1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Отсюда следует, что при выполнении условия (220) интеграл (219) равен нулю. Совершенно так же слагаемые второй суммы пра« вой части формулы (218) равны нулю, если выполнено условие 1 — (2р+ 1) — г ( О. (221) Оставшиеся слагаемые описывают сферические волны, которые отразились то или нное число раз от сферы г = 1. Пользуясь первой из формул (204), не. трудно показать, что подынтегральнак функция в интегралах, стоящих в пра. вой части формулы (218), имеет конечное число особых точен на конечном расстоянии, которые опредслнются, как парни уравнения; к Гг (1) л-! ( + ( !)л Г!л! (!) н что величина интеграла есть сумма вычетов в этих полюсах, т.
е, упомяну- тые интегралы выражаются через элементарные функции. Указанное выше использование формулы (2!4) приводит, таким образом, к «методу Даламбера» длн решения задачи о колебании сферы при предель- ном условии (!93). Укажем теперь дру~ое преобразование формулы (214), которое приводит к «методу Фурьеж или, точнее говоря, н разложению решения задачи в ряд го собственным колебаниям шйеры. Подставим в формулу (214) выражение (216 для Г(з). рн подстановке слагаемого Гге *г подынтегральная функция будет со- держать множитель е*"-"', и совершенно тан же, как и выше, можно показать, что саответствуюцгкй интеграл обратится в нуль при 1 ( Т, т.
е. мы имеем ач! / ! ( — /гз) Т +-,, ф„(г, 1) = ~ Г, (з) е" с(з. З/г 2пг / ! ( — (з) а-! к+ —, а Можно показать, что величина этого интеграла равна сумме вычетов его подынтегральной функции, н мы получаем, считая, что пол~осы Г~(з) не совпадают с норнямн / ! ( — щ) (отсутствие резонанса): «ь— з / ! (Арг) ч-т Лр ип (Ар1+ ыр) л+ —, Ф.(.,О=фа(.,1)-2 У , (Ар) ч/г р-! к— а (223) где ф,(г, 1) соответствует сумме вычетов в полюсах Г~(з) и нведспо обозначенпа Г~ (йрг) = Лрегнл.
Можно поназать, что при сделанных относительно Г~(з) предположениях написанный ряд сходится равномерно ожюсительно 1 н г. Он представляет со. бою наложение собственных колебаний системы. Отсюда следует, что слакав. мое фр(г, 1), которос может быть представлено в конечном вндс, удовлетво. ряст уравнению (!83) и прслсльному условию (193). Если имеется савпаде.
ние полюса Гг(з) с корнем / ! ( — 1з), то в правой части (223) появгмся. к+- а резоцансный член, содержащий 1 вне анана тригонометрических фуннций. Если 1) Т, то мы получим только ряд по собственным нолебанням, по. скольку Г(з) сеть целая функция, и при 1) Т мы можем применять лемму ЖардзнХ [1П»1 60] для некоторой системы полуонружностей с центром а~ для нодынтегральной функции, в которой стоит вся фуннция Г(з), при 1'~ т мы нРелнльнАЯ эАллчА для телеГРАФИОГО уРАвнення 54$ -Етс( не имеем должных оценок иольпмсгральпой функции па вышсупомянутык пвлуонружностях.
Отсутствие лшюлнитсльиого слагаемого, кроме ряла по соб. ствснным нолебаниям, связано с иыкл1очепием висгнией силы, входящей в предельное условие. 179. Предельнаи задача дли телеграфмого уравнения. При решении прел дельных задач для уравксщш эллиптического и пзраболичсского типов мы использовали теорию потсппплла. причем н основе ассч о построения лежало некоторое сингулярное репнине гоо!нск~вующсго лиффсрснциальиого уравнения.
Для уравнений ппнрболнчсскво типа применение этого метода за. трулинтельно. Лишь в олиомг риом случае можно, пользунсь основной идеей этого метода, привести предел~ кую залачу к интегральному уравнению Вольтсрра Рассмотрим ураэнспис [И; 195) д'и д'и — = — + с'и дИ дл' (224) на промежутке 0 ( х с ! с одпоролными начальными условнямн и ]! =а = "г ]!=о = 0 (225) и предельными условиями "(л-о = ы' (!)' " [» — ! ыз (!]" (226) Отметим, что начальные условия могут быть всегда приведены к однородным, если использовать решение задачи для неограниченного промежутка [И; 198), нак это мы уже делали в [152] лля уравнения тсплопроволиости Вводя, кан и в [И; 198], функцию !(з) = !э(щ), мы без груда убедимся в том, что функция 1(с чА!з — х') есть решение уравнения (224).
Оио будет нам служить в качестве основного решения. Помешан соответствующие этому решению непрерывно действующие ис точники на концах промежутка [О, !], мы получим, как нетрудно непосред. ственно проверить, решения уравнения (224) г-х ~( ) ( лг=ч*-* )~ о à — 11 — Ю ф (т) ! (с Э/(! — т)" — к' ) дт, о где функции 9(т] и ф(т] считаются дифф~ 1н ппнру мими Днффгргпппруя этц решения по к, получаем опять решспнн, и ищем репнине задачи (224), (225)э (226) в виде сунны г-к и= — ~ т(т)у(с Э(! — т)э — лэ)дт+ дх о г-и-х> + — ~ р ВИ ! (г 4(! — )' — (! — х)з ) дт, (222) дх с причем считаетсв, что Е(т) = ф(т) = 0 при т ( О, гл. и. ппнднльыыи задачи Ига Формулу (227) можно написать в виде =-ь(( — *) — ~ г() )( ( ) )(ч с г-<г- > с (! — х) 1 (с '\) (! — т)з — (! — х)з) с (228) ))алочннм разложение: 1(2)= ) —,.
( — ) з-0 Уравнение (224) и начальные условия (225) удовлетворяются при любом вы. боре ф(т) и ф(т). Предельные условия (226) приводят к следующей системе уравнений для ф(т) и ф(т): -г()(-ч(~-)н-5 ч() "" " 'о )(« - ")- г-! сУ'(с т/(! — т) — ! ) ф(1-!)+ р(!) — ~ ф(т) е ((! .т)т )2 (229) Функции ю((т) и аз(!) считаем непрерывно дифференцируемыми. Полагаем ф(!) — (р(!)=9)(!)' ф(!)+(р(!)=ф (!). г-! "«- '5 г (, (( — ) — ') с = и (!) + ыа (!). (230) с-с ф~ (!) + ф) (! — !) + с! ~ ф) (т) 1' (с т/(! — т)' — )з ) е .т((! т)з !з ю( Р) 032 (!) причем (р) (т) = ф((т) = О при т ( О. Складывая и вычитая почленно уравнения (229), получаем раздельные уравнения для (р)(!) и ф)(!)( 1Щ ПРЕДЕЛЬНАЯ ЗАДАс)А ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВСССННЯ Ейу Из этих уравнений можно определять Фс(1) и фс(1) при помощи после.
довательных шагов на промежутках [О, 1), (1, 21), и т. д. Мы имеем фс (1) =ес (1)+ ес (1); фс (1) ео (1) ес (1) при 0~1 ~1;1 с-с г с о-о'-о с о()- о)о о — оо — о — о( м оо — г — о (23!) о,(о- оо-, ° )+о ° -~н- ~ ( оо.> ' к'с оз — тя:со о о - о' - е* при 1~~1~21 и т. д. Вместо метода шагов можно применить к решению интегральных уравне ний и прсобразование Лапласа. Материал настоящего параграфа взят мною из неопубликованной работы Д. А. Добротина. АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Адамара метод решения задачи Коши 145 Бихарактсристики 1!3 Верхняя функция 337 Волновое уравнение, предельная задача для сферы 534 Гармонических функций последовательность 3!4 Гарнака неравенство 3!6 Гельмгольца уравнение 390 Гидролинамикн уравнения 202 Гиперболическая система 221 Гиперболический тип уравнения 88 Грина тснзор 431 — формула 124, !28, !40 — функция обыкновенного уравнения 225 — — — — обобщенная 240 — — оператора Лапласа 367 — — — — для круга 377 — — — — для прямоугольника 377 — — — — и неоднородное уравнение 379 — — прслсльной задачи, приводящей к полнномам Лежандра 247 — — — — — к функциям Лагерра 250 — — — — — — — Эрмита 250 — — уравнения Гельмгольца 400 — — — Ав — Лп = 0 411 — — уравнения теплопроводности 485 Дирихле задача внешняя в трехмерном пространстве 326 — — — на плоскости 32! — — внутренняя в.
трехмерном пространстве 3!8 — †, единственность 406 Дифракци» электромагнитной волны 402 Задача, сопряжснная к ланной 187 Иррегулярные точки границы 362 Квазилинсйное урзвнеяие 9 Ксльнина преобразование 323 Коноил интегральный 43 Конормаль 142 Конус 7 29 Координаты мсспгыс дскзртовы 452 Коши задача для линейного уравнения первого порядка 12, !9 — — для нелинейного уравнения 36, 45 — — — — †, единственность решения 38 — — для уравнения второго порндка 96 — †, корректность 37 — метод интегрирования пелинейнпго урзвнения первого порядка ЗЗ, 44 — специальные данные 96 Лагранжа — Шарпи метод 61 Лапласа преобразование, прнмснсяис к уравнению тсплопроводностн 486 Лнпшица условие 300 Лоренца оператор !23 Ляпунова поверхности 283 Мажарантнык рядов метод 76 Майера скобка 63 Метод Гольмгрснз 185 Множество Св )О) 124 — Сг!О) 124 — Сз(77) 127 Монжа — Ампера уравнеш с 109 Неймана задача вггевн~яя в трскмсриом пространстве 327 — — — иа плоскости 322 длвдвитпып рддэдтвль производная Неймана задача внутренняя в трехмерном пространстве 318 — в трехмерном нрострвпстве, решение 332 — †, единственность 328 — — на плосности, решение 340 Неравезство второе основное для решений параболнчесиих уравнений 52! — — — — — эллиптических уравне.
ний (неравенство Ладыженской) 449 — обобщенное Буняковского — Шварца 444 — Шаудера 437 — энергетическое для решений ги. пербаличсских уравнений 525, 527 — — — — параболических уравнений 5!3 — — — — эллиптических уравнений (первое основное) 444 Нижняя фуннция 357 Норма оператора 458 Область определеяия оператора 459 Общий интеграл нелинейного уравнения первого порядка 46, 55 Оператор линейный ограниченный 458 — симметричный 133, 141 — сопряженный 128 — — в смысле Лагранжа !41 — — — — теории операторов 466, 468 Оргонормированный базис 456 Особый интеграл нелинейного уравнения первого порядка 46 Параболическая вырожденная система 197 Параболический гип уравнения 89 Поверхность, ориентированная пространственно характеристическим образом 165 †, параллельная поверхности 312 — пространственно ориентированная 158 Полный интеграл нелинейного уравнзмпя 49, 55 Последовательность Коши 456 —, сходящаяся в себе 456 Потенциал двойного слоя 285 — логарифмический 307 — объемных масс 282 — 'р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
