что и в(163). Найдем его решение, соответствующее однородным начальным и граничному условиям и!~ о=О, и,1, о — — О, и1,, =О. (176) 532 1мв ГЛ П ПРЕДЕЛЫСЫЕ ЗАДАЧИ где, как и выше, !с~~= — А . Сумма ряда Ц с и (х, 1) = — ~~', — $ 7А (т) в(п 1с, (! — т) с(т и„(х) 1 в-с о (179) а р Х Тл (!) и, (х) ! = ~ !с',Тсв (1) ( р;с чс р т ~ ~1(с(т))с(т) < Т ) ~ )ос(т) дт, (180) А-м О В иьо Г 1св(т)с(т=~~ ~ !'сс(т)с1т= ~ Тс(х, 1)дхасб (!8!) о с-с А-С О ог Если к тому же )с(х, 1) ен Ес(0Г), то То (1) = — —, ~ 1, (т) д соз !со (( — т) = 1 ссв о с - - — ', (- ! С', О> -.
„, Π— О ~., С, <Π— С, СО> -. р,~1- о с --Ф(!А~ОС - -..О- О +с.он - .О1 формально удовлетворяет всем требованиям задачи (174), (175). Для оправдания формулы (179) надо проверить, что ряд (179) сходится так же, как ряд (164) в теореме 1. Убедимся, что справедливо следующее утверждение: Т е о р е м а 2. Пусть относительно М и В вьсполнены те же предположения, что и в теореме 1.
Тогда, если 1(х, 1)е= Ес(0Г), о с то ряд (179) сходится в норлсе )р',(В) равномерно по 1ен(0, Т). Если, к тому же, 1(х, 1) имеет обобщенную производную сс(х, 1)~ Ес(0Г), то ряд (179) и рядьс, полученные его почленным дифференцированием один и два раза по х и 1, сходятся в Ес(В) равномерно по 1ен(0, Т). В последнем случае сумма ряда и есть обобщенное решение задачи (174), (175) из класса 17РО(0Г) (и даже несколько лучше).
Утверждения теоремы вытекают из нижеследующих соотношений н оценок: >б»> метод е»»ьв для хгхвнеиип гипв»колич. типа Отсюда т г',>р« — ', (т) >»> »'> +»>>>]. о и потому ! » п ", 7 (!) н ( )~= ~ т„'(!) р,'-= » т > т » т » (~8Т ~ ~ (('„(т))>>(т+ 8 ~ )>»(О). (182) Из условий же >, >>еп(.,(Вг) следует, что 7(х, 0)енЦ(В), ~ >»»(О)= »-> = ~7>(х,0)»х н в т ~ ((' (т))' дт = ~ !>,(х, 1) >(х >7(. »-> о ог Теорема 2 доказана. При увеличении гладкости коэффициентов М, функций >р, ф, 7 и границы В, а также при повышении порядка согласования начальных и граничных условий и уравнения на множестве точек ((к,!)> х ен 5, ! = О) улучшается сходимость рядов (164), (179). Мы не будем приводить здесь точные формулировки, касающиеся этой зависимости, а отошлем ко второй главе книги О.
А. Ладыженской «Смен>анная задача для гиперболического уравнения» (1953), из которой взят и изложенный в этом п»икте материал. Ею была исследована сходимость рядов (164), (179) во всех пространствах !!Г,(В),! =-» 1, причем при условиях в определенном смысле необходимых. Это было сделано не только для первого, но и для второго и третьего краевых условий. Из сходимости в Яг>(В) и теоремы ало>кения вытекает соответствую> щая сходимость в нормах других пространств, в частности, при !)Ы+ 1 — равномерная сходимость.
В указанной к>шге дано обоснование других методов решения начально-краевых задач для гиперболических уравнений, в том числе метода конечных разностей для уравнений (!64) общего вида. Для решения этих задач можно использовать такмсе метод Галеркина и «функциональный» метод, предложенный.О. А.
Ладыженской в заметке «О разрешимости основных краевых задач для уравнений па раболического и гиперболического типов» (ДАН СССР, 1954, 97, № 3, с. 395 — 398). (!от гл и предвльныв 3АдАчи бЗ4 ' В связи с этим см. также работы: Ладыженская О. А. О решении нестационарных операторных уравнений.— Матем. сб., 1956, 39, № 4, с.
491 — 524; Л ад ы женская О. А. О не« стационарных операторных уравнениях н их приложениях к ли нейным задачам математической физики. — Матем. сб., 1958, 45, № 2, с. 123 — 158; Л а д ы ж е н с к а я О. А., В и ш и к М. И. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений. — УМН, 1956,! 1, № 6, с. 4! — 97. Заметим наконец, что нз разрешимости первой начально- краевой задачи для гиперболических уравнений и конечности области зависимости решений задачи Кошй (см.
(56]) нетрудно заключить о разрешимости задачи Коши для гиперболических уравнений. 167. Предельная задача для сферы. Мы будем рассматривать сейчас предельную задачу для волнового уравнения: дои дги дги д'и — = — + — +— дм дх' ду' дг' и= ~ в(т) ~р(М, 1 — т)дт, о (184) еде оо(т) — любая непрерывная функция и нижний предел может быть любым заданным числом, также есть решение уравнения (183). Дифференцируя решение (184), получим 1-г — в(т) ' дт — в(( — г) ~р(М, г) —. ди Г дт (М, ! — т) х дх дх г о Но по условию гр(М, г) = О, и, следовательно, г-г — в (т) ' с(т. ди Г, дог(М, ( — т) дх л - дх о Дифференцируем еще раз: г — г д'и Г д'<р (М, ( — т) Гд~р(М, ( — т)1 х — в(т) ', дт — в(( — «)( ' ] дхо дх' дх л -Г- г' о в случае сферы.
Предварительно докажем лемму: если и =гр(х, у, г, ()=~р(м, () есть решение уравнения (183) однородное, нулевой степени относительно переменных (х, у, г, (), и если оно обращается в нуль на сфере г = (, где«= )/х'+ у'+ гт, то выражение г — г ПРЕДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СФЕРЫ ззл Совершенно аналогичные выражения получим для вторых производных по у и г. Для второй производной по 1 будем иметь Г-д д'м ( ) ддГГ(М,à — т) ( + (~ )„дг(М,( — т)„ о Подставляя в уравнение (183) и принимая во внимание, что Гр(м, 1 — т), по условию, удовлетворяет уравнению (183), полум чим в результате подстановки равенство Гà — Гдд ГМ, — Г дд(МГ- Г дГГМ.Г- Г дг + дк + ду + " 'м' ' 1 - О.
(186) дг ММ ~-д Но, в силу теоремы Эйлера об однородных функциях, мы имеем ,'(1; 154] ддр (М, 1 — т),, дЧГ(М, 1 — т) ддг(М, à — т) + дзд(М, à — т) Подставляя сюда т 1 — г, убеждаемся в том, что равенство (!85) выполнено, и, следовательно, формула (184) дает действи. тельно решение уравнения (183). Будем теперь искать специального вида решение уравнения (183), а именно: и=-ф( — ) )г„(6, ~р), (186) где У„(6, Гр) — сферическая функция порядка а и ф(х) — искомая функция.
Преобразуя уравнение (183) к сферическим координатам, по. лучим (11; 131) Подставляя выражение (186) и принимая во внимание, что У,(6, Гу) удовлетворяет уравнению 1 д / дум Х 1 дмг» ггпу мы придем к следующему уравнению для чГ ~ — )1 ф" Я-5ф"Я вЂ” ( + 1)ф3-), или (188) (1 — хз) ф" (х) + и (и+ 1) ф (х) О. 1!от 536 гл и пгсдгльныг злдхчи Чтобы найти Е (х), напомним уравнснис, которому удовлетворяют полиномы Лежандра (1П„105): ((1 — х') Р„'(х))'+ п (л + 1) Р„(х) = О.
Введем полипом степени (и+!) 1;1„„(х) = ~ Р„(х) г(х. (! 89) ! Интегрируя обе части предыдущего уравнения по промежутку (1, х), получим (1 — хо) Р„'(х) + п (и + ! ) Я„+ ~ (х) = О нли, в силу (!89), (1 — хо) е'„',. ~ (х) + и (и + 1) С1„+ ~ (х) = О и, сравнивая с (!88), мы видим, что функция н=')" Н'(' ) (! 90) будет решением уравнения (183).
В силу (189), Я эч(1) = О, т. е. решение (!90) обращается в нуль при г = 1. Кроме гого, очевидно, что решение (190) являстся однородной функ.,ей нулевого измерения от переменных (х, у, г, 1). Пользуясь леммой, мы можем утверждать, что функция С-г и(М, 1)=1'„(О,ф) $ оо(т)9„+,( )сут (191) о при любом выборе непрерывной функции оо(т) также будет рсшеннем уравнения (183). После этих предварительных соображений перейдем к решснн>о предельной задачи для специального вида прсдсльного условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
