1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 85
Текст из файла (страница 85)
д / дич д (410) Под нетривиальными об. решениями класса УУ»(0) задачи '(408)' понимаются отличные от тождественного нуля элементы ияя 4 ен'Я2"2(0), удовлетворяющие тождеству (407)' с 7 =О. Анало. гично об. решения класса %2(0) задачи (409) — это элементы о В'2(0), удовлетворяющие тождеству Х*(и, 21)~ ~ (а!»и,»тЬ! — Ь4и»1»,— си»1) с(х= — Х ~ и») о о 4 при любой 21 из йГ»(Р). Вторая теорема Фредгольма имеет следующее содержание» задачи (408) и (409) имеют нетривиальные об.
решения для не более, чем счетного множества значений Х: Х = Хы я = 1, ... Они совпадают с теми Хм о которых шла речь в (143). Каж. дому Х» соответствует лишь конечное число линейно-независи. мых об. решений задачи (408) и задачи (409), и число тех и других совпадает. Набор чисел (Х») называется спектром оператора !'. и оператора !'.» в области 0 при условии Дирихле. Таким образом задача (403) однозначно разрешима при лю. бой г из Х»(0) для всех Х, не совпадающих с (Х»).
Если же в (403) Х = Хм то нетрудно убедиться, что для разрешимости задачи (402) 7 обязано удовлетворять равенствам ~ )с»44х=О, (411) о где о» есть любое об. решение задачи (409)' с Х Х». Это следует из (407), если в нем положить Х = Хм а 2) = о», и заметить, что Е (и, с») = 1.' (сы и) = — Х» ~ о»и дх. о Третья теорема Фредгольма для задачи (403) с Х = Х» утверждает, что выполнение равенства (411) является необходимым и достаточным условием разре4пимости задачи (403) в пространстве Я72(0), Задача в этом случае имеет бесчисленное ! множество решений.
Все они могут быть записаны в виде я» и=и»+ ~'„сги»4, где и» есть какое-нибудь частное об. решение ! 1 задачи (403),и»„! = 1, ..., А4», суть об. решения задачи (408)) ГЛ.И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ нм 442 при )о = ХА, а гл — произвольные числа. Для справедливости всех перечисленных утверждений существенно, что область 0— ограничена и коэффициенты ам удовлетворяют условиям ч ~ $',. ( ам (х) $,.$ ( р ~ $и где т и 11 — положительные постоянные.
Предположения же об ограниченности Ь; и с могут быть ослаблены — заменены предположениями об их принадлежности 1.,(0) с д) и для Ь1 н д ) "/г для с. Может быть ослаблено и предположение относительно ); например, заменено на принадлежность 1 к 1.,1(0) с 2л и э „2 при и ) 2 и с любым конечным д при п = 2.
Близким образом исследуется и случай неоднородного краевого условия Дирихле, а также вторая и третья краевые задачи. При Ь, = О уравнение 0(и) =1 (412) является уравнением Эйлера для квадратичного функционала 7(и) = ~ (п1Аи 11„— сиз+ 2и)) 1(х, и а соответствующее (412) тождество 7. (и, т1) =— ~ (а1,и„Ат1„1 — сит1) а1х = — ~ 1т) 11х в и есть не что иное, как равенство нулю первой вариации У(и) на функции и и би = 11. Таким образом с задачей Дирихле для уравнения (412) связана вариационная задача о нахождении экстремальных точек функционала 7(и) на классе функций нз о 1РА(0).
Решения этой задачи (если они существуют) являются 1 не чем иным, как обобщенными решениями класса (кз(0) задачи Дирихле для (412). В [!Ч1, 117 — 119] мы показали, что ннфимум функционала о1 о 'У(и) на Ф'~(0) реализуется на единственном элементе Ф'з(0), если с(х) = О (это же верно и при любой ограниченной неположительной функции с(х)). Проведенное там рассуждение но опиралось на существование решения задачи Дирпхле для уравнения (4!2); напротив, оно само гарантирует существование обобщенного решения класса Ягз(0) задачи Дирихле для (412). Основы такого пути изучения краевых задач (прямых методов) были заложены Гильбертом, давшим оправдание принципа Римана для 7.
= А. А именно, он доказал, не привлекая теории потенциала, что среди гладких функциИ, удовлетворяющих крае. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КЛАССА В~(О) 443 1411 вому условию и(з = гр, имеется такая, которая реализует инфимум интеграла г 7 (и) ~ ~~ и~, г(х11(х, В 1-1 и она является гармонической функцией в О.
Правда, в то время работали лишь с непрерывно дифференцнруемыми функциями и стремились получать сразу классические решения. Это существенно усложняло все исследование. В 20-х годах начали отказываться от обычных (классических) производных, вводя те или иные обобщенные производные. В начале 30-х годов, когда уже сформнровалось то понятие обобщенного дифференцирования, которое изложено в конце тома (!Ч1), задача на определение инфимума У(и) (при с(х)(0) была поставлена и решена, по сути дела, в той форме, которая изложена в (1Чп 117 — 118). В работе К.
Фридрихса «8реИга!!Ьеог!е Ьа!ЬЬе. БСЬгапк!ег Орега!огеп нпб Апчепбнпдеп ан! б!е 5рек!га!Бег. !е8цпй чоп Р!!!егеп!!а!Орега!Огеп» (Марш Апп., 1934, 109, № 4 — 5, 8. 465 — 487, 685 — 7!3) разрешимость этой задачи была положена в основу построения самосопряженных полуограни. ченных расширений эллиптических операторов 7. (и) — = ~~~ — „~ ам — „) + си, д / да 1 заданных первоначально на множестве всех гладких функций, равных нулю на 5. Коэффициенты аы при этом считались не. прерывно дифференцируемыми (или общее — ограниченно диф ференцируемыми функциями х), а за основное гильбертово пространство, в котором ставили вопрос о расширениях неограниченных операторов 7., бралось пространство 7,1(17).
Мы вернемся к этому вопросу в пятом томе. Сформулированные в этом пункте теоремы о разрешимости задачи (403) (и аналогичные теоремы о разрешимости для уравнения 7.(и) = Хи + ! других классических краевых задач) были доказаны разными методами в конце 40-х годов М. И. Вишиком, О. А. Ладыженской н С.
Г. Михлпным. Введенные ими опреде. ления обобщенных решений различны по форме, но эквивалентны по существу дела. Мы привели определения обобщен. ного решения уравнения и обобщенного решения задачи (403), предложенные О. А. Ладыженской. Они оказались удобными при исследовании не только линейных, но и нелинейных краевых задач. Доказательство теорем Фредгольма, данное ею, про. водится по следующему плану: сначала устанавливается экви.
валентность тождества (40?) некоторому операторному уран. гл и пгсдельпые злдлчи 4!4 т ~~' $з(~а, (х)$!$ ((р 2„$'„ 44 ~~~ Ь1(х) ~(14!4 1!э~ с(х)(~ рм ! ! (413) где ч и и ) О, 1!! ~ О, а 14! и н, — какие-либо числа (не обязательно положительные). Введем сокращенные обозначения; и', = ~~ и'„.
! (и, О) = ~ ив 4(х, ]] и ]] = Ди, и), О !.!= 4Ч, !.!-(] ! .)и' 1О ! !Г'=!1! И'4-!,Г!и=(]('.4 !)1*) !4141 зО Будем считать параметр )4 и все функции вещественными, хотя проводимые ниже рассуждения легко обобщаются и на случай комплексных Х, и и 1. Мы будем испольэовать неравенство н и и! н ь нз р,4*((( ~ч4 ) ! 1 ~ ',4 ], !4151 О 1-! О О 1-1 которое является обобщением неравенства Буняковского— Шварца [П; 161] (и доказывается так же, как последнее), и элементарное неравенство ]аЬ]< еаз+(4в) Ьз, (416) а нению вида и = ХЛ(и)+1 в гильбертовом пространстве )Р',(й) с вполне непрерывным оператором А.
Для этого иснользу!отся лишь оценки, доказываемые нами в следующем пункте, и теорема Рисса об общем виде линейного функционала. После этого, с помощью теорем Фредгольма, справедливых для таких уравнений, извлекаются те утверждения о разрешимости задачи (403), которые мы перечислили выше (см. в связи с этим лекции О. А. Ладыженской, изданные в виде книги: Краевые задачи математической физики. — Мл Наука, 1970. Более подробный анализ задач (403) и (408) и соответствующая библиография содержатся в монографии О. А.
Ладыженской н Н. Н. Уральцевой, указанной в предыду!цем пункте), 145. Первое основное (энергетическое) неравенство. Предположим, что коэффициенты оператора 7. из (402) удовлетворяют условиям п. 1144], а именно при любых вещественных В1, ..., $, и хин 11 пеРВОе ОспОВное неРлвепстВО справедливсе для любых чисел а, Ь и любого В ) О. Оценим Е(и, и), определенное в (405), снизу, используя предположения (413) н неравенство (415), следуюшим образом: л из! к \!!и Е(и, и)) т)/и„!!з — ( ~ ~~ из„!Кх) ~ ~ ~ (Ь,и)'с(х) чо з-! о — рз!!и !!з т !!и !(з — р!!!и„!!))и !! — рз!!и )!з. Отсюда, в силу (416), вытекает и! А(и, и)~(т — е!)!!и„!!з — (рз+ —,' )!!и!г (417) то (419) дает возможность оцепить норму !!и„)! только через !Д. Действительно, возьмем, например, е, = б/4, а е! таким, чтобы Л вЂ” р — р',(4с,) = ЗЬ/4.
Тогда элементарные подсчеты показывают, что е, =трз!(Ьт+ р',), и из (419) следует желаемая оценка: (421) или, короче !)!'! ~С !! П!. (422) Благодаря ей имеет место следуюшая тсорема единственности: Те о р е м а 1. Если коэффициенты С удовлетворяют условиям (4!3) и вь!полнено условие (420), то задача (403) имеет при любом е! ) О. Пусть и есть обобщенное решение класса В'з(!О) задачи (403), так что для него справедливо тождество (407). Полагая в (407) т! = и, получим равенство А (и, и) + Л !! и !!з = — ~ !и а!х. (418) о Из него, используя (4!7), неравенство Буняковского — Шварца и (416), извлекаем такое неравенство: 1 (т — е!))!и„!(з+(Л вЂ” рз — 4 )!!и!(г(!!7!!!!и!!~ез!!и(!з+ вз !!!'!!з, (419) где ег — произвольное положительное число.
Его и называют первь!м основным (или энергетическим) неравенством. Из (419) видно, что норма (!и,(! об. решения и задачи (403) оценивается сверху через !!!!! и (!и!!. Если же р'! Л вЂ” рз — 4 =Ь) О, (420) гл. и пекдгльныв задачи П4б 446 >' т — е, Н> 1 >пах ~ — +Л вЂ” ре — — ~— = Ь, > О, (425) 0(е, ~е СО 4е>,1 то, беря в (424) ее = Ь>/2, получим 1и!| а:;,Ь> !1)1. (426) Отсюда же и из (419), взятого, например, с е> =т/2, ее=1, следует и оценка полной нормы и в (Р'е(0), а именно; (> и 1~ >(~С~1 ~(~. (427) Условие (425) выполнено, например, для 7 = Л при всех Л ) О. Условие же (420) для Л = Л и Л 0 не выполняется. Если коэффициенты заданы в какой-либо области О, и для них справедливы предположения (413) в области Оь то условие (425) выполняется для любого фиксированного Л (в частности, для Л = 0), если область 0 с: Р, взять достаточно малого объема, ибо Сь-~-0 при тез0-ьО. В связи с этим говорят, что в областях «достаточно малого объемае для задачи (403) справедлива теорема единственности.
Замечание. В (! Ч>, 115) мы доказали, что Сь-+-О, если стремится к нулю диаметр О. Более тонкие рассуждения показывают, что Сь пропорциональна (>пезО>е>е. 146. Пространство Я>те,е(0) и второе основное неравенство. Докажем предварительно неравенство ~ ( о ~ с(Я ( С ~ Ц о >+ ( о„>) с(х, (428) не более одного об. решения класса К(0) (область 0 при этом может быть и неограниченной). Действительно, для разности о = и' — и" двух возможных обобщенных решений задачи (403) справедливо тождество (407) с 1" = 0; а потому и неравенство (422) с 1 О, из которого следует, что о = О, т, е. и' = и". Для ограниченных областей 0 можно ослабить условие (420). Чтобы сделать это, воспользуемся неравенством ~ и'а>х(Ср ~ и'а>х (423) о о (неравенство (32) из [1Ч>1 115) ), справедливым для любой о > функции и би'>)те(0) и ограниченной области О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
