1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 75
Текст из файла (страница 75)
При этом поведение функции 0(Р; О) неясно. Проведем строгое доказательство того, что функция (222) удовлетворяет условию (221) в любой точке А)е еп 5. Пусть О,'-— часть области О„находящаяся впе сферы с центром А(е и радиусом !(!, и О' — часть О!, находящаяся внутри этой сферы. Если задано положительное число е, то, принимая во внимание оценку (196), мы можем взять е(! настолько малым, чтобы интеграл, входящий в формулу (222) и взятый по О, был по е абсолютной величине меньше — при любом положении точки Р 2 внутри упомянутой сферы.
При интегрировании по О!! точка Я принадлежит О;, а точку Р мы считаем находящейся в малой окрестности точки А!е, например, внутри сферы с центром А)е и радиусом —. При.этом расстояние (РЯ) больше —, и из (1221 е'! следуег, что О(Р; Я) — непрерывная функция пары точек (Р; Я). 12б] фтнкция гишх и наодпогоднов угхвне>~ие зш Таким образом, в интеграле по 1>! мы можем переходить к пределу по Р при Р-э й!м и этот предел равен нулю, ибо 6(Р; Я) удовлетворяет условию (221). Таким образом, интеграл по Р(будет по абсолютной величине меньше —, если Р доста.
2 ' точно близко к >Ум а следовательно, и весь ингеграл, входящий а формулу (222), будет по абсолютной величине меньше е, если Р достаточно близко к >то. Отсюда, ввиду произвольности е, и следует, что этот интеграл удовлетворяет условию (22!), Таким образом, наше утверждение о том, что формула (222) дает ре. шение уравнения (220), удовлетворяющее условию (221), пол* костью доказано. 3 а м е ч а н и е 1, Прн доказательстве существования непрерывных производных второго порядка у объемного потенциала н формулы Пуассона достаточно предположить, что его плотность удовлетворяет в В> условию Липшица — вместо существования непрерывных производных первого порядка (см., напри.
мер Г ю н т е р Н. М. Теория потенциала... — Париж, 1934). Таким образом, наше утверждение о том, что формула (222) дает решение задачи (220), (221), справедливо, если ф(Р) удовле. творяет условию Липшица: ~ф(Р) — (р(Р,)~ч Ь.в, (г, =/Р,Р,~). (227) Если ~р(Р) только непрерывна в замкнутой области 1>„то мы уже не можем утверждать, что первое слагаемое правой части формулы (224) имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению (220). Но остается в силе доказательство того, что второе 'счагаемое упомянутой формулы есть гармоническая внутри Р, функция и что и(М), определяемая формулой (222), удовлетворяет условию (22!).
Принимая во внимание, что объемный потенциал с непрерывной плотностью является обоб>ценным решением уравнения (220) (62), мы можем утверждать, что формула (222) прн непрерывности <р(Р) в замкнутой области О> дает обобщенное решение уравнения (220), удовлетворяющее условию (221). Покажем, что такое решение единственно.
Положим, что су. шествуют два непрерывных обобщенных решения и,(М) и из(М) уравнения (220), удовлетворяющих условию (221). Мы имеем ~ ~ ~ и~ йо дт = — ~ ~ ~ <ро с(т; в, и, ~~~ избо й = — ~~~ Ч>пИт, о, О, где а — любая функция с непрерывными производиымн до вто. рого порядка,в )>„равная нулю во всех точках, достаточно пм гл и пгедгльныв зхдлчн близких к 5.
Вычитая почлснно, получим ~ ~ ~ (и, — и ~) Лп сН = О, э откуда следует, что (иэ — и,) — гармоническая внутри О, функция [62]. Из того, что (иэ — и,) — непрерывна вплоть до 5 и равна нулю на 5, следует, что иэ тождественна с и, в О,. Таким образом, прн любой непрерывной функции гр(Р) формула (222) дает единственное обобгцснное решение уравнения (220), удовлстворяющее условию (221).
Это решение имеет в Р, непрерывные производные первого порядка [П; 210]. 3 а м е ч а н и е 2, Полоигнм, что нам дана Функция и(Р), непрерывная в замкнутой области П„удовлстворяющая условшо (221) и имеющая внутри Р, непрерывные пропзводаыс до второго порядка, такие, что оператор Лапласа Лм(Р) непрерывен вплоть до 5. Подставляя эту функцию в левую часть уравнения (220), мы получим функцию <р(Р) — непрерывную в замкнутой области ьэ,. Функция п(Р) является, очевидно, как обычным, так и обобшеипым решением уравнения (220), удовлетворяюпгнм условию (22!), а потому эта функция и(Р) должна выражаться формулой (222) через ~р(Р). Все сказанное переносится и на двумерный случай, когда уравнение (220) имеет вид Ли(х, д)= — ср(х, у). (228) 127.
Собственные значения и собственные функции. Доказанное выше основное свойство функции Грина в отношении неоднородного уравнения (220) лежит в основе применения функции Грина к решению предельной задачи для уравнения Ло + Хо = — 0 (внутри 13,), (231) при предельном условии и [э=О, (232) а это связано с решением предельных задач для волнового урав- нения и уравнения теплопроводности, о чем будет подробнее сказано позже.
Его решение в области В с контуром 1, удовлетворяюшее предельному условию и [~ = О, (223) дается формулой и (х, у) = ~ ~ 6 (х, д; $, т!) ~р (:-, т)) Н", Ыг). (230) зм! совствснпыв зпАчепия и совственные Функции ззз в(Р) = Х ~~~ 6(Р; !'„1) в Я) ~(т (233) с симметричным ядром. Ядро этого уравнения обращается в бесконечность при совпадении Р и 1;1, но к нему применима вся теория из [!Чи 17] ибо, в силу (!9б), полярность ядра имеет 1 порядок —: Г р, © к(Р;е Г (234) где К(Р; Я) — ограниченная функция. Представим уравнение (233) в виде в (Р) = 4 ~ ~ ~ и (9) пт + А ~ ~ ~ ц (Р; Я) о (Я) ит (г = ] РЯ ]). (235) Если и(Р) есть непрерывное рсшение этого уравнения, то первое слагаемое правой части имеет, как потенциал масс, распределенных по В, с непрерывной плотностью, непрерывные первые производные внутри В„а второе слагаемое правой части имеет внутри В„как мы видели выше, непрерывные производные любого порядка, и, следовательно, г(Р) имеет непрерывные производные первого порядка внутри В,.
Но при этом, как мы знаем [11; 211], первое слагаемое правой части имеет внутри непрерывные производные до второго порядка. Тем самым, в силу сказанного выше, и и(Р) имеет непрерывные производные второго порядка. Применяя к обеим частям (235) оператор Л, убедимся, что Ло = — Хш Предельное условие (232) тоже удовлетворяется, как это мы видели в [126].
Наоборот, из (231) н (232), как мы видели в [126], следует уравнение (233). Таким образом, мы показали равносильность уравнения (231) с предельным условием (232) интегральному уравнению (233). Для ядра этого интегрального уравнения мы имеем (234), откуда непосредственно следует неравенство (236) где С вЂ” некоторая постоянная.
Перенося Хи направо, мы докажем, как и в [75], что поставленная задача (231), (232) равносильна интегральному урав- нению тл и пРедельные зАдАчи Пусть 7» и о»(Р) — собственные значения и собственные функции уравнения (233) или, что то же, задачи (23!), (232): йо» + 7»»о» = 0 (внутри )3,); (2371) о» (з = О. (237») Можно считать, что о»(Р) образуют в О, ортогональную норми- рованную систему; Пусть функция ь»(Р) и ее производные до второго порядка не- прерывны в О, вплоть до 5, и пусть эта функция удовлетворяет условию (232).
Мы можем представить ее в виде [126) гь(Р)= — ~~~ В(Р; Я)йгьЯ)йт, (239) о, и, применяя основную теорему разложения из [!Уй 31), мы можем утверждать, что а(Р) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям: ь»(Р) — ~„, с о (Р), (240) »-1 причем этот ряд регулярно сходится в замкнутой области б,. Коэффициенты определяются обычным образом: с =111 (Р)о (Р)йт. (241) )) ~ »ь'(Р)йт= ~ сз». о, »-! (242) Таким образом, мы имеем.
Теорема Всякая функция ь»(Р) непрерывная, с непрерывными производными до второго порядка в замкнутой области Д, и удовлетворяющая условию (232), разлагается в ряд Фурье по собственным функциям о»(Р), регулярно сходящийся в замкнутой области О, Дальше мы покажем, что число собственных значений Х» бесконечно Мы это использовали при записи ряда (240). Из равномерной сходимости ряда (240) следует, что если ы(Р) удовлетворяет указанным в теореме условиям, то имеет место уравнение замкнутости.
мп совственные знАчения и совственные Функции 385 В дальнейшем мы докажем, что зто уравнение справедливо и для любой непрерывной в замкнутой области Й функции. Нетрудно показать, что если ряд Фурье СЮ а»п»(Р) » 3 (243) некоторой непрерывной в замкнутой области Р, функции в1(Р) равномерно сходится в .О„то его сумма равна в|(Р). Обозначая через в»(Р) сумму ряда (243), рассмотрим функцию в,(Р)— — в1(Р), непрерывную в Р, и ортогональную ко всем собственным функциям п»(Р).
Тем самым она ортогональна и к ядру, т. е ~~~ Р(Р; Я)[вз(Я) — в~(Я)]НЕ=О (Р в Р,). О» Отсюда видно, что обобщенное решение уравнения Ли(Р) в~(Р) — вз(Р) ззз ] (Р) ф (Р)] ( л» при условии (232) есть и(Р) ям О, и, следовательно,в»(Р) совпадает с в1(Р). Из последних рассуждений непосредственно следует, что ядро 6(Р, О) — полное ядро (ср. ]77]), н тем самым имеется бесчисленное множество собственных значений ),» ]!УН 42] Покажем теперь, что уравнение замкнутости (242) имеет место для любой непрерывной в Р, функции в(Р). Такая функция обязательно ограничена, т е существует такое положительное число М, что ]в(Р) ] ~ М.
Пусть е — заданное положительное число. Выберем замкнутую область Р], лежащую внутри Р„ так, чтобы объем(Р» — Р;) был меньше — „, Проведем внутри (Р, — Р;) замкнутую поверхность 5', содержащую Р] внутри себя, и определим функцию ф(Р) так, чтобы она была равна в(Р) в замкнутой области Р] и равна нулю иа 5' и вне 5'. Эту функцию можно распространить на все пространство так, что она будет непрерывной и будет удовлетворить неравенству ]ф(Р)] ~ М ]бй]. Пусть ф,(Р) — средние функции для ф(Р).
Они имею~ производные всех порядков, при всех достаточно больших значениях и, равны иул|о на поверхности 5 и удовлетворяют неравенству ]ф»(Р)] ( М. Функции ф„(Р) равномерно в Р] стремятся к в(Р), н мы можем фиксировать настолько большое и, чтобы иметь зза гл 11 пгедгльныв 44лАчи Для функций ср.(Р) мы имеем, в силу сказанного выше, уран пенне замкнутости, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
