1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Пусть наибольшее значение и достигается не на 5', а в некоторой точке (х', у', Р) и равно М. Введем новую функцию: о=и — я(! — Т), где й — положительное число, которое мы сейчас определим. Мы имеем в Рт и < о ~( и + 'яТ, и можно фиксировать я настолько близким к нулю, чтобы наи. большее значение о на 5' было, как и для и, меньше, чем значение и в точке (х', у', У). При таком выборе й функция о будет достигать наибольшего значения или внутри Рт или внутри верхней границы ! = Т.
Приведем оба эти случая к противоречию. Пусть о достигает наибольшего значения в некоторой точке С(х, у, !) внутри Рт. В этой точке о имеет максимум и, следовательно, о~=О; о„„(~0; ое„<0 в точке С, откуда следует о~ — о„, — о„„) О, или, в силу (3), ш — и,„— — 脄— й ) 0 в точке С, а зто противоречит тому, что в точке С должно удовлетворяться уравнение ир — и„„ — иеа — )' = 0 и 7 ( О.
Положим теперь, что о достигает наибольшего значения в точке С, находящейся внутри основания ! = Т. В этой точке должны быть о~ ) 0 и, рассматривая изменения о вдоль верхней границы, получим: о, ( 0 и оге < 0 в точке С. Это приводит нас к противоречию совершенно так же, как и выше, и теорема доказана. Пользуясь доказанной теоремой, легко установить еще и такую теорему: Те о р е м а 2.
Если ф, ф и !' удовлетворшот условиям ~~р) ( а на нижнем основании Р„) ф ~ ( а на боновой поверхности Рт и )т')< — в Рт, то 1 и)<2а в Рт Гл и пгеднльныв зхдхчи Рассмотрим функцию которая удовлетворяет уравнению а 'ъ оаа+ оаа+ (1 я ) и следующим условиям: а аСс — 1) о)с о=ф+', о)с=1+ ' т Принимая во внимание условие теоремы и тот факт, что О(1(Т на боковой поверхности 0г, Можем утверждать, что с — -.р-~О в Е>г) )ф+а!~(2а на основании 1 О; ! а аСг — С) ф + — — ~ ~ 2а на боковой поверхности с)г.
Из теоремы 1 следует при атом, что наибольшее значение о до. стнгается на 3', и, следовательно, о «~ 2а в Пг. Принимая во внимание, что второе слагаемое правой части формулы (4) иеотрицательно, можем утверждать, что и < 2а Аналогично, вводя функцию а (т — 1) е и — — ~ —, и положим, что для промежутка О ( х ( с поставлена предель. ная задача с предельными условиями и!„=о = сос(1); и )„.с аса(1) (6) и с начальным условием и $1 о — — 7(х) (О~х~().
(7) мы докажем, что и ~о — 2а, откуда и следует, что ~и~ о, 2а. Тео. рема 2 дает оценку решения уравнения (1) через оценку свободного члена 1 и функций, входящих в начальное и предельное условия. Аналогично доказывается теорема и в случае любого числа пространственных переменных. 162.
Потенциалы для уравнения теплопроводности в одномерном случае. Мы покажем сейчас, что можно построить для уравнения теплопроводности теорию, аналогичную теории по. тенциала для уравнения Лапласа, и таким образом привести предельные задачи уравнения те~лопроводности к интегральным уравнениям. Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности ис а'и. » (5) ) 62) потенциалы для гахвнвния твплопговодности тз) Продолжим функцию 1(х), заданную на промежутке [0,1], на всю ось к гак, чгобы она была непрерывной и обрашалась в нуль вне некоторого конечного промежутка, и составим решение урав- нения (5) [П; 214)) и„)(х 1) ~ 1(й) а ха с асй 2а ~/Й (1 ) 0), (8) которое удовлетворяет условию иа)с а=7(х) ( — аа <х<+аа), (9) ВводЯ вместо и(х, 1) новУю фУнкцию ц)(х, 1) = и(х, 1) — иа(х, 1), мы получим для и) уравнение (5) с однородным яачальным условием ю)с х — — 0 (0(х(1) н с некоторыми условиями при х=О и х= 1, правые части которых равны разности ы)(1) — и)(0, 1) и «)х(1) — и)(1, 1).
Таким образом, мы в дальнейшем будем искать решение уравнения (5) с предельными условиями (6) и однородным начальным усло- вием и )с „= 0 (О (~ х ( 1). () 0) Основным сингулярным решением, соответствуюшим источнику, помещенном)) в точке х = $ и в момент 1=т, является решение [П; 214) П -х)" са')с-т) (11) 2а З/а (С вЂ” т) Дифференцируя по $ и добавляя постоянный множитель 2аа, получим сингулярное решение, соответствующее диполю: и-х) и= „(х — $)е "*с' ') .
2а т/а 0 — т) с' (12) Умножая последнее решение на некоторую функцию ср(т) и интегрируя по т от т = 0 до т = 1, получим решение с )х-х)' и (х 1) ~ т) (» ьх) а 4а' Ф-т) с(т (и) с 2а ч/и (à — т) с соответствуюшее диполю в точке » = 3, действующему от момента сг = О, с интенсивностью с))(т). Тот факт, что функция (13) при х Ф $ удовлетворяет уравнению (5), непосредственно проверяется простым дифференцированием, причем дифференцирование по верхнему пределу дает нуль, зак как подынтегральная П62 ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 482 функция при х Ф $ стремится к нулю, если т-«1 Покажем, что функция (13) удовлетворяет следующим предельным соотношениям, если х стремится к Е слева или справа: и(в+О, ()=!р(1), и(е — О, ()= — ф(().
(14) Считая хФ 5, введем вместо т новую переменную интегрирования: х-~ 2а 1/! — 2 Если х ) $, то а-« +оо при т -«2, и если х ~ е, то а -! — оо при т-!- й В новой переменной получим и(х, Г)= — 1 ф1( — 1 ") 1е "'аа (х>$), (15) 2 ~/а ~ [ 4ахах ) х-$ 2а т7 и при х-«$+ 0 в пределе получим ° х и (Е + О, () = — 2 1 !р (() е " !(а *= ф (Г) — 1 е-"' !(и = !р (() . 21/л l Аналогично доказывается и второе из равенств (14).
Кроме того, решение (13) удовлетворяет, очевидно, однородному начальному условию и!! о (16) Мы не останавливаемся на более детальном проведенпи предельного перехода в формуле (15). Его легко можно проделать при предположении непрерывности ф(т). Положим, что у нас имеется формулированная выше задача с предельными условиями (6) и начальным условием (10). Ищем решение в виде суммы двух диполей — одного, помещенного в точке х = О, и другого — в точке х = 1, искомую интенсивность первого обозначив через ф(т) и второго через ф(т): и(х, 0= ~ ф( ) .
хе 4хг!! '! с(т+ о 2а З/я (! — 2)Л \ и-м 'Р (т) (х 1) е хаЧ-х) !(т ((У) о 2а З/в (С вЂ” т) Ь потенциалы для хгхвнвния теплопвоводности 483 Предельные условия (6), в силу (14), запишутся в виде ср(!) 1~ 9(') е 4 ы'-и с(т сос(Г), о 2а п (С вЂ” т) С' с к~ — Ф(о->1(~~~*,г '"" "о -а(о. о 2а Чй (с — т) с' (! 8) с ц мв о Первое из условий (19) даст с с1 са~ сс-о р(С)+) ~- „- —; р(т)с(т осс(С) о Дифференцируя формулу (20) по х и устремляя х к 1, получим, в силу (14) н второго из условий (19) с с са' Н-О Г е ~а'«-о о 2а ~ън (С вЂ” т) Ь 4ас (С вЂ” с) С' и мы получаем опять для ср(т) и ф(т) систему интегральных уравнений.
с ядрами, зависясцими от разности (1 — т). Эти уравнения представляют собой систему интегральных уравнений Вольтерра для ср(т) и ф(т) и ядра этих уравнений зависят только от разности (1 — т), так что к написанной системе может быть применено преобразование Лапласа так, как это мы описывали в (1ЧВ 53). Если, например, на одном из концов задана не сама функция и, а ее производная †, то на дх ' этом конце надо поместить не диполь, а простой источник, действие которого дается формулой (11). Положим, например, что предельные условия имеют вид и ~, =со,(С); д 1 ы (1), ди (19) и начальные условия, как и выше, имеют вид (16). Для простоты дальнейших формул умножим решение (1!) на 2ао и будем таким образом искать решение в виде с и и(Х, 1)=1 "'", ХЕ са*СС Ю аСт+ с 2а 4/и (С вЂ” т) С' (шз ГЛ. П.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 153. Тепловые источники в многомерном случае. Идея потенциала может быть применено и о многомерным задачам теплопроводности. Мы ограни. чимся указанием результатов, которые аналогичны предыдущим. Доназатель. ство свойств потенциалов в многомерном случае представляет значительно большие трудности по сравнению с одномерным случаем. Будем рассматривать плоский случай, т.е, уравнение и а'(и + и„„).
(21) Пусть на плоскости (х,у) имеется область В с контуром !. Основное сингу. лярное решение, соответствующее источнику в точке ($, Ч), действующему с момента времени т, имеет вид гг и — 1 — — е т [г' (3 — х)'+ (т) — у)']. 4па (С вЂ” т) Аналог потенциала простого слоя дается следующей формулой: С г' и (х у с) = — 4( дт ~ ' е оа'(с-тс дг 1 Г Га(от) 2п3 3 С вЂ” т (22) С гг п(х, у, С) — ~ СИ ~ — ' е оа'(с-Ю йг, 1 Г ГЬ(а,г) д 2п) 3 С вЂ” т да (23) е с где п — направление внешней нормали в переменной точке интегрирования, или С гг о(х, у, С)= ~ г(т ~ ' в оа'(С-т( гсов(г, п) г(а, (23,) Ь (а, т) 4ж' (С вЂ” т)' о С тде направление г считается из точки а в точку (х, у).
Если ввести угол с(ф, под которым злемент длины г(а виден из точки (х,у), то предыдущую фор- мулу можно переписать в виде п(х, у, С)= — 1с(гр( ' в '"(' Ю г'сИ. (23С) Ь (а, т) 3 3 4па' (С вЂ” т)' с е Предельные значения потенциала двойного слоя в точке ао(хо,уо) кои. тура определяются формулами гя о оа'(с-т) г, сов (г, п) г(а и (х, у, С) — Ь (а, С) + ~ (И $ Ь (а, т) о с (24) пе(хо уо С) Ь (ао, !) + где го — расстояние от переменной точки интегрирования до точки ао(хо, уо).
Потенциал простого слоя (22) непрерывен при псреходе через конттп !. а где а — длина дуги контура С, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки, и а(о, т) — функция переменной точки а контура и параметра т. Че.. рез г обозначено расстояние от точки (х, у) до переменной точки а контура 1, Тепловой потенциал двойного слоя представляется формулой тэр! Функция гринА уРАпнення теплОИРОВОЛИОсти 435 его производная по нормали и в точке пр контура имеет в этой точке пре- дельные значения, опредсляемые по формулам ,э (,, А (' о = — а(ар,() — дтэ! ' е ге сов (гр, ир) да, ди(хр, ур,() А ( ! а(п, т) рэр!г-т! дпр !! ~ 3 4иаэ (! — т)э ! (25) Пользуясь указанными формулами, можно приводить решение предельных эа дач к интегральным уравнениям. Пусть, например, ншетси функция о(х,у,1), удовлстворяюшая внутри В уравнению (2!), имеющая на контуре 1 данные прелельные значеапя: о) =а (з, 1), где з — координата точки контура, опредсрнемая длиною луги з, отсчитывае.
мой от некоторой точки Начальные данные считаются равными нулю. Оты. скивая решение в виде потенциала двойного слоя (23), получаем, в силу пер ваго из равенств (24), интегральное уравнсние для функции Ь(а,т)! - Ь (з, 1) + ~ р(т ~ э ' , е г соз(г, п) Ыа ы (э, 1), (27) Ь(п, !) ра !г-т! 4паэ (! — т)' о где г — расстояние мсжду точками з и а контура 1, и н4правление г считается от и и з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
