1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Обозначим через [6(М) функцию, которая совпадает с [(М) вне треугольника В и Па его сторонах и равна внутри [) решению уравнения (1!1) со значениями иа нон. туре [), равнымн [(М). Как и в [118], можно доказать, чтп если [(М) — аупер. параболическая функция, то то же можно утверждать и относительно [6(М) ° причем [9(М)»С [(М) в В, Предсльпые значения в В задаются на нижнем основании 1 О н на бо- ковых сторонах 11.
Обозначим эту часть контура В через 1'. Определение верхних и нижних функций такое же, что и для уравнения Лапласа В част. ности, верхней функцией называется всякая суперпараболнческая функция, которая на !' имеет значения ~ заданных предельных значений Затем внутри В определяется функция и(х,1) квк точная нижняя граница значений всех верхних функций. Можно показать, что эта функция удовлет творяет уравнению (!11) (ср.
[119]). Она нвляется обобщенным решение!6 указанной выше предельной задачи для уравнения (1!!). Исследование поза пения втой функции и(х,1) при приближении к 1' можно нанти в работа И Г. Петровского «О первой вредельнай задаче для уравнения тепло., провадности» (Сошр. Ма!)1ч 1935, 1, гй 3), ГЛ и, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ вез б)О 162. Параболические уравнения общего вида. Энергетичес- кое неравенство. Уравнение теплопроводности, рассмотренное нами в предыдущих пунктах, является простейшим представи- телем уравнений параболического типа.
Канонический вид па- раболических уравнений с переменными коэффициентами; и, — ~ аы (х, 1) и„,„, + ~ Ь, (х, 1) и„, + с (х, г) и = [(х, 1), (112) г,а-! ~=! и причем а,а = ах„и квадратичная форма ~, а,а(х, 1)йДА долг,а-! жна быть положительно определенной в области Р измене- ния аргументов (х, 1), х = (хь ..., х„). Переменные х, назы- ваются пространственными, а переменная 1 — временной.
Для таких уравнений корректно разрешимы задача Коши и различ- ные начально-краевые (предельные) задачи в сторону возраста. ния 1*). Задача Коши для (!12) состоит в определении решений и(х, 1) уравнения (1!2) в полупространстве П+= [(х, 1): х ен гс", 1) 1о), удовлетворяющих начальному условию и 1,, = !р (х). На- чально-краевые задачи в области В пространства Яп суть задачи на определение решений уравнения (!12) в цилиндрическои об. ласти Р = ВХ(16, Т) пространства Яп+! =)тпХЯ! (т.
е. для хек В, 1ен(16, Т)), удовлетворяющих начальному условию и (х, 1) )! ! = !р (х), х ен В, и одному из классических краевых (предельных) условий. пер- вому и(х, т)1 =тР(х, т), 1 [йю Т), второму Р(и(х, 1))(х з— = ~ ага(х, 1) "и' соз(п, х,))„з=тр(х,!), пх 1Я [16 Т) тлн третьему (Р(и(х, 1)) + а(х, ()и(х, !)) )„з=зр(х !) ! е- =[!о Т). Здесь 5 — граница области В, и — единичный вектор внешней нормали к 5, а !р, ф и о — известные функции, заданные на В, ВХ [16, Т) и ВХ [16, Т) соответственно, В предыдущих пунктах данного параграфа мы рассмотрели задачу Коши и первую начально-краевую задачу (причем по. ') Случай, когда в уравнении ())2) перед первой суммой стоит знак плюс, сводитси к риссматриваемому нами случаю с помощью замены ! на т= — й ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВИЕИИЯ ОБШГГО ВИДА дх (' ) л ч Ь; (х, 1)~, ! с (х, !) ! ~( 1Ае, ! ! (115) (! 16) где у, р и р,— какие-либо положительные постоянные.
Пусть и(х, 1) удовлетворяет (в 0Г) уравнению (113) и начально-крае. вым условиям и 1, =ф(х) (! 17) и и!Уг=0 Зт= — 8Х(0, Т). (118) Для дальнейшего нет необходимости считать функцию и(х, 1) гладкой. Достаточно потребовать, чтобы она принадлежала !'.»(0Г) н имела обобщенные производные и„ихи их,х„из следнюю в более обшей постановке, когда граница области В меняется со временем) применительно к уравнению теплопро.
водности. Эти рассмотрения обобщены и на случай уравнений (1!2), а также на широкий класс систем параболического типа. С имеющимися на данное время результатами по параболиче. ским уравнениям и системам можно познакомиться по моно графням О А Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н.
Ураль. цевой «Линеииые и квазилинейные уравнения параболического типа», (М: Наука, !967) и С. Д. Эйдельмана «Параболические системы» (М.: Наука, 1964), а также по работам В. А. Солон. пикова «О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида» (Тр. МИАН СССР, 1965, 83) и др. Мы изложим лишь некоторые из резуль татов О. А Ладыженской, установленные ею в начале 50-х годов. Начнем с вывода энергетического неравенства для первой начально-краевой задачи. Из этого неравенства следует, что эта задача поставлена корректно.
Вместо (1!2) рассмотрим урав. пение М (и) = и! — — „(а !А (х, !) их») + 5 ! (х, 1) их, + с (х, 1) и = 1 (х, 1), д (113 где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от ! до и. Если а,»(х, 1) дифференцируемы по х„то уравнение (1!3) может быть записано в виде (!!2) и наоборот. Для наших целей форма (113) предпочтительнее.
Предположим, что урав. ненне (113) задано в области О,= ВХ(0, Т)с:)сл!', и его коэффициенты удовлетворяют в 0Г условиям л л Р 2„ $», ( а, (х, 1) $,$» ( Р ~ $', (114) гл и пгеделы<ыв злнлчн ~-з(Рг). Для таких функций имеет смысл говорить, что они удовлетворяют условиям (117), (118) (см. об этом «Ч; гл. !У)), и для них справедливы все проводимые ниже рассуждения. Уравнению (113) такие решения удовлетворяют для почти всех (в смысле меры Лебега) точек (х, 1) из Рг.
Относительно функций 1(х, 1) и <р(х) достаточно предположить, что ! ен 1.г(Рг), а да,„ <рень>(В). Производные — ' тоже можно считать обобщен<> л нымн, причем постоянные р и р, не будут входить в проводимые ниже оценки. Читатель, незнакомый с теорией обобщенных производных,. может предполагать, что все входящие в наше рассмотрение производные непрерывны в Рг. Из (113) следует: М(и)и<(х= ~ )иг«к, (1 19) в<о вщ где В(1,) — сечение области Р плоскостью ! = !!. Преобразуем левую часть этого равенства, используя формулу интегрирования по частям и условие (118), к виду — — их <«х+ ~ (а,„и„и,, + Ь,и„,и+ си')<«к.
(120) в <>> а<о Подставим вто выражение в (119) и, воспользовавшись усло. виями (114) — (116), произведем следующие преобразования и оценки: — и'г«к+» ~ и'„<!хи" — ~ (Ь,и„,и+ си')<!х+ ап> в<и в<и + «>,л,ч(1 ~,, л) (1 уь>'л) + " « "" ( ) *)'( « "'")ь' а<» а<о в<и ~..(«ч *)'( « " *)"+ .. ( " + аю ни> ан> +(«> л,)'(« 'л.) Ч.' «>л*+ ар> ан> а,и +( —,"„'+р,+ —,,) ~ ие (к+-, ~ ~'~Ы.
В<В ' В<и ПЛРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВИЕИИЯ ОБШЕГО ЕИДЛ 5>з Прн этом мы использовали неравенство Коши — Буняковского М 2 ! и неравенство Коши в форме: [ао !~ (— о'+ — Ь', а также сокращенное обозначение и' х., и~ . Из (121) следует: ! > — и'с(х+т ~ и',дх((С> ~ ие>(х+ ~ /'с(х, (122) вщ вш во> вш Р', где С,= — +2»е+1.
Воспользуемся теперь леммой из [бб]. Для этого выбросим из (122) член т ~ п~ дх. Тогда укаэанная во> лемма гарантирует для и>(!) = ~ и~с(х оценку вш > и'с(х <ее' ~ и'дх+ [~ес'<>-ип'т ~ )т(х, т)дх— = у(1). вш в >ь> ч во> Подставляя ее в (122), получил> и ~ и'дх+т ~ и„'с(хе-С>у0)+ ~ 7>с(т. (!23) в<о во> в >>> Пусть Д, = В~(0,1). Проинтегрируем неравенство (123) по1 от 0 до й В результате элементарных вычислений и оценок получим пепх+т ~и~>(хс(>(ес'~ ~>ргс(т+ ~[гс(хсИ1, 1~[0, Т).
в>о О, ~в о (124) Это и есть желаемое энергетическое неравенство для решений и задачи (1!3), (117), (118). Если и есть обобщенное решение, обладающее лишь свойствами, описанными на странице 511, то соотношения (!22) и (123) справедливы для него ие для всех 1 из [О, Т), а для почти всех (в смысле Лебега) 1 нз [О, Т[. Неравенство же (!24) выполняется для него при всех 1еи[0, Т[. В правой части его стоят известные нам величины. Через них оцениваются для и интегралы, стоящие в левой части (!24).
Из этого неравенства следует такой важный вывод для задачи ,( 1 13), ( 1 ! 7), ( 1 18): Теорем а. Задача (!13), (117), (118) при выполнении условий (114) — (116) Может иметь не более 'одного обобщенного ресмения и,-принад ~ежам(ево ТА(0т).вместе со своими обоб>ценными пропзеоднгчми ио ини и'„1„л. ня Гл.п пявдвльные 3АдАчи 514 Здесь и„1= 1.
2 — суть обобщенные решения задачи 1!13), (1!7), (1!8), отвечающие свободным членам 1, и начальным данным ~,. Оценка (125) следует непосредственно из неравенства (!24), примененного к и = и~ — иь которое является решением той же задачи, отвечающим 1= [~ — [~ и Ч~ =% — Чь В следующем пункте мы докажем теорему о разрешимости задачи (! !3), (! !7), (118), но не для всего класса уравнений (113), а для той его части, для которой решения хорошо пред ставляются рядами Фурье.
163. Метод Фурье для параболических уравнений. Установим однозначную разрешимость первой начально-краевой задачи для параболических уравнений вида М (и) = и, — — „(а„(х) и„) + с (х) и = О. д Граничное условие будем считать однородным: и!з,— — О, Я~ ВХ[О, 1], (126) (127) а начальное условие " ]г-о = Ф (х) (!28) определяемым функцией ~реп Е,(В).
Пусть относительно коэф. фициентов оператора М и области В выполнены условия тео. Действительно, пусть указанная задача имеет два обобщен. аых решения и' и и" указанного класса. Тогда их разность и = и' — и" есть такое же обобщенное решение той же задачи, но с 1(х,1) = О и ~р(х) = О. Следовательно, для нее справедливо неравенство (!24), в котором 1 и ~р положены равными нулю. Но тогда и ~ и~(х, 1)Нх =- О при всех 1 ~ [О, Т], т.
е. и' и и" совпав дают для почти всех (х, 1) из Ог. (Заметим, что наш вывод справедлив также для случая, когда и' и и" удовлетворяют неоднородному краевому условию: и'(х, 1) !„=и" (х, 1) !„ ф(х, 1), 1ен (О, Т).) Из неравенства (!24) следует также непрерывная зависи-, мость решений рассматриваемой задачи (в предположении, что они существуют!) от 1 и ~р в следующем смысле: л (и, — из)здх+ ч ~ ~(и,„, — и,„,)'Охи~~ чо в, с-~ $631 метод етгье для плР»волнческих уРАВнении 5!5 ремы 2 [148]. В силу теоремы 1 из [150] спектральная задача В (и) — = — „(ад (х) и„„) — с (х) и = Ли, д и],=0, где 5 — граница области В, имеет вещественный спектр (Л»), й = 1, 2, ..., который можно считать занумерованным в по- рядке убывания значений Лм причем Л»-+.— ео при А — ~ оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
