1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Это следует из оценок 2 — ]]] 0'(Р; Я) г(то(С; ~Х й„'(е а и, ь и совершенно так же, как и в [1Чн 31]. Первая нз написанных формул выражает уравнение замкнутости для функции 0(Р; ()) [127]. Отметим еще, что левая часть (3!7) есть непрерывная в замкнутой области б, функция точек Р и Я. Это может быть доказано совершенно так же, как мы доказывали непрерывность объемного потенциала и его производных первого порядка [[!1; 210]. Отметим, что член с наибольшей полярностью в подынтегральной функции левой части формулы (317) равен -з/хг 7 1 ГГ' где г и г' — расстояния от Я' до О и Р.
Из сказанного выше следует справедливость формулы (31?). При совпадении Р и Я получаем формулу ыз1 лсимптотнчссхое выглжшшс совствснны» знхченьи 41» положительное число. С другой стороны, в силу (326), прн до. статочно больших Л Я 'ис.ь~ — % о где о' — объем )л', откуда ! (Ц ~14ор, ца. — +~( —,'„ь — з+., О1 где о — объем йь Отсюда следует: Нш Шч/Лф(Р, Л)й»= —,"„.
ос и, в силу (322), Нп1 1/Л ~~ Л,(Л,+ Л) Ь-1 (328) Использование этой формулы для вывода асимптотического выражения для Лд основано на следуюшей теореме.' Теорема. Если ряд С е(Л) ~ + (с„> 0; Л„> 0), ь-1 еде 0 ~ Л~ ( Лэ ( ..., Л„ - оо, сходится при Л ) 0 и 1ип )/Л е (Л) = Н, ь++ (ЗЗО) то 1 ч~ 2Н Нш — ~ се=в Ь4+ "~ л <ь (33 1) » 1 е Нт ь,.+ ~/Л ~ Л, 2п ле ть причем в последней сумме суммирование распространяется на те значения й, для которых Ль Л.
1 Применим эту теорему к ряду (328). В этом случае сь — —— Л» и Н = —, н мы получаем 4к ' ГЛ. П, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ !!ЭЭ 4!В или, что то же, Е 1 2 Л + (Л) /л АА ~ А где е(Л)-4-0 при Л-Р+оо, Если взять Л = Л„то получим (332) — — „-г 1/Л„+ е„т/Лл л(е„-> 0). (333) Э-! Обозначим ал 1 Э ! Э л 1 и=К Л' —- ' ЛЭ л-! =о!(Л! — Лэ)+оэ(ЛЗ вЂ” Лэ)+ ... +гг„!(Л„! — Л„)+П„Л„.
(335) Неубывающая функция <р(Л)= —, 1/Л+е(Л) т/Л (336) интдгрируема по любому конечному промежутку, и, тем самым, и второе слагаемое правой части такхге интегрируемая функция. В силу (332) и (334) мы имеем Ал ф(Л)г(Л =о!(Лэ-Л!)+оэ(ЛЗ вЂ” Лэ)+ ... +сг„!(˄— Л„!)= о = — „, Л,А+ ~ е (Л) т/Л г(Л. (337) о Нетрудно показать, что Лл —.„$ е (Л) т/ЛЮ-Р 0 при л,-+ оо. 1 Лл а (338) а левую часть (332); обозначим через ф(Л)л Это неубывающая функция Л: !р(Л)=0 прн Л<Л! и ф(Л)=о,„при Ллч,:,'Л(Лл+!. (334) Выведем асимптотическое выражение Л, при больших и. Мы имеем 1зз! Асимптотическое Выражение совстаенных знАчении 419 лр (Лз!3 Л Л (( 1 !г11зглглегь~ о л» ~ в (Л) ~/Л огл о (п>р) откуда следует! лл Г! г 96Л",1 б+~ ) (Л)) Л/ЛаЛ вЂ” —,,', ~. » » — '„, (.1з!зззз "о Прн достаточно больших а квадратная скобка по абсолютной 1 величине ( (— б, т.
е. — ~ в (Л) НгЛгзл (Ь при больших иг 1 » о откуда и следует (338). Таким образом, мы получаем, в силу (337), о,(л — Л,)+ о,(ЛЗ вЂ” )а)+ ... +о» 1(л„— Л„,)= — „, Л'„а+а'„Лч' где в'„-РО при п-~по, Подставляя это в (335) и пользуясь (333), получим а = — Л'!'+ в"Л'а бпз л»»' (339) где в'„'-+ О. Отсюда Л„= ( — „) (1 + — „в'„') и окончательно В случае плоской области результат имеет вид (340) (34!) где 5 — плошадь области. Таким образом, все сводится к доказательству теоремы от. носительно ряда (329). При помощи указанного выше метода Карлеманом (Т, Саг1ешап) в егора. боте е()ьег спе азугпр!ок!исае Нег!е!!нпя бег Е!Кепзяег!е раг!!е!)ег ()!!!егеп!!а) ° 81е!сйцпяеп» (пег. Яаспызсй. А)габ.
'зН!Зз. Ее!рад, Ма!)г. Р)гуз. К1аззе, 1936, 88) была получена асимптотика собстееннык значений для уравнений общего вида. Пусть б — заданное положительное число. Фиксируем р на« столько большим, чтобы иметь ~в(Л) ) ( б при Л ) ЛР. Мы имеем гл г! пределы!ые задачи «20 паз Приведем полученный им рсзультат. Г)усть имеется выражение з 3 дги 'гч ди Г. (и) = ~~! игь! + ~ ар — + аи (а«р —— - ар«)„ дхр дх«Х.л дар ж«! р ! где о„, иы и а — заданные вещественные непрерывные функции в замкнутой области 0 пространства (хь хм х!). Пусть, далее, квадратичная форма з Х р«зр$« р, «-! переменных $! — определенно положительна, если точка (хь х„ха) находится в замкнутой области Е Рассмотрим предельную задачу: С(и)+Ли О при условии (302).
Она имеет бесчисленное множество собственных значений, которые могут быть н комлексными. Во всякой ограниченной части плоскости находится лишь конечное число собственных значений, и если расположить их в порядке неубывающего модуля, то имеет место следующая формула! где б — определитель, составленный из злсмснтов ар«Отметим, что, в силу положительности каалратичной формы, Ь ) О, и правая час~ь последней формулы — вещественна. (343) В книге Куранта и Гильберта «Методы математиче.
ской физики», т. (, полученные выше асимптотические выражения собственных значений Л„при большом и для уравнения бы+Ли = О установлены при помощи экстремальных свойств собственных значений. Этот метод нами изложен в [90] для случая одного независимого переменного. В применении к уравнению Ьгг+ Ли = О проведение этого метода становится более сложным.
139. Доказательство вспомогательной теоремы. Прежде чем переходить к доказательству сформулированной в предыдущем параграфе теоремы, установим некоторые вспомогательные формулы и докажем ряд лемм. Введем следующие обозначения. гр (Л) ~~' сд, (342) хз<х сх„= ср(Л„) = ~ са. А 1 В формуле (342) суммирование распространяется на те значения й, для которых Л» з, Л. Функция гр(Л) — неубывающая, неот. рнцательная функция Л: гр(Л)=О при Л<ЛО ср(Л)=о при Л (~Л<Л «!.
(344) !зя - доказательство вспомогйтельнои теогемы 421 Принимая во внимание, что Лй+Л(2Л при Лй(Л, можем написать: !р(Л) <2Л,)„л +л л ~л причем лй+! вх Лй+ А Ай+!+ А ) (х+ Х)! !.й н, принимая во внимание формулу (334), можем написаты х п й дх с, (' ч() о„ = ) (х 1 Л)а 4(х+ Л .1 )! ' В Но а» !р(Л„), и из (345) следует, что о,:(Л,+Л)-!-0 при и- со, так что последняя формула дает Ф ( в(х) (Л)=~~!~ „=~ ~ ц, !(». й-! о (346) Из (345) непосредственно следует, что подынтегральная функ- 1' ция прн х-ьсо имеет порядок —,, Для краткости записи вве.'л ' дем одно обозначение. Если ф (Л) = аЛь+ е(Л)Ль, где е(Ц- 0 при Л-+ во, то будем писать; йР(Л) — аЛь (ср.
1И1й, 112) ). Докажем две леммы: Л ем ма 1. Если ((Л) определена при всех достаточно больших положительных Л, имеет непрерывную производную, Лг'(Л) не убь!виет при возрастании Л и ((Л) аЛ4 (д ) 0), то !'(Л) адЛ4-!. Докажем сначала зту лемм)! при а = 1 и у =1. Мы имеем 1(Л) Л и надо доказать, что 1 (Л) 1, т. е. надо доказать, что 1'(Л)-й- 1 при Л-~-оо. и, принимая во внимание (330), получим !р (Л) = О ИЛ), (345) т. е. отношение !р(Л): 1~Л остается ограниченным при Л- ьь.
Мы имеем далее ! ~( о„ й-! й-! гл и предельные задачи и за Доказываем от обратного. Если Г'(Л) не стремится к еди. нице, то существует такая последовательность значений Л„, что Л, — оо и )'(Л„)-эй, где число 6 отлично от единицы. Положим, например, что й ) 1. Пусть у — некоторое положительное число. Принимая во внимание, что Ц'(Л) — неубывающая функция, можем написать: 1(ли+ тле) — 1(лл) тлл л„ч-тл„ лр+тл„ вЂ” 1(л) ъ~ ", " 1 —,= — "1а(1+у). лл Правая часть стремится к числу — 1п(1+ у), которое больше а т единицы, если взять у достаточно близким к нулю. Но из 1(Л) Л непосредственно следует, что мы должны иметь 1(л„+ тл„) — У (лр) р 1 У~п Это противоречие и доказывает лемму при а = д=1.
Перехо. дим к общему случаю. Полагая )! = Хо, введем вместо 1(Х) но! ! вую функцию 1! ()!) = — 1 !,)! о(. Мы имеем ! ! ) (н)-)л()! ) „Г( )= ! роГ( о)= ! Л1'(Л). Таким образом, )о1!()!) — неубывающая функция, и мы можем применить к )!(р) лемму прн а = !) = 1, откуда следует: ! ! );(р) 1, т. е. — )!о 1' ()оо) 1, откуда следует: )"'(Л) адЛр-!, что и доказывает лемму. Изложенное доказательство останется в силе и при г! = оо. Рассмотрим интеграл О Р-!— ! Кр — — ~ " !(и (р=1, 2, ...). (347) о Совершая замену переменных и =х:(1 — х), преобразуем инте* грал к виду (!!1о) 72) ! ! з1 о доказательство вспомогатвльнои творимы 423 Лемма П. Пусть 1-а Р+ 1 и с(и >' 3 (и + 1)2Р+2 !+а 1 И 2 Рз ~ ( 1 1)2р+2 ! 1-а К, 1(~ А1/гР, (351) где А! —— — ", и совершенно аналогично 2' К,, == А,йи. (352) Р1.
нр Мы имеем яр=( — ' — Ь), где б) 0 и зависит от выбора а. ~4 Из сказанного следует, что яР 22Ррч = [1 — 46)Ррч -+ 0 при р+- ! и с(и, Кр з — „+, 2р+2 > 1+ где 0< с! < 1. При этом К, < б;К,; К,, > (1 — б") К: К,, < б'"К, (340) где б', 6" и б"', зависящие ог выбора сс, стремятся к нулю при р-» ии, Мы имели формулу Стирлинга [Ш21 75[! Г(з)=т/2пз ае а[1+в(з)) (е(г)-+0 при г-Р+ со). Применяя ее к правой части (348), получим з р+! 1 с2 — -2 -2Р( ) ( ) (1+ 2р+— (р+ 1) где е,->-0 при р- со.
Написанная дробь, умноженная на ~~р, СтРЕМИтСЯ К ЕДИНИЦЕ ПРИ Р->. Ии, И МЫ МОЖЕМ ПаПНСатгя 1 Кр = Ар '2 Р (1 + ер) (ер -Р 0), (350) з где А = у2п2 '. Функция и;(и+ 1)2 имеет прн и = 1 макси- 1 мум, равный 4, откуда следует: 1 а 1 ! 2 2 р ( И К <й (+ ) с(и<й (+ ди о о 1 где 0 < 72 < —, и й зависит от выбора а. Мы получаем таким образом гл и пггдгльныа злдлчи пзо р-»- оо, и, принимая во внимание (350), (351) и (352), получаем неравенства (349) для Кр,, и Кр,о. Мы имеем далее Ко. 9=Ко — Ки о — Ки 3~>Ко — Я+ ЮКо.
откуда и следует неравенство (349) для К,а, и лемма доказана. Переходим к доказательству теоремы, формулированной в [138]. По условию этой теоремы 1 з(Л)=) ф(х) г(х НЛ 9, (х+ Л)' о (353) Рассмотрим функцию Лоз(Л) и докажем, что ее производная по. ложительна и ие убывает при возрастании Л: ~Ю ОΠ— [Лоз (Л)] = 2 ~ д Г Лхф (х) Г иф [Ло) оЛ ] (х+Л)9 3 ( +)) г(х = 2 ~ — о(и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
