1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 82
Текст из файла (страница 82)
о о Из последнего выражения и неубывания функции ф(х) непосредственно следует, что и производная, стоящая в левой части формулы, положительна и не убывает. Мы можем, таким обра. зом, применить к функции Лоз(Л) лемму 1 и получим, принимая во внимание (353), 1 " [Лог(Л)] , 'НЛ9, откуда з — з'(Л) =2 ~ ф (х) ! +Мо о(х — НЛ о (354) Далее мы получаем о — Л а (Л) — НЛ, и можем опять применить лемму 1 к функции [ — Лоз'(Л)]: о 1 3 1 — — [Лоз'(Л)] — ° — НЛ9 откуда, производя дифференцирование и пользуясь (354)', полу.. чаем 5 а" (Л)=3! ~ ф(") их — — НЛ '. (355) (х+ Л)9 2 2 о доклзхтельстео еспомогхтслыюп тгогсмы 425 где и, следовательно, г У (Л) ~( )( Л) ~ ~~,~, «!.
о о о Принимая во внимание (356), получим р Л-р-о ~ о(о~! ° 3 ... <2р+2х+1) (р / <р+ о+ 1)12о+о ! Уо(Л) = з(Л) НЛ Первую нз этих формул можно записать в виде 7,(Л)-НЛ ' ' — ',') ( — 1)'(;) „. х-о Докажем теперь формулу Г(р 1-.-1- — ') ~а Х( — ) (,) г<р+х+ ) = — 7<' (358) (359) (360) Рассмотрим для этого интеграл Ю р+ о ! р ! < +Мор+о ° (361) Продолжая таким образом и дальше, придем к формуле оп+ ! ( — 1) з (Л) =(и!+1)1 ~ „о<(х "' НЛ о . (356) о Изучим теперь асимптотическое поведение интеграла (357) при больших Л.
Мы имеем Л (х-1- Л)ох+о <х-1- Л)о~о х.-! Чр) (х-1-Л)о+о+' .о ° 427 !З4) доклзлтвльство вспоыоглтсльнои теоремы где 0 ~ а ~ 1. Из (345) следует: О а..ф(Л) ~ А Л/Л, где А — постоянная, и, следовательно, П-а) Л ! (х+ Л)~Р+ откуда, в силу леммы П, ! 2Н У ! — — — Л 'КЧ где Ч, зависит от р н а и Ч,— 0 при р- оо и фиксированном !х. Совершенно так же получим ! где Ч' аналогично Ч,. Оцениваем У, а! ! Р - ! (х+Л)РР+з 2р+ ! ( Лах+! ((+Л)"+'.) рЛ"+' ' и мы имеем ! 0(Ч'< С ЛР7, где С вЂ” постоянная.
Из предыдущих формул следует! ! У з=жЛ К (1+Чл — Чх — Ч вЂ” Ч ), (367) Принимая во внимание определение Ур,х и тот факт, что ф(х) не убывает при возрастании х, получим Л+аХ р, ! !р (Л+ аЛ) 1 х 'з--(Л ы,м 3 (х+л)ар+ Л-аХ ! а(л+ал) г)+а)з Л-р —,У. (Л+ аЛ)Ь ~! — а/ где В и В! — постоянные (опи не зависят от р и Х). Отсюда следует; ! 2Н У = — Л хКт)' р,о — а р Л ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ П12 428 откуда ! 1 Принимая во внимание (367), получим Чз (Л + аЛ) 2Н ( ! — а 1з!з (Л+аЛ)' и , ~ — ()+и„— )'-и — и')( — ) .
(369) Л1+ а/ Аналогично из (368) имеем Л+аЛ р+ ! 2 2 (Л+ал)И ~ (к+ МЕР+2 (Л вЂ” аЛ) !' Л1+ а/ откуда чз (Л вЂ” ах) р+ — /р, з Х ! + а )Ч» <л (Л вЂ” аЦ!' Кр з 1 — а и, принимая во внимание лемму П и формулу (36?), получим !+а' Чз Чз 2Н Покажем теперь, что отношение 1р(Л):Л* стремится к — „ прн Л- ао; 1!щ —, зр (Л) 2Н Л.+ ЛМ я (371) Вообще число А будет одним из возможных предельных зиа. чений 1р(Л): Л/Л при Л-з со, если при любых заданных положи. тельных е и М найдутсятакне значения Л', что(А — 1р(Л'): Л/Л'~(~ ~(а и Л')М.
Аналогичным образом А =+оо будет одним из возможных предельных значений з)з(Л): Л/Л, если при любых заданных положительных М и Л! найдутся такие значения Л', что !р(Л'): Л/Л' ) Ф и Л'~М. При этом под возможным пре. дельным значением мы понимаем такие значении А, что сущест. вует беспредельно возрастающая последовательность Л„ значе. ний Л такая, что !р(Л„): Л/Л„ - А. Нам надо показать, что су. ществует только одно возможное предельное значение и что 2Н оно равно— Обращаемся к неравенствам (369) и (370) и отметим, что левая часть их не зависит от р, которое входит в правые части неравенств Сначала фиксируем каким-нибудь образом р и а и устремляем Л к бесконечности так, чтобы левые части (369) и ЛИНЕЙНЫЕ УРЛВНЕзщя БОЛЕЕ ОЕШЕГО ЕИДА !401 429 (370) стремились к одному из возможных предельных значений А Мы получим при этом, принимая во внимание, что т1 и з1' нс Р зависят от Л! Левые части (т е.
А) не зависят нн от р, ни от а, и считая, что р фиксировано достаточно большим, а а достаточно близким к нулю, мы н получим, что единственным возможным значением А является 20 и, т. е. имеет место (371). Таким образом, утверждение (331) теоремы из [138) доказано. Приведенное выше доказательство принадлежит Харди и Литтльвуду. В ра- боте упомянутых авторов установлено несколько более общее предложение, частным случаем которого является доказанная выше теорема 140. Линейные уравнения более общего вида. Рассмотрим уравнение вида з 7.
(и) = Х и „, + Ь (х>, хз, хз) и = — зз (х!, хз, хз). (372) ! КооРДинаты (хз, х,, хз) или ($!, $з, яз) точек пРостРанства мы в дальнейшем будем обозначать просто (х) илн (е). Пусть ищется решение уравнения (372), удовлетворяющее однородному предельному условию: и!э=О.
(373) Заданные функции Ь(х) и 1(х) мы считаем непрерывными в замкнутой области Р, и имеющими непрерывные производные первого порядка внутри Р, Совершенно аналогично тому, что мы делали в (137], будем искать решение указанной задачи в виде и (х) ) ) ) 0 (х; е) 1з (е) !тты и! где 6(х; е) — функция Грина оператора Лапласа с предельным условием (373).
Это последнее условие для функции и(х), опре- деленной формулой (374), выполнено при любом выборе непре- рывной функции 1з(Д, и надо подобрать эту функцию так, что- бы внутри Р, удовлетворялось уравнение (372). Считая, что 1з(е) имеет непрерывные производные, получим для 1!($) инте- гральное уравнение 14(х) = 7(х)+ ~~~ К(х; Е) 1з(Е) Ыта (375) е! 1мо ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 4ЗО с ядром (376) (378) то мы придем к интегральному уравнению с ядром: з К (х; е) = х~~ а!(х) О, (х; е) + Ь (х) 6 (х; е). Если для производных функции Грина имеет место оценка [СГ,,(х; Е) [< —,, (380) (381) то к упомянутому интегральному уравнению применимы обыч. ные теоремы. Сравнительно простое доказательство этой оценки кмеется в заметке Э йду с а Д. М.
— ДАН СССР, 1956, 106, № 2. К(х; е) =Ь(х)0(х; 5). Рассмотрим соответствующее однородное уравнение 1А (х) ~ ~ ~ К (х; $) р ($) дт, (377) Ю! Надо выяснить, имеет ли оно решения, отличные от нулевого. Положим, что Ь(х) ( О в П„и пусть ре(х) — решение уравнения (377). Формула (374) при р(~) = 1Г!!Д) дает решение уравнения 7.(ц) О, удовлетворяющее условию (373). Но такое решение равйо тождественно нулю [138], т. е. ~ ~ ~ 6 (х; $) и, ($) Г(т = О. и! Из формулы (377) при р(х) = ре(х) непосредственно следует, Что рч($) должно иметь внутри Р! непрерывные производные [126[, и, применяя к обеим частям формулы (378) оператор Лапласа, получим ре(х) = О, т.
е. уравнение (377) имеет при Ь(х):и ~ О только нулевое решение, а следовательно, уравнение (375) разрешимо при любом свободном члене. Поскольку Цх) имеет, по условию, внутри )7, непрерывные производные первого порядка, можно утверждать, что и р(х) имеет такие же производ. ные, откуда следует, что формула (374) дает решение поставленной выше задачи. Можно показать, что однородное уравне ние (377) имеет только нулевое решение, независимо от знака Ь(х), в том случае, если область О, достаточно мала. Все ока.
занйое выше применимо и в плоском случае. Если применить указанный выше метод для уравнения з з ~„и„„, + ~ а! (х) и„, + Ь (х) и = — 7'(х), (379) ! ! ' ! ! ., ТензоР ГРинА 421 141. Теизор Грина. Пусть 1.(и) есть некоторая линейная операция над вектором и(ив из, из), зависящим от (х, у, г), приводящая тоже к вектору. Рассмотрим уравнение Е(п) = — 1, (382) где 1 — заданный вектор, зависящий от (х, у, г).
Разлагая левую и правую части на составляющие, получим систему трех уравнений для составляющих (иь из, из) вектора и. Положим, что на поверхности 5 области 0 имеется, кроме того, однород. ное предельное условие, например условие: п]а=О. (383) Под тензором Грина для Е(и) с предельным условием (383) подразумевают матрицу он ога о„[ Ст(Р; ГЗ) — О (х у, а; й, т], Ь) — Ом Ом О»з ~, Озг Озз оаз такую, что уравнение (382) с предельным условием (383) равно.
сильно формуле "(Р)=]]~ы(Р1 Ф1(Ф "те и (384) причем подынтегральное выражение представляет собою применение матрицы 0(Р; Я), как оператора, к вектору 1, т. е. это подынтегральное выражение есть вектор с составляющими: 01111+ Югами+ Пг»Рз (1 =1. 2~ 3). Пользуясь формулой [И; 124] гог го1 и ягад г]!т и — Ьп, Каждый столбец тензора дает составляющие некоторого вектора д» (й = 1, 2, 3), который, за исключением точки Я, имеет непрерывные производные, удовлетворяет однородному уравнению (382) и предельному условию (383). Характер полярности в точке Я легко вытекает обычно из физического смысла задачи. Пользуясь тензором Грина, можно привести, как и выше, к си.
стеме интегральных уравнений задачу о собственных значениях и собственных векторах уравнения Л(п)+ 1»и=О при предельном условии (383)'. Напишем основное уравнение теории упругости для вектора сме~неиия [1зггг 104]: д'и г пг р — = О ~ам + — ягаг] д]т м). дзз 'к лг — 2 432 ГЛ и. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ !131 мы можем нависать для статического случая уравнение в виде А'и а егаб б!т и — Ь го! гоги =О, где С (2га — 2) га — 2 (385) или, вводя обычные постоянные Л и р Ламе, а = Л+ 2рн Ь !3. В безграничном пространстве сила, величины единица, действующая в точке С(5, Ч, 5) параллельно оси 2, вызывает смешение с составляющими '): Ь вЂ” ч) (2 — 5) .
а, А з (х — $) (2 — ь) и,=А з 1 г гда А Л+р 8нр [Л+ 2р) и г -уг(х — 5)3+ (у — 3!)'+ (2 — ь) . Аналогнчзияе выражения для смешевия мы имеем и в случае сил, парал. лельнык осям Х н У. Теизор Грина в данном случае будет иметь внд ! (г м ' Ря+ — Р1„ тзна 8нЬ (386) гда 1 (х — 5)3 г гз (у — т!) (х — 5) гз (2 — 5) (х — 5) (х — К) Ь ч) Ь вЂ” 5) ( — 5) гз 1 (у — ч)' гз (У ч)(2 ! а= г' 1 (2 ь) г гз (2 — 5)(у — ч) гз з 3 ! (х — ф)3 (х — $) (у — Ч) (х — 5) (2 — Ь) 3 Г г+ г' 1 Ь ч) + (У вЂ” 31) (х — 5) (У-ч)(2-0 Рь= г гз гз (2 — 5) (х — й) (2 — 5) (у — 31) 1 (2 — г]~ + г' .з ,.з Вместо предельного условия (383) мы имеем в данном случае обращение в нуль в бссконечво далекой точке. Уравнение ази — 1 ГЛ+Зр В гХГ3 8им(Л+2р) (, г + +" г) 3' 3) Л я в А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
