1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Это верно, ибо благодаря (132) рс « 1 =~~) ) А«А ) ) (т)е "( ос(т д1~( «-рю ю т ~ ~ 1 с![1)г()*' "-мс )[1 ч'-ос)с)ч «-рю )чю р' Т,ю р) т с р) (с( [ ~ ~ 1«(т)ек«(' ос(тд1е-.~ ~1«(т)дт, ю ю «рю «р пчз ГЛ. 11. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ а для функций 1(х, 1) из 72(01) верны равенства г т т ~~2(х, т)с(хдт=~ ~ [2(т)дт=~ ~[2(т)дт. в 6 «-1 «-1 О Из этой оценки 1,, следует также, что ряд, полученный почленным дифференцированием ряда (133) по 1, сходится в 7.2(Р). Так как конечные суммы А. 1 и (х, 1)=~~~ ~[А(т)е «" "с(ти«(х) «-1 О удовлетворяют (при почти всех (х, 1) из Ог) уравнению Е(и") = и = 1н с гн(х, 1) = ~ 7«(1) и,(х), и гя сходится к Г в норме Е«(01), «-1 то сумма ряда (138) будет при почти всех (х, 1) нз 01 удовлетворять уравнению (137).
Чтобы проверить выполнение начального и граничного условия из (137), убедимся, что ряд (138) сходится в норме йт,(В) при любом Г ) О. Действительно, нс. пользуя те же соображения, что и при оценке 12ьа, получим а 1 2 а 2 ~1«(т)е «и 'ати«(х) =~ ] Х«] ~ [«(т)е «1' Яс(т А 1« о а 1 ~ [~~(т)дт ~ ~] 1'(х, 1) Гс(хй. о в «10 Отсюда ясно, что при любом 1) 0 сумма и(х, 1) есть элемент 1(т« (В) и при 1-Р О []и(х, 1) 1]1-~ О.
Тем самым мы доказали теорему: Т е о р е м а 2. Если относительно Е и В выполнены предположения теоремы 2 [148], а ген 72(Рт), От — — ВХ(0, Т), то реи1ение задачи (137) в 01 дается рядом (138). Этот ряд и ряды, полученные его почленным дифференцированием один раз по 1 и х и два раза по х, сходятся в норме Е,(01). Сумма ряда (!38) при почви всех (х, 1)щ О, удовлетворяет уравнению (!37), при о1 любом,( еи [О, Т] она есть элемент йт«(В) и при 1-+ 0 Ци(х,1) зо>- О.
Заметим, что решения второй и третьей начально-краевых задач для уравнения 7.(и) =1(х, 1) определяются рядами вида 133) и (138), только в качестве и«(х) в них надо брать собвенные функции Е, отвечающие соответствующему краевому условию. РАЗРВшпмость пеРВОЙ нАчАльнО-кРАеВОЙ зАЛАчи б21 зм! 164. Второе основное неравенство и разрешимость первой начально-краевой задачи. Опишем, как можно доказать разрешимость задачи (113), (127), (128) в классе функций Ф'," (О„), От = В Х(0, Т), состоящем из всех функций и(х, 1), принадлежащих 1.2(02) и имеющих обобщенные производные иь и„2, и„,„из 02(02).
Это множество может быть рассмотрено как полное гильбертово пространство со скалярным произведением (и, а)~ ',' = ~ (22а + ива„+ и,мо„, + и2О!) 2(х Ж (140) ! дам(х,1! ~~ (14! ) Докажем, что для параболических операторов М справедливо неравенство, близкое по своему характеру к неравенству (434) из [146]. Для этого рассмотрим интеграл ~ (4! (и))2 !1х 21т = ~ [и, — 1, (и)]22(х с(т, О! — — В Х (О, 1), О! а, где О (и) = — (а22 (х, 1) и„) — Ь, (х, 1) и„, — с (х, 1) и, д а и(х, 1) — произвольная функция из С2(Ог), равная нулю на Яг Преобразуем его, используя формулу интегрирования по ча. стям (!07) [48], следующим образом: (М(и))2 2(х 2(т = ']]и22+ (7и))2+ 2ами„и„,, + и! + 2 (Ь2иц + си) и,) 2(х 2(т = ') [ и 2 + (1. (и))2+ а! д да,.„ + — (а!222„,и„х) — ' — '"' и„,им, + 2(Ь и,, + си) и,~ !ах!(т. (142» 11 В.
и. сммаммм, м 2ч (здесь использованы сокращенные обозначения, введенные в [146; 146]. Норму в Ж'2ь (Ог) обозначим через !! !!2,'й~г. Определим К:2(0г) как подпространство пространства йг2' (Ог), 2, ! 2,! полученное замыканием в норме !Р'2' (Ог) множества всех функ- 2, ! ций из С'(Ог), равных нулю на боковой поверхности Вг цилиндра Ог. Будем предполагать, что область В удовлетворяет требованиям теоремы 2 [148], а коэффициенты М удовлетворяют услоаизм (114) — (1!6) и иоо ГЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Из этого равенства и предположений (116), (141) следует не» равенство ~ а»лили„ае(х+ ~ [и,'+ (ь(и))з1а<ха>т ( ~ а„и„<и,а<1х+ В<О О, в <о> + С> ~ [еиз + (1 + е <) (из + из)) с(х с(т + ~ (М (и))з <(х с(т, (143) О< О, постоянная С< в котором определяется лишь р, и ><з, а е — произ.
вольное положительное число"). Воспользуемся теперь нера« венством (452) 1146). Благодаря ему, а также условию (114) ° нз (143) выведем неравенство ~ '„и + Ц, + —,( „, + '„+ 'ф ж ( в<0 О, » (>< ~ из е(х + Сз ~ [еиз + (1 + е-') (из + и )) <(х а<т + в <о> О, + ) (М(и))з <(хдт. (144) О, Здесь постоянная С, зависит от ч>, ><, р, и области В. Возьмем в (!44) е =(2Сз)-'. Тогда, огрубляя (144), придем к оценке ~ и'<(х+ ~(2из+и' +и'+и')а>хг(т( Вн) О< ес,(1,,»*»-1<).~ ')»*».»- <<и< >'»» 1. о»з> ЕВ <О> О, О< В силу неравенства ~ азах( (~ ио<(х+ ~(и~+из)<(т, (146) ви> в <о> О, которое легко выводится нз формулы Ньютона — Лейбница для и'(х, 1) с использованием неравенства Буняковского — Шварца (см.
(198) 1561), из (145) получим ~ (из„+ из)с(х+ ~ (из +и„'„+и'+ их) <(хс(т~ В<0 О< ес,< 1 < ' »-Ф)»*»- 1<4»-~)»*» ->. )<м< >>'»» ). о»7) ьв <о) О, О, ') Через В(<) и В(0) мы обозначили верхнее н нижнее основания ци» линдра В» ЕВЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 523 Из него же выводится желаемая оценка (и' + и') асх + ~ (и', + и„'„+ и„'+ и') с(х ест ~ вон ос ~" С,ес'1 $ (и'+ иг)сХх+ $(М(и))ос(хсст~ ~в сос Ос (148) е помощью леммы из 156] (почти так же, как (124)). Неравенство (148) и есть второе основное неравенство для параболических операторов М прн условии (127) Оно выведено для любой функции и(х, г) из Сг(0т), равной нулю на 5т Покажем, н!сг что для таких функций интегралы ( ~ (и'„+и')с(х, сев(0, Т], АВ ССС мажорируются ~1и||ос' ".
Для этого возьмем какую-либо гладкую, г, эт гт неотрицательную функцию Х(С), равную 1 для с ен [ —, Т1 и нутз лю дляс ее [О, — ~, и примем во внимание равенства с (и'„ + иг) Х с(х = ~ ~ †„ ((и'„ + и') Х~ с(х с(т вю о все = ~ (2и,и„сХ + и~ф,'+ 2ии,х + иг14) о(х с(т = ~ ( — 2и„бит+ и',у'+ 2ии,т, + игХ') ссх с(т. гт Из них для ген [ —, Т1 следует ь2 ' (и'„+ и') сух ( С, ~ (и', + иг, + и„'+ и') сХх сст, (149) вю эт тч Такое же неравенство верно и для 1~[0, — ~. Доказывается это аналогично, надо только взять в качестве Х(С) гладкую нотч отрицательную функцию, равную единице при [О, — ] и нулю ' г] при с~[ 4, Тз. Благодаря этому норма е зг ви в )Рг,о(Ю г, От эквивалентна норме с,с- '„1 1 с,„-,—,ог ]асс,с,"',", (Нос о~с .т( гл и.
пгвдвльныв злдлчи Из этого факта и неравенства (148), доказанного нами для и, принадлежащих Ро(йт) и равных нулю на Вт, следует справед. ливость (148) для любого элемента и из Ф','о(0г). С его помо. щью можно доказать однозначную разрешимость задачи (113), (127), (128) для любых [(х, 1)е= (.о(0) и ф(х) е%'.
(В), используя метод продолжения по параметру (см. [148]) и теоремы из [163]. Л именно, надо рассмотреть семейство задач Мо (и) ~ ( ! — т) Мо (и) + тЫ ~ (и) = [, ] и !зт — — О, и ]~-о=ф. т ~ [О (151) где Мо(и)=и, — 2,, и„,, а М,(и)=-М(и), и пару гильбертовых о ! пространств: Ргх' о(Рт) и )г' — Ео (Рт) Х Ф] (В). Элементами 61 являются пары функций (1(х, т); ф(х)), а скалярное произведение в нем определено равенством (Д' ф) (~' ф])и= ~ [~с(хй+ ~(ф ф ]-фф) дх. аг в Задачи (151) можно интерпретировать как семейство оператор. ных уравнений А, (и) = (1; ф), т ~ [О, 1], (152) в которых операторы А, определены равенствами А,(и)=(л4,(и); и]о-о) те=[0, 1]. (153) Операторы А, действуют из пространства !)то',о(Рг) в простран- 2,! ство В'. Однозначная разрешимость уравнения (152) при т = 0 и любых Ц; ф) нз )Р' доказана в теоремах [163].
Отсюда с помощью неравенств (!49) и неравенства (148), справедливого для всех М„т е= [О, 1], с постоянной Сь которую можно выбрать общей для всех т из [О, !], нетрудно доказать однозначную разрешимость всех задач (152) при любых (]; ф) из 1Р. Мы не будем проводить это рассуждение, ибо оно вполне аналогично доказательству теоремы 1 из [148], а сформулируем лишь окончательный результат: Теор ем а.
Пусть длл козффиииентов М из (113) выполнены условия (114) — (1!6) и (14!), а длл области В условии теоремы 2 [148]. Тогда задача (113), (!27), (128) однозначно разрешима в Ко,'о(0т), Рт чь Вн',(О, Т) при любых ] из ).о(Рт) и ф из, Ф'е(В). 525 Гнпвгволическис углв!!Гиня Овщего Вндх пщ М(и) = ~~' ами„,„+ ~' Ь,и„+ си — ии =1 (154) !, а ! ! того же вида, что и в [56), в области 0г = В Х (О, Т) евклидова пространства !г"+!. Пространственные переменные х = (хь ...
..., х„) меняются в области В пространства !г", а временная переменная ! меняется на интервале (О, Т). Коэффициенты уравнения (154) и свободный член ! могут зависеть от (х, 1). Относительно коэффициентов предположим, что опн суть ограннченныс, измеримые функции на 0„причем а,!, дифференцирусмы по дам да!А х и ! и производные —, — ограничены на 0г (эти пронзд! ' дх водные в общем случае — обобщенные).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
