1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Дифференцируя по х, где за х можно при. нять любое направление, получим дв (; 2') 1" Г (г) 1(»') Г (г) 1 дх [ ! (г) — ! (г') 1 — ! (») ! (» ) .3 не (2) [1 — ! ! (2 ) и [1(2) ! (2 )![ 1 ! (2) ! (2 )1 у -или, заменяя вещественную часть модулем, ды(2;2) / [Г(г)[[1 — ![(2)! 2п 2 ~ ' 1( дх ! ! [(г! — 1(2') [11 — [(2) !(г') ! и, прннимая во внимание, что [!(») [( 1 и [1(»') [ ( 1, получим дп(юг') [ [Г(»)[1! — [((г')!'! 2[Г(г)! 2я ~ ' [[ (,, <, . (218!) д 1 (/(*) — ) ( '15 (' — 5/(*') 51 )Ц*) /( ')( ' 377 ПРИМЕРЫ Пусть г = 9(ю) — функция, обратная функции ю = [(г), Она определена 1 в круге [ы! ( 1.
Из (218) следует, что ! 9' (ю) ! ( —, и мы получаем ш' 1 ]9( ) — 9(ш')1= ~ гр'(т) т~< — ! ю — ш'], ! дб(г; г') ! 2М М дг (~ 2кгл(г — г'! ппи ' (219) где г — расстояние точек г и г', Таким образом, при сделанном относительно контура ! предположении, мы получаем оценку производной функции Гриба по любому направлению, зависящую только от расстояния г. Если область  — многосвяэна, н каждый из ограничивающих ее замкну тых контуров удовлетворяет указанному выше условию, то можно и в этом случае получить оценку вида (219).
Указанное выше доказательство оценки (219], а также и доказательство для многосвязной области, которое я нв привожу, было мне сообщено Г. М. Галузиным. 123. Примеры. Обратимся теперь к примерам построения функции Грива и начнем с построения этой функции для круга ]г! ( 1. Мы имели раньше функцию, преобразующую этот круг в себя, при условии, что некоторая точка а = с + т)1, находящаяся внутри круга, переходит в начало.
Эту функцию можно записать в виде [11!з! 33] с~в г — а Ю= —. а г — а' где а — комплексное число, сопряженное с а, и а' — точка, симметричная г сс относительно окружности, т. е, а' а-'. Обозначая через гг и гз расстоя. ння переменной точки г' до точек а и а', получим непосредственно следующее выражение функции Грина для круга; 1 ]а!в г — а! 1 г, 1 О (г а) — — 19 ~ = —, ! = — — 19 — + — !9 цг ьз + Пз.
2п ! а г — а' ! 2а гз 2п Положим теперь, что область В есть прямоугольник с вершинами (О, О), (О, и), (о, Ь), (О, Ы. Полагая ыг 2а н ыз 2И, строим функцию Вейер. штрасса п(г; ыь ыз). Мы виделн, что фуикцг~я, преобразующая наш прямоугольник в единичный круг так, что точка г = $ + т)1 переходит в начало, имеет вид [1!1зг !89] [(г) = е о (г — % — яО о (г + 1, + яО о (г я+ т)1)а (г+ ь П/) Таким образом, мы имеем следующее выражение ф у н к ц и н Г р и н а д л я прямоугольника: О (г а) = — — 19 ! ! а (г — е — т)1) а (г+ 1+ пг) 2л ! а(г — $+т)1)а(г+3 — з1!) ~ Теория функций комплексного переменного может быть применена и при построении функций Грина для многосвязной области, причем мы, как н выше, ограничиваемся предельным условием (189) на 1.
Пусть В, например,— дятсвязная область, ограниченная внешним контуром 1~ н внутренним 1ь и пусть С(г;а) — функция Грина этой области. Строим функцию Н(г;а), гар- причем указанное интегрирование л1ожно производать по прямолинейному от. -резку, Последнее неравенство дает ([(г) — [(г) ]> т]г — г'], и, принимая во внимание (218г), получаем, в силу последнего неравенства 378 ГЛ В ППКДНЛЬЫЫВ ЗЛДХЧЫ цза монически сопряженную с С(г,а), и функцию комплексного псрсмснно о г((з) = 6(з; се) + Н(з, а)'. В точке г = а, которая является полюсом функции Грива, функция ф(г) будет иметь логарифмическую особенность, а именво, в окрсстногю стой точки оиа может быть представлена в виде с!ммы 1 — — )ь (з — а) и слагаемого, регулярного в этой точке. Но, кроме того, 2п при обходе го замкнутому контуру вокруг Ь функция ф(а) будет приобретать нсьог*рое чисто мнимое слагаемое уй а функция [(з) =е '~ ' будет приобретать множитель е "тг, по модулю равный единице.
Кроме того, эта зят! последняя функция будет иметь в точке з = сг простоя корень, а на контурах 1~ н !з се модуль будет равняться единице, так как на этих контурах Функция 1'рина 6(г; сг) обращается в пуль. Таким образом, постролшс функции Грина сводится к построению такой аналитнчсской функции )(г), которая имеет внутри многосвязной области В одиозна шый модуль, равпыц е;цп.нце на контуре области, н точку г = а имеет единственным простым корнем. В качестве примера рассмотрим случай кольца, ограниченного двумя конпснтрнчсскими окружностями.
Примем центр этих окружностей за начало и будем считать, что радиусы этих окружностей равны, Ь вЂ” Ыз и Ьцз, где 0( й ( 1 Этого всегда можно достигнуть при помощи подходящим образом выбранного преобразования подобия. Введем вместо з новую переменную е по формуле а=есле и рассмотрим наряду с Л чисто мнимое число т = сг (г > О), определенное формулой й = еятг. упомянутому выше кольцу с соответствусг на плоскости о часть полосы, образованной прямыми у = ж —, 2' параллельными вещественной оси, и ограниченной двумя прямыми, параллельными мнимой оси, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном двум Функция ((г) как функция от в должна быть аналитической функцией во всей упомянутой волосе.
Переход от и к (о + 2) равносилен обходу во. круг начала в кольце, и при этом [(з) должна приобретать множитель, по с модулю равный единице. На границах у= щ — полосы должно быть пы- 2 полцено условие [[(з) [ = 1, и если г = а есть полюс функции Грина в плосности з, то фуикпия [(з) как функция от о должна иметь простые корни в.точках (), опредсляемых равенством а=с"йг. Этими точками и должны исчерпываться все корни ](г) внутри полосы. Мы можем счнтать сг вещеетвснным положительным числом. Этого всегда можно достигнуть простым поворо. том кольца вокруг начала Нетрудно проверить, что функция будет удовлетворять всем поставленным выше условиям.
В написанной Формуле Ое(о) и О,(о) суть функции, определенные нами в [1Пзг 177], и буквой !) мы обозначили для определенности чисто мнимое решение уравнения а = е"йц для проверки всех свойств функции [(з) нам надо использо. вать таблицы (109) и (!10) из [Шз! 176], а также тот факт, что при вещественных Ь функции Оь(о) имеют мнимые сопряженные значения для мнимых сопряженных значений о. Имея функцию [(г), мы получим функцию Грйна по формуле 1 6 (г; а) = — — !ц ! 1(з) !.
2п 1тя етнкцтш ггинх и нсодноеоднов хгхвнспнв зтз 126. Функция Грина и неоднородное уравнение. Рассмотрим неоднородное уравнение (220) в области Оь ограниченной поверхностью 5. Мы считаем, что ф(Р) непрерывна в От вплоть до 5 и имеет внутри О, непрерывные производные первого порядка. Ищем решение (220), непрерывное вплоть до 5 и удовлетворя!ощее предельному условию и [з = О. (221) и (Р) =. ~ ~ ~ 0 ( Р; !)) ф (т3) т(тш о, нли иначе: и (х, у, г) = ~ ~ ~ 0(х, у, г; ~, т1, ~) ф("„т1, ~) т(~т(т(д~. (223[ (222) о, В силу (192) можем написать: и(Р) =- — ~~~ ф(Я) — т(т+ ~~~ у(Р; Я)фД)г(т.
1 (224) с Первое слагаемое имеет внутри О, непрерывные производные до второго порядка, и оператор Лапласа от него равен [ — ф(Р)[ [11; 2!1[. Покажем, что второе слагаемое можно дпфференшы ровать по координатам (х, у, г) точки Р сколько угодно раз под знаком интеграла.
Отсюда будет следовать, что оно представляет собою гармрннческую внутри О, фупкцшо, нбо у(Р; Я)-- гармоническая функция точки Р. Сделаем сначала одно заме чание. Пусть предельные значения ((Ч; а) гармонической функ. ции зависят от параметра а. Прп этом и сама гармоническая функция и(Р; а) зависит ог а. Если прп а -~а, мы нмссм [ Р' о) 1()У; ао) равномерно на 5, то и(Р; а) — т и(Р; а0) равномерно в замкнутой области О, [103[. Так как у(Р, О) = д((т, Р), то функция у(Р; Я) есть гармо. ническая функция точки Я(С, т1, й) [122] с предельными значе. ! пнями ( — — „)),' где г'=Хl(х — д'+(у — т!в)т+(г — ~')', а 1,т" (й', т!', ~е) т:-5.
Мы считаем, что Р находится внутри Оь Такое решение может быть только одно. Это непосредственно следует пз того, что разность двух решений уравнения' (220) при условии (22!) должна удовлетворять уравнению Лапласа и условию (22!), т. е. должна равняться тождественно нулю. Покажем, что искомое Реитение имеет вид (!Ед ГЛ !1 ПРЕДЕЛЫ!ЫЕ ЗАДАЧИ зво Функция я (х+ ьх, ю 2; $, и, ь) — е (х, !/, 2! х, ч, ь) Лх есть гармоническая функция точки ($, х), ~) с предельными значениями ! 1 4а Лх ) З!(х + ах — й")е+ (Š— Че)~+ (х — ь") (226) 1 .
~(» йо)! 1 ( а)! 1 (е (е)е ~' При Лх- О эти предельные значения равномерно на 5 стре. мятся к (226) и отсюда непосредственно вытекает, что отношение (225) равномерно по (а, ть г)ен О! стремится к гармонической функции точки ($, пь с) с предельными значениями (226). Аналогичные рассуждения применимы и для других производных до любого порядка. Таким образом, функция й(Р; О) имеет непрерывные производные всех порядков по координатам точки Р, когда Р О» а О ~ К.
Отсюда и вытекает непосредственно возмон!ность дифференцировать второе слагаемое формулы (224) по (х, у, е) под знаком интеграла. Остается доказать, что функция и(М), определяемая форму. лой (222), удовлетворяет предельному условию (221). По существу это вытекает из того, что 6(Р; О), как функция от Р, удовлетворяет этому условию. Недостаточность такого рассуждения заключается в том, что прп интегрировании точка (",) может быть сколь угодно близкой к 5, а с другой стороны, и точка Р при проверке условия (22!) должна стремиться к 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
