1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Внутри О, она имеет везде, кроме Я, непрерывные производные. Применим теперь формулу Б "-""=аз- и!. г 3 к фу!'кциям м = 6(Р; (,)!) и и = 6(Р; (')т), выбирая за область интегрирования 0', область Р, с исключением двух сфер с цен- трами в точках 6! и ()т и с малым радиусом в. Такое применение возможно в силу вышесказанного. Тройной интеграл по этой области обратится в нуль, так как функции Грина вне полюсов удовлетворяют уравнению Лапласа Интеграл по 5 обратится в нуль, в силу предельного условия (все равно какого), и, таким образом, мы придем к равенству 0~6(Р,(),) — 6(р,а) 1(5+1( ! (5 — О, 81 з| где 5! и 5з — поверхности вышеупомянутых сфер.
В точке (;)з функция 6(Р; Я,) никаких особенностей не имеет, а функция 1 6(Р; (;)з) обращается в точке (,)т в бесконечность порядка — . г 1 Принимая во внимание, что произведение — на площадь пое верхности сферы «ле' стремится к нулю при в-ьО, мы видим, что единственными членами в написанной формуле, которые не будут стремиться к нулю при е-+-О, будут те члены, которые содержат нормальную производную от 6(Р; (;),) в окрестности той точки, где 6 =+по. Таких членов будет два, и мы получим, выписав их явно, сумму: 1 1 д— се с!в — „(!~ 6(Р; (;)!) а с(5 — 4„1~6(Р; Яз) с(5+ т) =О, гм ГЛ Ц ПРЕЛЕЛЬНЫС ЗАДЛЧН П22 зтг где 2)- 0 при е -« О, «! — расстояние переменной точки Р до (,!! и «2 — расстоянне переменной точки Р до (,!2.
В формуле Грина мы имеем внешнюю норл!аль, следовательно, в последних формулах нормаль должна быть направленной внутрь сфер, т. е. противоположно радиусу, н мы имеем — 6 (Р, 1,!! ) 2(5 — —, ~ ~ 6 (Р, Я2) 1!Ь -1- т! — О. !Г ! Применяя к ннтегралам теорему о среднем, можем написать: 6 (Р2! ф) — 6 (Р!'! Я2) + 21 =О, что и доказывает симметричность функцяи Грина.
Из этого равенства следует, что й(Р, Я) непрерывна по (Р, (!) в б,Х 6, ва исключением множества, где Р = Я ~ 5. Для сферы функция Грина имеет ввд [П! 208) '© 4л 2,«рг )' 1 ! Р Р21 (2СЛ где р — расстояние точки Я от центра, «! — расстояние точки Р до точки Я', симметричной с 1;! относительно сферы, н )с — ра- диус сферы.
Обозначая через (х, у, г) и (й, 2), «) координаты то чек Р и 1,1, можем написать: г = ч/(х $)2+ (у Ч)2+ (г 02; р = /$2+ Ч2+ 12! «, =- ~(~(х — —,) + (у — — ч) + (г — —,) . Дифференцируя формулу (203), например, по х н учитывая,что ! — — '! (! н Р ((1, получим оценку Принимая во внимание, что для точек Р и Я, находящихся внутри сферы, г, ) « н 6(Р; Я) ) О, получим ~ дц (Р,22) ~ ! (204) где Р, — некоторая точка на 5, и Р, — па 5!.
Переходя к пределу при а-«0, мы получим 6 %2 а1) 6 ( )1 22) !24! а!ценив геши в слячхс плоскости зтз Аналогичные оценки получаются н для других частных производных. Пусть и(М) есть решение внутренней задачи Дирихле для области 0„ограниченпон поверхностью 5, с предельными значениями 1(А!). Если нам известно, что и(МР имеет правильную нормальную производную, то мы можем применить к и(Р) формулу (91), полагая о = д(Р; Я).
Прн этом мы получаем (ср. [П; 208! ) (205) А . М Ляпунов доказал, что эта формула дает решение задачи Дирихле при любом выборе непрерывной функции 1(Аг), входя. щей в предельное условие Ему же принадлежит и первое строгое доказательство симметричности функции Грина. Этн резуль. таты, а также результаты, относящиеся к теории потенциала, о которых мы говорили выше, содержатся в работе А.
М. Л я и унова «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле» (1898 г.), о которой мы уже упоминали 124. Функция Грина в случае плоскости. Рассмотрение функции Грина па плоскости представляет некоторые особенности по сравнению со случаем пространства. Мы будем рассматрн. вать функцию Грина для ограниченной области В, с контуром 1 при предельном условии (!89) на 1.
Определим, как и в [1231, функцию о (Р) на плоскости: в(Р) = д(Р; Я) внутри 1, (206) — — !к — вне 1. 2я г Построим, как это мы делали в [123], потенциал простого слоя: п4(Р) ~ м (з) 1К 41з (207) где г' есть расстояние от Р до переменной точки У на 1. Предельные значения его нормальной производной на 1 со стороны В, равны [(М) ' 18 ' 'м ' и М~1 (208) 2л дгг г 2яг где г — направление М41 н п — направление нормали к 1 в точке М, внешней по отношению к замкнутому контуру 1.
Составим теперь гармоническую в В, функцию пг(Р)= ~ р(з)!д —,г(з+ — )я — ~ ), (209) г г=)РЯ! ~ Я внутри 1г зта Гл. и. ПРвделъные злдлчи имеющую правильную нормальную производную на 1, равную нулю. Проведем внутри В, какой-либо замкнутый обходящий вокруг 1 контур 1', и применим формулу Грина при и = ш(Р) и о=1 к области, ограниченной 1 и ('. Мы имеем дв (Р) ! дв (Р) причем в обоих случаях а — есть внешняя нормаль по отношедв (Р) нию к замкнутому контуру. Отсюда, в силу того, что 0 на В сЭв (Р) дл (210) Но ~ ~ ~ ( (, дх ) + ( да ) 1 ~ Х дл )с из которой следует, что ш(Р) = 0 в В„т.
е. ! ! ! (х (з) 1п —, с(з = — — ! и — в В,. дв (Р) 1 ( ) ссл (с", л) ! с05 (г, л) дл 3' из,' сЬ г' алг ! где ! есть направление Рсэс, а г — направление РЯ. Интегрируя по 1; меняя порядок интегрирования 11Чс! 161 и принимая во внимание, что точки Я и )!( находятся внутри !', получим, в силу (83), 2п ~ )! (з) с(а + 1 = О. Мы можем теперь переписать (209) в виде се(Р) = ~ )!(а)!8 —,с(з (г=! РЯ 1; г' =! Р(с( 1, !)( ен 1). (211) ! г При беспредельном удалении точки Р отношение —, равно- Г' иссрно стремится к единице, т.
е. прп лсобом заданном положи. тельном а существует такое положительное число М, что ! г 1 — —, ~е при любом положении Дс на 1, если только г ) М. Таким образом, функция (211), гармоническая в В„имеет па 1 правильную нормальную производную, равную нулю, и стремится к нулю при беспредельном удалении точки Р. К такой функции применима формула зтз Функция ГРинА В случАР плоскости прн тех же обозначениях, что и в [123]. Это приводит к следую- щим оценкам: за(Р;0! [ ! ]до(Р;0) 1 [( .
! ' 1( (213) Для решения задачи Дирихле в В, имеет место формула, знало. гичная (205). Функция Грина оператора Лапласа для плоской односвяз. ной области при предельном условии (189) тесно связана с функцией, совершающей конформное преобразование упомянутой об ласти на кРУг [ш[( 1 [П1з, 37]. ПУсть  — односвЯзнаа област~ с контуром ! и »а — †+ и — некоторая внутренняя точка этоГ области. Пусть, далее, ш =!"(») — функция, совершающая кон формное преобразование В на единичный круг, причем [(»э) = 0 т.
е. точка» = », переходит в центр упомянутого круга. При не которых условиях гладкости контура [(») непрерывна аплот| до окружности [»[= 1 и преобразует ее в контур 1. Нз однолистности преобразования вытекает, что [(») имев~ в точке» = », простой корень: 7" (») = (» — »о) [ао + п1(» — »о) + ° ° ° ] (по ть О). (214) Образуем функцию (.' у" 5' 11) 2к ! (215 Нетрудно проверить, что это и будет функция Грина для обла сти В с полюсом ($, т1).
Действительно, !д[[(») ~ представляе собою вещественную часть 13[(») и, следовательно, удовлетва ряет уравнению Лапласа. Согласно (214), бесконечная част функции (215) в тачке Я, т1) будет — !а ! ! и, наконег зл 1» — »0 ! контур ! области В переходит в окружность единичного круга т. е. [!(») [= 1 на 'контуре 1, а функция (215) при этом обращается в нуль. Отсюда, как и в [123], непосредственно следует, что потенциал простого слоя (207) совпадает с функцией п(Р), определенной равенством (206), на всей плоскости, и можно утверждать, что д(Р; Я) имеет на ! правильную нормальную производную. Далее, как и в [123], можно утверждать, что д(Р; Я) имеет в В, непрерывные производные первого порядка вплоть до й Доказательство симметричности 6(Р; Я) проводится совершенно так же, как и в [!23]. Для круга радиуса )с функция Грина имеет вид О(Р; Я)= — !3 ~ ', 2а Ф ГЛ !! ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ н24 зуб (217) Обозначим через Н(х, у; й, т)) функцию, гармонически со.
пряженную с (216). Мы имеем а+ Н-- —,'„~а)(.), (216) и, следовательно, можем выразить 1(2) через функцию Грина и сопряженную с ней функцию: ~(г) = а ач(о+но Функция Н определена с точностью до постоянного слагаемого, и тем самым в правой части последней формулы мы имеем про- извольный постоянный множитель, по модулю равный единице, что соответствует .произвольному повороту единичного круга [и) ~ ( 1 вокруг начала.
Положим, что контур ! области В обладает следующим свойством: угол 0(з), образованный насательиой к ! с каким-либо фиксированным направле. наем, как функция длины дуги з, удовлетворяет условию Липшица [8(за) — 8 (з() [ < Ь [зз — з)[Р где Ь я р — положительные постоянные. доказывается, что при этом произ- волная Г(2) непрерывна вплоть до (, и существуют такие две положительные постоянные щ и М, что ш ~ [ Г (2) [ ~ М. (218) Эти постоянные зависят, конечно, от выбора той точки гд, которая переходит в начало координат на плоскости ю.
Зафиксируем эту точку гд и будем те. перь строить общее нонформное преобразование В на круг [ы[ < 1 при усло- вии, что в начало координат переходит какая-либо точка г', лежа(цая вну. трн В. Для этого надо совершить сначала конформное преобразование ю = 1(г), а затем преобразовать круг [ю[ ( ! в себя так, чтобы точка [(»') перешла в начало координат. Это последнее преобразование есть дробно-ли- нейное преобразование, и окончательно мы получаем, отбрасывая постоянный множитель с модулем, равным единице, — 2пп (г; г') Не~!д ! (г) — ! (г') 1 1 — [ (2) [ (2') 3 где, как всегда, Не — знак вещественной части и 6(г; г') — функция Грина области В с полюсом в точке г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
