1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Пусть ищется вне сферы г =! решение уравнения (!83), удовлетворяющее однородным начальным условиям ди ~ и!,,=О; —.! =О дг и=о (! 9") н пч лсльному условию вида и (,, = ) (1) У„(0, ~р), (193) где 1(1) — заданная функция.
Мы предполагаем, что зта функция имеет неирерыаные производные до второго порядка и что 1(0) = Г(0) = О. (194) Обратимся к формуле (191). Если мы в правой ее части.заменим 1 на (1+,1), то получим вновь решсние уравнения (183),, 637 ПРСДГЛЫ!АЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СФВРЫ 167! так как коэффициенты этого уравнения не содержат !. Будем искать решение поставленной предельной задачи в виде !., 1Ф1-О У„(9, 1р) ~ ОО(т)(;(„+1( ) 1(т () 1.
— 1 ! О 0 (<г — 1, где О1(т) — искомая функция от т при т ) О. Из (195) непосред- ственно следует первое из условий (192). Дифференцируя фор. мулу (!95) по ( прн г = 1 и полагая затем Г = О, получим, в силу (;),1.1(1) = О, второе из )словий (192). Предельное условие (!93) дает нам интегральное уравнение для О1(т); г ~О1(т)(',1.+ ((+1 — т)1(т=(((). О Написанное уравнение есть уравнение Вольтсрра первого рода. Дифференцируя его почленно, получим уравнение ~ гО (т) РО ((+ 1 — т) дт )' (~), О причем, в силу (194), это последнее уравнение, равносильно пре- дыдущему.
Дифференцпр1я еше раз, получим, в силу (194), равносильное уравнение взорого рода ! гО (() + ~ О1 (т) Р„' (( + 1 — т) Ыт = ~" ((). О Ядра написанных уравнений зависят только от разности (! — т), и, применяя метод, указанный в !!'((ц 531, получим решение в виде ОО(() =)'"(Π— ~ 7! (( — х)1" (х)1(х, О где 0(г) есть сумма вычетов функции О О" + ФО Л„(() + О" ~Р„(1)+... +Р'„"' ((! относительно корней ее знаменателя. Предельное условие (!93) начинает действовать с момента г = О.
До этого момента мы имеем покой. Фронт возмущения будет двигаться со скоростью единицы. Вне сферы с центром в начале и радиусом ((+!) мы будем иметь, в силу (!95), к моменту времени М покой. На самом фронте волны могут терпеть' ибо ГЛ. 11. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ бза разрыв непрерывности производные второго порядка. Отметим, что к любому непрерывному предельному условию мы можем приблизиться в среднем на сфере при помощи предельных усло. вий вида (193). Это следует из замкнутости сферических функ. ций.
Указанный выше метод применим и на плоскости для внеш. ности круга (С м и р н о в В. И. — ДАН СССР, 1937, 14, № 1). 168. Колебания внутренней части сферы. Будем теперь строить решение уравнения (183) при наличии условий (192) и (!93)', для внутренней части сферы. Если и ~ 1, то, как нетрудно показать, Я„+1(х) есть четная функция при четном (и + !) и нечет.
ная при нечетном (и+ 1), и решение (191) мы можем записать в виде и1(М, 1) = У„(0, 1р) ~ а1 (т) Я„Р1 ( — ) 1(т. (196) о Заменяя в правой части этой формулы ! на ! — 1, получим решение вида 1+»-1 и, (М, 1) = г'„ (О, ф) ~ озз(т) Я„+1 ( ) 1(т, (197) о где озз(т) =О при т( О.
Этому решению соответствует волна, идущая от поверхности сферы внутрь. Оно перестает быть ко. печным при 1) 1 в центре сферы, т. е. при г = О. При 1=1 соответствующая волна доходит до центра сферы, и естественно добавить к этому решению решение (196), заменив в нем ! на 1 — 1 и выбрав оз»(т) специальным образом. Это приводит нас к решению вида 1 — 1+» из(М, 1) =уо(0, ф) ~ озз(т)Яоз-\(, ) ~~т. (! 98) и (М, 1) = У„(0, ф) ф„(г, 1), (199) где 1-1+» оз(т) Р„! ) 1(т при 1-! — » О прп 1 > 1 г» (2ОО) 1<1 — » 1-1-» где оз(т) = О при т ( О. В пределах интегрирования мы имеем — г ( т+ 1 — ! ( г, и решение (198) остается конечным й при г = О.
Оно обращается при этом в нуль. Для того, чтобы делать меньше предположений относительно производных функции !(1), входящей в предельное условие (193), возьмем за основное то решение, которое получается из (198) дифференцированием по й Принимая во внимание, что Я„+1(-1-1) = О при п ) 1, полу. чим решение кОлеБАния Внутгеннен чАсти сфеРы н а(т) = 0 при т (О.
Из этого выражения, как и в (167] следует, что при всяком а(т) соблюдаются условия. (192). Легко непосредственно проверить, что формулы (199) и (200) дают решение уравнения (183) и прн и = О, если а(т) имеет непрерывную производную. Отметим, что формула (198) не дает ре. щения уравнения (183) при и = О. Предельное условие (193) приводит к следующему уравне. нию: а (т) 1 л(2 + 1 1) г(т ~ (1) (201) Положим, что 1(1) имеет непрерывную производную и 1(0) =1'(0)=0. Дифференцируя уравнение (20!) по 1, получим а(1)+( — 1)"+'а(1 — 2) — ~ а(т) Р„'(т+ 1 — 1) Ит =!'(1) (и) 1)' 2-2 (202 ) и при и=О а(1) — а(1 — 2) =~'(1). (202,) Уравнение (202,) дает возможность построить а(т) методом последовательных шагов.
Сначала определяем а(1) в промежутке 0 (1~ 2 из уравнения Вольтерра; 2 а (1) — ~ а(т) Р'„(т+ 1 — 1) с(т= 1'(1). 0 Затем определяем а(1) в промежутке 2 <1(4 из уравнения а(1) — ~ а(1) Р' (т+ 1 — 1) ~(т = 2 = !' (!) + ( — 1)" а (1 — 2) + ~ а (т) Р,' (т + 1 — 1) е(т, о правая часть которого известна и т, д. Полученную функцию а(т) подставляем в правую часть (200). Для решения уравнения (202,) можно использовать одно. стороннее преобразование Лапласа.
Наметим в общих чертах этот метод. Окончательная формула будет нами получена ниже другим путем. В уравнении (202,) представляем интеграл в виде суммы двух интегралов с нижним пределом пуль, умножаем обе части на 54! кОлеБАния внутггннеи чхсти ГФГРы мы получим а+! У ~( — нз) г" (з) ам г(з (л = О, 1, 2..., ), л4— (207) <р„(г, 1) == ! 'у л 2л1 д'фл дьгл, 2 дел л (л+ 1) (203) ды д~л ~ г дг Ы Ч'л. К этому уравнению надо добавить условия (209) д) 1е=о р. !.- =)(1). (210) Умножая обе части уравнения (208) на е-", интегрируя по У на промежутке 0 (1( со и учитывая условия (209), получим для функции Х л (г, з) = ~ е ' я „ (г, () Й( (2! 1) л уравнение Применение преобразования Лапласа к (2!0) дает Хл 1, ~ = г" (з). (213) Кроме того, функция Х.(г, з) должна быть конечной при г = О.
Уравнение (2!2) приводится к уравнению Бесселя и, принимая во внимание (2!3) и конечность Хл при г=О, получаем У, ( — ил) л4— Хл(г, з) == ' г" (з). ,~(г У ~ ( — и) л+— После этого обращение преобразования (211) и приводит пас к формуле (207) Выяснение условий. которые надо наложить на у(1) для оправдания применения преобразования Лапласа и формулы (207), находится в работе. Петр ашень Г. И. Динамические задачи теории упругости в случае изотропной сферы.— Уч, зап. ЛГУ, сер. матсм. наук, !950, № 21.
Материал настоящего и следующего параграфов взят нами из этои работы. Укажем более короткий путь получспня поглсднсй формулы. Г!одставляя выраженно (!99) в уравнение (183) н пользуясь уравнением для У„(0, ~р), получим следующее уравнение для Чл(г, У). 543 ИССЛЕДОВАНИЯ РЕШЕНИЯ как линии интегрированна, при достаточно больших а, модуль отношения Н", ( — 12) л+-, 2 Н'н, (-12) иь=, 2 не превышает некоторого числа, меньшего единицы, Учитывая это, мы можем написать: Н'2', ( — из) л+ —, 2 НШ ( — 1гз) и+ —, 2 ( 1 (- 1'гз) л+— 2 з' 1 ( — 12) Н'11, ( — ж) л+ —, 2 и+в 2 и-е Н"1, (-И) л+-, 2 2 нн1, ( — 22) л+- Н 1 ( — 1Г5) л+— 2 Подставляя в формулу (214] и интегрируя ряд почленно, получим Н! ' ! ( — ггз) и .!— 2 л+1»и ! Тл 9 (г, П==~„ ;2 Р(з) езг с(з+ Н"', ( — гз) и-1 —, 2 л-» Н111 1 ( — ььз) л+- Н111 1 ( — 12) 2 и+-' ! у» ( — 1)и + — T ЬГг к-з 2л» Р (з) ез' »тз.
(218) Покажем, что фактически в правой части мы имеем лишь конечное число слагаемых, и зто число растет с возрастанием 1. Рассмотрим и качестве примера слагаемые первой суммы. Пользуясь формулами (217), мы можем написать интегралы, входящие в эту сумму, в виде л+1 Р (з] (1-~- О (] 2]-1)~ Е'1'-1'Ре'11'! Из (2! 9) 1 — (2р + 1) + г ( О., (220) Проведем справа от прямой интегрирования полуокружнесть с центром и п достаточно большим радиусом )7. Учитывая формулу (216) для Р(з) и указанные выше свойства г»(з) и Р»(з], мы можем утверждать, что прн условии ,(220) интеграл по этой полуокружности от подынтегральной функции инте. грала (219) стремится к нулю при беспредельном возрастании )7.
С другой стороны, интеграл по замкнутому контуру, образованному этой полуокружностью н отрезком — )с ( о» < )с прямой интегрирования интеграла (219), равен нулю, так как внутри этого контура нег особых точек е+1 Н 1 ( — из) 121 и+- 2 Ф1 1 ( — 1'з) 2 Положим, что число р настолько велико, что УР', (- ггз) 1 Н10 1( — !3) лч-- пл тт, г!Рп/(нльггын эАдлч)т подынтегральной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
