1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Для доказатель- ства этого рассмотрим (Р'з,о(0) хак гильбертово пространство со скалярным произведением, определенным равенством (432), и нормой!! Р> (146]. Введем в йг~,о(0) новое скалярное произведение: (и, о) = — ~ 1., (и) 1., (а) Нх . о Соответствующая ему норма, которую мы обозначим через з (!ь эквивалентна норме !! ((М> (см. об этом [147)). Действительно, неравенство '1 и! Ь ~~ С, (! и з~~~ для любой и я 1(Гз,о(0) следует непосредственно из ограниченда, ности ам, — и с. Обратное неравенство дх !! и (~'в ~ (Сз (( и Ь = Сз ~ Х,~ (и) (( есть не что иное, как неравенство (461).
Итак, эквивалентность ноРм (~ Р) и !( 'х, доказана. ФУнкции иА пРинадлежат Юг~ко(0), следовательно, ему принадлежат и конечные отрезки ряда (495). Кроме того, функции (из), ортогональны друг другу в смысле нового скалярного произведения, ибо из (492) следует, что 1 ("и пд = (1'1("А) (ч ("ю)) = ~ ~ ("А "с) = РА бы Ввиду этого просто подсчитать величину ! т+Р т+Р тЬР ~'.', (~, и )и ~= ~3', р з(~, иа)з= 2 (~, 1.,(и ))~= т+Р Е (1.
()), и )з. Прн этом мы использовали то, что ) ен К.о(0). Числовой же ряд ~ (1.~(~), иА)' сходится и равен 11.1(1)1', ибо Ь,(оен1.,(0) А-1 47б СПЕКТР СИММЕТРНЧ! ЮГО ОПЕРАТОРА причем этот ряд сходится в норме йт(0) и 4(~' А) ' (498) о1 Докажем еше такое предложение: если 1~ В'з(0), то ряд (495)', сходится к ней в норме йГт(0), т. е. ряд (495) и ряды, получен ные однократным почленным дифференцированием ряда (495)' по хь сходЯтсЯ в ноРме 1.т(0) к 1 и 1„, соответственно.
ДлЯ о 1 этого введем в гильбертово пространство 1Р'з(0) новое скалярное произведение [и, о[= — Е,(и, о) = ~ (ами,п„А — сип+Хзиэ)дх. о Из (490) и ограниченности [а,о[ и [с[ следует, что соответ« ствующая ему норма [[ [[, эквивалентна исходной норме [[ [[и> о1 пространства Я7з(0). Собственные функции иА принадлежат о (, т(0) и ортогональны по отношению к скалярному произведе.
нню [, "[, ибо [ на, ПД = ( — ь,иА, и~) = — 1А '(иА, и,) = — Р '6 . (499) Функции [.т/ — р„иА(х))А,образуют, тем самым, ортонормиро. о ~ ванную систему Функций в пространстве ((7з(0) с новым скаляр. О ным произведением. Поэтому для любой 1 из В'т(0) и системы о (гт/- р„иА)А, справедливо неравенство Бесселя (см. [Юб 46[) 7 оо Х 17, Ч:)АзиАТ~[[11,' (см. (496)).
Поэтому функции )Г (х) = ~' (Г, иА) и„(х), У = 1, 2,..., А-1 образуют последовательность Коши в пространстве 1Р'т, о(0), а так как оно полное, то су1цествует элемент 1(х) в К,а(0), к которому 1 (х) сходятся в норме (Р~,о(0). Но, с другой стороны, мы знаем, что )" (х) сходится в (.Т(0) к 7'(х), следовательно, 1(х)=)'(х). Итак, мы доказали, что для 1ен)Р",,з(0) ряд (495) сходится в норме пространства (Р'з,о(0) (т. е. в любой из норм [[ $ и [~ ~)н), и потому о 0 (1) = Х ([, иа) 0 (и,) = ~ Х, Ц, иа) им п60 гл и певдвльные задачи, атв С другой стороны, ьТ, у' — рьиь)=(1, чl — пью,и,)'=( — рь) (1, иь) (500) и ! и+е м+е Е (1, иь)и,~ = 2 ( — рь) ~(1, иь) .
(501) ь т ! ь и Сопоставляя эти соотношения, видим, что функции (1, иь) иы й = 1, 2, ... образуют последовательность Коши ь-1 о в пространстве»т'г(0), и потому сушествует элемент )(х) этого пространства, к которому 1н(х) сходится в любой из двух норм ))тг(0), и В Ю (»1 1~- Е ь), тт — рьиь1 .= Х ( — рьГ (1 иь)'=Е (ль — ль»(~, и,)', ь-1 ь-~ ь-1 Но так как )" сходится к 1 в норме Ег(0), то 1(х) = 1(х) и Р (()(»;=А!() )) ~' (Ль — Ль)(~, иь)'.
(502) ь-1 Подытожим доказанные в этом пункте факты в виде теоремы (см. в связи с нею замечание на с. 390): Теорем а 1. Пусть для симметричного оператора Е, определенного равенством (488), и области О выполнены условия теоремы 2 из [148]. Тогда весь спектр задачи (489) (или, что то же, спектр оператора 0 в области Р при условии Дирихле) состоит из счетного числа вещественных значений (Ль) „стремящихся при й — ~ со к — со и меньших числа Ль, мажорирующего козффиииент с(х). Соответствующие им собственные функции (иь)ь, можно ортонормировать в 1,г(0).
Они образуют базис в пространствах Ег(0), И7~г(0) и Уl~~,о(0), так что ряд Фурье (495» по ним для любой функции 1 из Рг(0) сходится к 1 в норме Тг(0), для любой» из Итз(0) сходится к 1 в норме Итт(0), а для любой 1 из ))тг,о(0) сходится к 1 в норме Ф",(О). Кроме того, имеют место равенства (496) для 1~ Е,(0), равенство (502) для 1' из Ют(0) и равенства (497) и (498) для 1 из Фтг,ь(0), Изложенное здесь доказательство сходимости рядов (495) в пространстве Я7ги(0) принадлежит О. А.
Ладыженской. Более того, это было сделано ею для всех трек классических краевых условий, причем не только в пространстве Итг(Р), но и во всех пространствах Итг(0) с целыми 1 (см. гл. 11 книги: Ладыжен- СПЕКТР СИММРТРИЧПОГО ОПЕРАТОРА ская О. Л. Смешанная задача для гиперболических уравнений.— Мэ Физм а тгиз, 1953) . Собственные функции и собственные значения оператора 0 обладают рядом экстремальных свойств аналогичных тем, которые мы установили ранее для интегральных операторов с сим. метрическими ядрами, для вполне непрерывных симметрических операторов в Ьз(Р) (см.
[!Чй 36, 37]), для обыкновенных дифференциальных операторов типа Штурма — Лиувилля [88], для оператора Лапласа [129] при условии Дирихле. Так, например, пз равенств (496) и (502), справедливых для любой функции ) о пз )Р'з (О), легко доказывается следуюшая теорема: Т е о р е м а 2, Наименьшее значение квадратичного функционала о на множестве функций 1" иэ УР'в(0) с 11Л1= 1 равно — Х1 — первому собственному значению, взятому с обратным знаком. Оно реализуется на первой собственной функции и,. Второе собственное значение, взятое с обратным знаком, дает наименьшее о значение У(1) на мнохсестве функций 1' из Ф'в(0), подшняющихся двум условиям: 11111= 1 и (1, и|)=0.
Оно реализуется на собственных функциях, соответствующих Хв (обозначим одно из решений этой задачи через ие)*). Следующая собственная функция из находится, как решение изопериметрической задачи на определение нижней грани 7(1) на множестве функций 1 из )(т"з(0), подчиненных условиям: 1Щ1 = 1, (), и ) = О, (1, ив) = О. Значение 1(1) при этом оказывается равным — Хз (оно будет равно — Ле, если Хе непростое собственное значение, т. е. если кратность Хв больше единицы). Так подряд находятся все ив и соответствующие им Хе.
Для доказательства этих предло>копий надо учесть, что 0 ( Хо — Л~ ( Хо — Хв ( ... Ввиду этого для любой 1 из Утв(Р) Т.,()', [))(Ле — Х,) ~ ([, ив)'=(Ла — Х1)1111[в, а для [= и~ значение Х~(ип и~)=(Хо — Л1) 11и11)з = Хе — Хь слео1 довательно, для любой /~ )Р'з(Р) с 111" 11= 1 имеем 7([)=Х([, [)=Х,([, [) — Л,11)11'Ъ вЂ” Х,=у(и,), '1 дополнительное рассумденне наваливает, что первое собственное зна пенне одновратно, 418 ГЛ.
П, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧЕ т. е., действительно, и> дает решение первой из указанных в теореме в ар и а ционных задач. В следующей вариационной задаче о ! мы должны рассмотреть все [ из )Гтг(0), удовлетворяющие условиям [[![~ = 1 и ([, и1)=О. Для них Е1([, !)) (Лг — Лг)[$[~= =(Ло — Лг), а, с дРУгой стоРоны, Е,(иь иг) =Лг — Ль следовательно, Е(Г', !) ) Е(и>, и,) = — Л>. Аналогично доказываются н остальные утверждения теоремы. Полезно отметить, что вариационные задачи, описанные в этой теореме, имеют решения и при значительно меньших предположениях о коэффициентах Е н 0. Например, достаточно потребовать, чтобы для Е выполнялись условия, сформулированные в [144], а 0 была бы произвольной ограниченной областью. При этом мы получим те же числа Л1, Ль ..., но относительно соответствующих им функций ил сможем утверждать лишь, что о они суть элементы ГР',(О).
В соответствии с определением, дан. ным в [144[, и,(х) является обобн1енным решением из класса о 1Р'т(0) спектральной задачи (489) при Л = Ль Если же Е и 0 удовлетворяют требованиям теоремы 2 из [148[, то каждое пз этих иг(х) окажется элементом Ю>,ч(0) и будет удовлетворять уравнениям (489) (см. теорему 2 [149) ). й 3. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ 151. Зависимость решений уравнения теплопроводности от начального и предельного условий и свободного члена. Мы установили раньше теорему единственности для уравнения тепло« проводности, причем это доказательство было основано на тео.
реме, которая утверждала, что наибольшее и наименьшее значения решения однородного уравнения теплопроводности достигаются или при ! = О или на границе области. Доказательство этой теоремы проводилось для одномерного случая [!1; 219[. Совершенно аналогично можно провести дока. зательство и в многомерном случае. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение теплопроводности в области В иа плоскости (х, у): и, = — и„, + и„+ 1 (х, у, 1) с начальным и предельным условиями и[1=4 —— !Р(х, у) (в области В); и[1 —— ф(х, у, 1), (2) где 1 — контур В. Функцию [ мы считаем непрерывной в замкнутой области В при 1) О, Аналогичным образом 1р считается непрерывной в В и ф на 1 при 1) О, Представим себе в простран- 1зп ВАВисимость Решения уРАВнения теплопРОВОдности 479 стае (х, у, !) цилиндр Р, основание которого есть область В на плоскости (х, у) и образующие которого параллельны оси Пусть Рт — часть этого цилиндра, ограниченная снизу плоскостью ! = 0 и сверху плоскостью г = Т (Т ) 0).
Обозначим через 5' нижнее основание ! = 0 и боковую поверхность Рт. Пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, которые мы применяли в ()); 2!9), легко доказать теорему. Т е о р е м а !. Если и удовлетворяет уравнению (1) внутри Р и непрерывна вплоть до 5', и если ! ) 0 в Рт, то наименьшее значение и в Рт достигается на 5'. Если же ~ (О в Рт, то наибольшее значение и достигается на 5'. Приведем коротко доказательство этой теоремы. Рассмотрим только случай ( ( 0 и будем доказывать от обратного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
