1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Математическая теория упругости. — М.; Лц ОНТИ, !935, ш 195. имеет в данном случае решение (385) Теизор (386) иазываетси обычно в теории упругости тензором смешения Сомильяна (5опие!!апа). Его можно записать в виде ПЛОСКАЯ СТАТИЧЕСКАЯ зддАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 433 142! где Š— единичная матрица и г Х г — тензор: (х — !)е (х — «)(у — т)) (х — э)(2 — ь) г ); г (у — т))(х — й) (у — П)т (р — з))(2 — й) (2 — ь)(х' — е) (2 — ь)(Р— т!) (2 — ь) В работе Вейля ') указаны различные аналоги формулы Грина для уравнения (385), приведено построение тсцзора Грина для ограниченной областк н с помощью этого тснзора исследованы собственные значения уравнения й*ц + йи = О.
!42. Плоская статическая задача теории упругости. Невоторые из предельных задач в плоском случае решаготся с применением интеграла Коши. Вто относится, например, н задаче Дирихле для гармонического и бигармоннческого уравнений или к задачам ьопформного преобразования односвязной ооласти на круг или многосвязной области на области определеивого типа (К р ы л оп В. И. — Матчи, сб., 1938, 4 (46), Кй 1).
С помощью интеграла Коши эти задачи сводятся к инте~ральным уравнениям Мы изложим применение этого метода к решению плоской статической задачи теории упругости (Мусхелишвил и Н. И Нгноторые задачи теории упругости). Вели в качестве предельного условия мы имеем задание смещений на контуре области В, то решение статической задачи сводится к нахождению двух функций ф(2) и ф(2), регулярных в В и удовлетворяющих на контуре области предельному условию: й~,(2').( ~аф'(2')+ ф(2') 1(2') (2' на !), (387) где А — некоторая вещественная постоянная и )(2') — заданная на контуре ! 1 1 функция, Умно>хая обе части (387) на —.
—,, где 2 лежит вие 1, н 2Л! 2' — 2 ' интегрируя по 1, получим Г ' „, Г й Г ф (2') 1 2 ф (2 ) 2пг 2 — 2 2п1 2 — 2 где тт(2) = — —,лгл' (2 вне !) ! ( Г(2) йп! 2 — 2 известнаи вне 1 функция, Устремляя 2 на контур 1, мы получим — ф (г) — †.
з! †, Г(2' — — !ф' (!) + — 3! , г(2' - р, (!), й й ф(2), 1 " 1 ( лф (2) 2 2п(22' — ! 2 йп! 3 2' — ! ( где интегралы надо понимать в смысле главного значения. Для того, чтобы получить уравнение, содержащее обычные интегралы, напишем: — р( )ба' 1, 1 Г ф'(2')лга' — р(П+ —, ! =о; — ф'(П- — ! =о. 2 йп! 2' — ! й 2п! 2' — ! Умножая второе из написанных уравнений иа ! и складывая оба уравнения почлеино с уравнением (388), получим — й Г, 2' — ! 1Г,,я — ! (')+Ъ-3 ф(")"" 2 ! + й„,. 3'(') 2 ! "*'-'(') ') (тепд. С)гс.
шай. Ра!егшо, 1915. Очэ гл. г!. Предильыые Злдлчг! Наконец, производя в интеграле, содержащем ф'(г'), ннтегрировавне по ча стям, получим т ( ~,) ! — Г (,)(', =Р,(1). (389) ! и ложить а' —.' га, то предыдущее уравнение переписывается в виде йф (1) + — ~ (е ф (л') — Ьр (а')) 80 = Ре (1). (390) От деляя вещественную и мнимую части, получим систему двух интсграль. ных уравнений для значений вещественной и мнимой частей ф(л') на 1. Ре. шая эти уравнения, будем иметь ф(л') на 1, и по Формуле Коши получим ф(х) внутри 1. Лля нахождения ф(г) умножим обе части (387) на ! ! — — где л — внутри 1, и проинтегрируем по й г Изложенный метод приведения предельной задачи (387) к интегральному уравнению принадлежит Н.
И. Мусхелншвнли (ДАН СССР, !934, 3, № !). Можно, польз Прн составлении уравнения (389) мы считали, что задача имеет рсш и . , пользуясь уравнением (389), установить теорему существования поен е. о н свя ставленной плоской статической задачи теории упругости не только в с ча д о зной области, что мы предполагали выше, но и в случае многосвязной лу е области '). П и р ведение плоской статической задачи теории упругости к интеграль. !82, р. 264]. ному уравнению было дано в. работе В. А.
Фона (С. г. Асад. Зс(, РаНз, )920, В уравнении (390) О есть угол, образованный радиусом. вектором иэ Фик. сированной точки 1 контура 1 в переменную точку а' того же контура. При. нимая это во внимание, нетрудно видеть, что однородное уравнение (390) зать и б имеет решение ф(х')= сопя(, отличное от нулевого. То же самое ожн с ° о уравнении (389). Мы всегда можем считать, что в = 0 находится — м о ка. внутри 1. Иэ вида предельного условия (387) следует, что мы можем относить постоянное слагаемое из ф(г) к ф(а) и можем считать ф(0) О.
Отсюда следует: Ых =0; ф(2) складывая это уравнение с (389), получаем новое уравнение, уже не имеющее собственной Функции. Можно применить и другой метод при решении предельной задачи (387) '). Будем искать ф(г) и ф(г) в виде Г ы(') гр (х) —, ! —, г(л' (л — внутри !), 1 ') Шерман Л, И.— 1(АН СССР, !936, 4, № 3. ') То же, )940, 27, № 9, мз] о Результлтлх шлудеРА 435 где м(г') — искомая на Г функння. Подставляя в (337) и пользуясь свойствами интеграла типа Коши, получим интегральное уравнение для м(х'): зхг — г г Г, а' — 1 , (г) Г „ (,,) д „ Г „ (,,) а ! 09 2н( зз х' — Г 2и( зз х' — Г В указанной выше работе Д И, Шсрмааа рассмотрен случай многосвязной области и проведен анализ полученного интегрального уравнения.
143. О результатах Шаудера. Для эллиптических уравнений второго порядка общего вида я х Е( ) = ~ гт„и„,„, + ~ Ьанхл+ с с а ! ' хгха а (391) (396) основными (классичсскнми) предельными (краевыми) аадачами являются задача Дирнхле, в которой на границе о облаСти ь) с: тех задаются значения пн н 1з - ф (3). (392) задача Неймана (вторая краевая задача), в которой иа 3 задаются значения производной и по конормали к 5: Р(и)! мм ч) ам — "соз(п, х,)! зр(з), (393) ь ь-1 и третья краевая задача, в которой задается линейная комбинация Р(и) и и на 5: Р(и) + ои ! = Х(з).
(394) Наиболее красивые результаты по разрешимости задачи Ди. рихле в ограниченных областях 0 были доказаны Шаудером и частично Каччопполи в работах: 8 с Ь а и д е г 3. ОЬег 1(пеаге е1!!р1(зсЬе Г)11(егеп((а181е!сЬопдеп хшеИег Огдпппц. — Майи Х., 1934, 38, 8. 257 — 282; )ч(шпсг(зс!те ЛЬзс!та1хцпдеп (п е11!р1)зс1теп 1! пеагеп Г)111егеп((а)д! е(с1знпдсп.— 8!ид(а Ма(Ь., 1934, 5, Я. 34 — 42; Сасс(орро!1 К.
8н11е ейпат!оп( е1! Ж!с!зе а дег!ча1в раг11а!1 соп гз уаг!аЬ!!! !пдерепг1епйй — Кепд. Лес. 1.!псе!, 1934, 19, р. 83 — 89. Они формулируются в терминах пространств Гельдера С'+" (0). Элементами С (Г)) являются функции и(х), непрерывные в О в смысле Гельдера с показателем а (сеен(0,1)), т. е. и(х) непрерывна в Гз и для нее конечна постоянная Гельдера: зцр 1" ') "'"'1 =(,)'. (395) х, амо (х — 91 Норма в Си(сз) определяется равенством (! и (л — — зпр ! и (х) ! + (и)п. гл и пвнднльныв злдлчи и!1 436 Элементами С!ч'*(6), 1> 1, являются непрерывные в б функ- ции, имеющие всевозможные производные до порядка 1, причем производные порядка 1 суть элементы С«(Тз). Норма в С"'(б) определяется равенством !!и!!о "' — — л Х зпр 1Вьи(х)(+ ~~' (В!и)'.
(397) ь-о <и» о <л В нем ~~' означает суммирование по всем производным порядка (ы й. Пространства С!««(Е!), 1) О являются банаховыми. Тано. выми же являются и пространства С!(0), 1= О, 1, ..., состоя. шие из непрерывных в В функций, имеющих непрерывные в х» производные до порядка!. Норма в С!(б) определяется !!и!!!!= ~ ~ зцр!1»ги(х)!. (398) ь-ь см»~ о Вместо Сь(б) принято писать просто С(1!). Будем говорить, что граница 5 области 0 с: Я' принадлежит классу С'+", 1) 1, а ен(О, 1), если существует число р ) О, та- кое, что пересечение 5 с шаром В, радиуса и с центром в произ- вольной точке х' ен 5 есть связная поверхность, уравнение ко- торой в местной декартовой системе координат (у!, ..., у„) с началом в точке х' имеет вид у.
= ы(у!, ..., у„,), причем м(уь ..., у, !) есть функция класса С!«' в замкнутой области В (х', р), являющейся ортогональной проекцией пересечения 5 П Вр па плоскость у„= О. Термин «местная декартова система координат с началом в точке хе я 5» означает, что ось у„на- правлена по нормали к 5 в точке хь, а остальные, ортогональ- ные друг другу у!, лежат в гиперплоскости, касательной к 5 в точке хь. Для функции ц!, заданной на поверхности 5 нласса С!«", при- надлежность к С'+а(5), л+ р (1+ а, будет означать, что оиа как функция местных координат (у!, ..., у„!) принадлежит С" а (В(хь р) ) для всех хь ~ 5 Основной результат Шаудера состоит в следующем: Теор ем а 1.
Если коэффициенты и свободный член ! урав- нения (39!) являются элементами С'+ (б), 1) О, где г) — огра- ниченпап область в (т«, и И а „Д Д,~ч ~х'„$чо т=сопз() О, г! ! 1=! с(х) ( О, 5 принадлежит классу Сс!г««, а ср е= С!+зч«(5), то за- дача (39!), (392) имеет решение и, принадлежащее С!+а+«(В), и оно единственно. На основе этой теоремы, предложения о компактности вло. жения с!««(1!) в с!(1э) и спектральных свойств вполне непре о Результ»ТАх шАудсРА 1>л Азт рывных опсраторов устанавливается аналог первой и второй теорем Фредгольма для оператора ь прн условии Дирнхле, Л именно, рассмотрим наряду с задачей (391), (392) спектральную задачу (399) Е (и) = Ли, и 1з = О. Чтобы сформулировать наиболее полный результат, надо считать Л комплексным числом, а и — комплекснозначной функцией вещественного переменного х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
