1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 76
Текст из файла (страница 76)
е. существует такое число сч', что ) ') [ср„(Р) — ~,„(ср„)) вс < — прн ~ з ЛС, о, где з„(ср„) — отрезок ряда Фурье функции ср„(Р). Принимая во внимание неравенство (а + Ь)' < 2'(а'+ Ье), можем нависать: ~~~ [в(Р) — з (т.)Гс(то, =Щ([в(Р) — .(Р)1+[ .(Р) — ( .)[)з < с » ~2 ~ ~ ~ [а (Р) — ср„(Р)[' с(т + 2 ~ ~ ~ [ср (Р) — з (ср ))' стт ~ О, о, (2)))[ (Р) — р~(Р)) с~+ 4' Мы имеем далее 2 ~~~[, (Р), (Р)[а,(» 2 ~~~[ (Р),р (Р)[з,(т ос о,-о,[ +2 ~~~ [в(Р) — ср„(Р)[тат <2 ~~~ [в(Р) — ср„(Р)['сУт + е. Для последнего интеграла мы используем неравенство [а(Р) — ср„(Р) [з(4Ме и получаем 2 ) )) [а(Р) — ср„(Р)~~с(т(ВМ' ° объем(сс,— ьс,) ( 4 ' о,-ос после чего предыдущие неравенства дают асч(ср")[ сст ~ 4 4[ 4 + 2 в прн о, и тем более [ПСс, 3[ '))) [а(Р) — з,„(в))зс(т <в при т) ст', рер1 нОРАААльнАя НРОИЗВОднАя соаствгл1ных еункш1н звт откуда, ввиду произвольности е, и следует уравнение замкнутости для ы(Р).
Отметим еще„что из (236) следует, что ряд ~А является сходящимся рядом ]$!11, 3]. Нетрудно доказать уравнение замкнутости и для неограниченных функций указанного в ((У1, 3] типа и, в частности„для функции Грина 6(Р; Я). !28. Нормальная производная собственных функизрй. Для дальнейшего нам важно изучить поведение производных функций ое(Р) при приближении к 5. Теорем а. Функции ое(Р) ил1еют правильную нормальную производную на 5, Составим потенциал объсмпых масс: .(Р)=ф Ш вЂ” ",'" д ( =]Р()]). ор Он определен во всем пространстве, непрерывен, имеет непрерывные производные первого порядка, равен нулю на бесконечности, есть гармоническая функция внутри О„а внутри Р, имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению: Ьи = — 3рое.
(244) Мы можем построить потенциал простого слоя; о(Р)=~~ ' И5, удовлетворяющий на 5 предельному условию: де (М)! ди (М] ( )= дн /е дн причем надо иметь в виду, что и(Р) имеет производные первого порядка, непрерывные во всем просгранстве. Составим функци1о: то (Р) = и (Р) — о (Р). Она гармоническая внутри Р„равна нулю на бесконечности и имеет на 5 правильную нормальную производную извне, равную нулю К функции ю(Р) применима в О, формула Грина [!02]„ из которой следует, что ы(Р) = О в 0„, а тем самым и па 5.
Внутри О, функция ю(Р) удовлетворяет, в силу (244), уравнению Лю = Ли — ге о = — 31ро1 азя ВКСТРГМАЛЬНЫВ ГВОИГТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 389 ~ Аз ( Аз ( ... Мы знаем, что )ч есть наименьшее значение интеграла: ~(1$ ))) н(Р' Э" (Р)ы(® "тг "та (246) бо(Р)= — ха(Р), равнь1х нулю на 5, при любых непрерывных в ьч функциях ы(Р), и окончательно мы можем говорить о минимуме интеграла — ~ ~ ~ о Ьо ~(т (247) о, в классе А, где ои — обобщенный оператор Лапласа.
Указан ные выше условия вртогональности, как и в (88), сводятся к условиям ортогональности для и(Р): ~~~о(РУБА(Р)йт=О (8=1, 2...„и — П. (248) О, о, о, в классе непрерывных функций ы(Р), удовлетворяющих условию (((111(~О' е (е'~ о1 ~' О, !.О, и это наименьшее значение достигается при В>(Р) =о~(Р). Знач- ки у пт указывают на точку, которая является переменной ин. тегрирования. Порядок интегрирования в интеграле (246) в от- ношении точек Р и 9 — безразличен (ср.
[1Ут, 16) ). Для получения следующих собственных значений и функций надо добавлять условия ортогональности: ~~~ в(Р)о„(Р)дт=О (й= 1, 2, ..., и — 1). О, Вводя класс А функций, представимых через ядро, о (Р) = ~ ~ ~ ы (Р' ® " (Э "та о, где вЯ) — любая непрерывная в Л, функция, мы можем ука. ванную выше задачу сформулировать как задачу на минимум интеграла )')) о(Р)аз(Р)дт при условии ))) и'(Р)г(т=1 о, О, в упомянутом выше классе А функций и(Р).
Этот класс функций есть класс обобщенных решений урав- нения Пуассона 390 гл и пгедельные зхдлчи (249з) Функции о(Р) класса А имеют внутри О, непрерывные произ. водные первого порядка, и, повторяя дословно рассуждения из ]128], мы докажем, что о(Р) имеет на 5 правильиук> нормаль- ную производную. Определим теперь класс функций Аь являющийся частью класса А. Класс А| есть множество функций о(Р), обладающих следующими свойствами: функции о(Р) непрерывны в замкну.
той области б, и равны нулю на 5, внутри О, эти функции имеют непрерывные производные до второго порядка, причем их опера. тор Лапласа Ьп непрерывен вплоть до 5. К классу А, прннадле жат все собственные функции о„(Р). Если о(Р) принадлежит классу Аь то мы можем применить к интегралу (24?) формулу Грина, и, принимая во внимание, что п(Р)=0 на 5, можем вме- сто интеграла (247) написать интеграл ~ ~ ~ (ез„+ о'„+ о~) Ат. (249~) о, Таким образом, мы можем утверждать, что )ч есть наимень- шее значение этого интеграла в классе А1 при условии Яо'А =1, о, и это наименьшее значение достигается при о(Р) = сч(Р).
Для получения следующих собственных значений н функций надо добавлять упомянутые выше условия ортогональцости (248) к уже найденным собственным функциям. Можно показать, что формула Грина Д ~ (о' + оз + и') ат = — ~ ~ ~ и Ьо т О, о, где Ьп — обобщенный оператор Лапласа, имеет место для любой функции о из класса А. Таким образом, указанные выше экстремальные свойства собственных значений и собственных функций имеют место и для всего класса А.
В ]130] мы покажем, что эти экстремаль- ные свойства имеют место и в гораздо более широком классе функций. Обратим внимание, что в [143] и далее мы записываем спектральную задачу в виде ? и = Хи, и]з = О, и соответствую- щие ей Х, для которых и чй О, называем собственными значе- ниями (. при первом краевом условии. !30. Уравнение Гельмгольца и принцип излучения. Рассмо- грим волновое уравнение —,=а'Ьи ш' (250) 1Щ грхвнснив гельмгольцх и принцип излгчвпия 391 и будем искать его решение а виде установившегося синусоидального режима задаинои частоты: и =в' 'и. (251) Для и мы получаем уравнение Гельмгольца: Дп + йзи = О (/г = ср '.
а), (252) по виду схожее с уравнением Лапласа. Выясним, прежде всего, условие, которому должны удовлстворять решения этого урав. пения на бесконечности. Мы уже упоминали об этом условии в (1!1м 155] и назвали его принципала излу ~ения. Мы дадим в настоящем параграфе точную математическую формулировку этого условия. Пусть имеется установившийся режим вне некоторой поверхности 5.
Проведем сферу 5р с центром в некоторой точке М, находящейся вне 5, и достаточно большим радиусом, зак, чтобы 5 лежала внутри 5р, и. применим формулу Кирхгофа [11; 2!2] (в ней г = (ММ), а У ~ 5): 1 "- — '. Б Ь( — ";) - —.',(2%- ° —.:) ° зрзр к решению (251). В написанной формуле интегрирование совершается по 5 н 5р.
Для решения (25!) мы имеем при 1) р/а ~ш(~- — ) ~др] Ъ(~ — — ) др ~ди'~ ~ю(~- — ) н при интегрировании по 5р получим интеграл вида Ц вЂ” (ф+ !и ) с(5+ Ц вЂ”,в 'Р"с(5, (253) г др га — огРаничено и г1х — + !йп) — ~ 0 'х дг при г — э-со, причем эти условия должны быть выполнены при любом выборе начала радиусов-векторов г и равномерно относительно направления этих радиусов-векторов.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями. Через 0(г") мы будем обозначать такую величину х, что отношение х: г" остается ограниченным при г-~-ор, и через о(гр) мы будем причем под знаком интеграла надо положить г = р. Естественно потребовать, чтобы последнее выражение стремилось к нулю при р — ср (отсутствие источника колсбанпя на бесконечности). Элемент площади поверхности сферы содержит множитель р', и указанное выше условие будет выполнено, если мы подчиним и двум требованиям; пва гл и пгвделш!ые задачи обозначать такую величину х, что отношение к !»'-!.О прн »- оо, причем это должно иметь место равномерно относительно направления радиуса-веитора» и независимо от выбора его на.
чала. Предыдущие условия могут быть записаны в виде о= 0(» '); (254) —,+!во= (» '). (255) В плоском случае основным решением, удовлетворяющим принципу излучения, будет решение НТ(я»), где Н!ап(я) — вто рая функция Ханкеля. Чтобы проверить это, достаточно воспользоваться асимптотическим выражением функций Ханкеля и формулой д На" (г) = — Н'!" (г). (260) Эти условия и представляют собою математическую форму- лировку принципа излучения в трехмерном случае.
Совершенно аналогично в двумерном случае условия имеют вид !х о=О(» 'Л (256) ! ~ "+ !йо =. (»--.~. (257) Основным сингулярным решением, удовлетворяющим прин« цнпу излучения, будет в трехмерном случае решение: е о (Р)= — „ (258) где » — расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированнной точки 0 до переменной точки Р. Дифференцируя решение (258), по», убеждаемся, что оно удовлетворяет условию, более силь. ному, чем условие (255), а именно вместо о(»-!) справа будет стоять 0(»-т). При этом мы считаем, что в формуле (255) рас. стояния отсчитываются от той же точки О.
Проверим теперь формулы (254) н (255), считая, что расстояния отсчитываются от другой точки О!, и обозначим О!Р = р. Ограниченность ро непосредственно вытекает из того, что р:»- 1. Формула (255) проверяется простым дифференцированием решения (258)- по р через посредство». При этом мы имеем д» вЂ” = сову, ар где у — угол между направлениями» и р; применяя формулу для квадрата стороны 00! в треугольнике 00!Р, мы получаем сову=1+ 0(» в). (259) ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ звз При этом условие (257) будет выполнено в усиленной форме, ! ~ з~ а именно справа вместо о(» г) будет стоять 0(» ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
