1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 69
Текст из файла (страница 69)
М. Голузину (Матем. сб,, 1934, 41, № 2). Оно неприменимо в плоском случае, как в этом нетрудно убедиться, задавая постоянные значения нй отдельных замкнутых контурах 1». 117. Суб- и супергармонические функции. При решении задачи Дирихле методом интегральных уравнений были существенны сравнительно тяжелые ограничения, которые приходилось накладывать иа границу области. Мы изложим другой метод решения задачи Дирнхле, годный при весьма общих предположениях о границе области и предельных значениях на этой границе. Его часто называют «методом выметания». Он был предложен Пуанкаре, затем уточнен Перроном (Р е г г о п.
Е!пе пене Вейапб!Ипд бег егз(еп Яапдтуег1ац18аЬе Гйг Ли= — О. — Ма()з. Е., 1923, 18, Я. 42 — 54; см, также статью И. Г. Петровского: Метод Перрона решения задачи Дирпхле. — УМН,»!941, 8 н его книгу по уравнениям с частными производными) и Валле— Пуссеном, В настоящем параграфе мы изложим некоторые новые понятия, которые окажутся нам полезными при проведении упомянутого метода.
Этн новые понятия представляют и общий интерес в математической фпзпкс. Все изложение мы будем проводить для случая плоскости. В трехмерном пространстве они буквально такие же. Разница в исследовании предельных значений гармонической функции, которая строится по упомянутому методу, указана в конце изложения метода. Для функции одной независимой переменной у(х) аналогом уравнения Лапласа является уравнение у"(х) = О, и его общий интеграл есть полнном первой степени; у = ах + Ь, а его график в прямая. Задача Днрихле, т.
е. задача определения решения уравнения у"(х) = О внутри промежутка [а, Ь] при заданных значениях на . концах промежутка, сводится просто к проведению прямой через две заданные точки. Характерным для полинома первой степени является тот факт, что его значение пп гл и пгедельныя злдлчи з54 в какой-либо точке х = хо является средним арифметическим его значений в точках х = хо+ и н х= хо — /ц равноотстоящих от х = хо Рассмотрим теперь непрерывную линию, обращенную вогнутостью в сторону положительных ординат.
Пусть у= =у(х) — ее уравнение. В точках этой линии мы будем иметь У (хо) ( ~ (У (хо + /г) -Г У (хо — и) !. 1 Совершенно аналогично, если линия обращена выпуклостью в сторону положительных ординат, то У (хо) ) з (У(хо+ /г) + У(хо — й)!. ! (17! о) Неравенство (171,) непосредственно вытекает пз того факта, что в рассматриваемом случае каждый участок кривой находится под своей хордой. Введем соответствующие классы функций и в случае нескольких переменных.
Пусть /(й!) — функция, непрерывная внутри плоской области В. Мы назовем ее субгармонической внутри В, если для всякой точки Р, находяи!ейся внутри В, сугцествует такое положительное число б, что /(Р) не превосходит среднего значения /(Л!) на окружности с центром Р и любым радиусом р ( б Если ввести координаты (х, у) точки Р, то высказанное условие запишется в виде ~ (х, у) ~( — ~ /(х+ р соз ~, у + р з1п ~р) с/у (р < б). (1721) о Если функция /(М) — гармошш. скзя функция внутри В, то для всякой точки внутри В в фо!пауле (!721) имеет место знак равенства [11; 204), и таким образом гармоническая функция есть частный случай субгармонической функции.
Определение может быть непосредственно обобщена и на трехмерный случай, только окружности мы должны заменить сферами. Совершенно аналогично определяется супергармоническая функция Для нее вместо (!72,) мы должны иметь во всякой внутренней точке области В: / (х, у) ) — ~ / (х + р соз ф, д + р яп ~р) йр. (! 72о) 1 о Гармоническая функция есть частный случай и супергармонической функции. Из определения непосредственно вытекает, что если /(М) есть субгармоническая функция и С вЂ” постоянная, то С/(М) будет субгармонической при С ) О и супергармоннческой при С (О.
Если же /(М) — супергармоническая, то С/(М) — супергармоническая при С ) 0 н субгармоническая при С( О. Кроме того, из данных нами определений вытекает, что скб. и Гупгргьгмопичес!'!!б Фу!$хп!!и 555 конечная сумма субгармонических функций есть субгармоничс- ская функция, и конечная сумма супергармонических функций есть супергармоническая функция. Положим, что 1(М) = 1(х, у) имеет внутри области В непре- рывные производные второго порядка и Л7 — —., + —, ) О (внутри В). др! д'1 (173 !) Применяя формулу Грина к кругу Кр с центром Р(х, у), лежа- щему внутри В, и полагая и =1 и в = 1, получим Ы"=П'" (174) с к где С, — окружность круга.Кр. Применим е!це к функции !' фор- мулу (11; 203) ! И., ) — —,„1(( —,— „- .— ) .+ — ЦЛ|1йг(в, ! ! д1яг д( 1 кр где г — расстояние от (х, у) до переменной точки интегрирова- ния.
На Ср направление л совпадает с направлением г, а с(з = = р!(гр, и, пользуясь (174), мы можем переписать предыдущую формулу в виде 2! 1(х, у) = — г! !(х+ р сов ц, у+ р з!п !р)а!<р + — )з! Л)!ц — с1о. о к, В друге К, мы имеем г: р (1, и. в силу (173!), последняя формула дает неравенство (172!), т. е. лри условии (173!) функ- ция !'(М) есть субгармоническая внутри В функция. Точно так же, если (173!) Л1- О (в В), то !(М) есть сулергармонпческая внутри В функция. В основном определении суб- и супсргармопической функций мы не предполагаем существования производных.
Условия (!73!) и (!73!) аналогичны известным условиям выпуклости и вогнутости кривой [1! 71). Выясним некоторые простые свойства суб- и супергармонических функций. Положим, что 1(М) непрерывна в замкнутой области и субгармоническая внутри области. При этом из (172!) непосредственно вытекает, что субгармоническая функция принимает наибольшее значение на контуре.
Больше того, она не может иметь внутри максимума, в окрестности которого она непостоянна. Точно так же сулергармоническая фунш1ия принимает наименьшее значение на контуре. ГЛ и ПРЕДЕЛЪИЫЕ ЗАДАЧИ 1ИЕ 118. Вспомогательные предложения. Мы докажем некоторые предложения о суб- и супергармонических функциях, которые нам будут нужны при решении задачи Дирихле. В дальнейшем через В мы, как всегда, будем обозначать ограниченную область В вместе с ее контуром, т. е. замкнутую область. Теор.ем а 1. Пусть !А(М) (й = 1, ..., тп) —.функции, непрерывньче в В и субгармонические внутри В. Построим функцию Ф(М), которая в каждой точке В равна наибольшему из значений 1А(М) (й = 1, ..., т): Ф(М) = — шах()1(М), ..., ?„(М)). (175~) При этом Ф(М) будет непрерывной в В и субгармонической внутри В. Т ео р е м а 1'.
Аналогично, если ?А(М) — супергармонические и Ф (М) = ш 1и ((1 (М), ..., ?' (М)!, то и Ф(М) — супергармоническая. Непрерывность Ф(М) в В непосредственно вытекает нз не. прерывности ?ь(М). Пусть (хь, у,) — некоторая точка внутри В, и пусть в этой точке ф(хь, уь) равно, например, 11(хь, уо) 11!ы имеем, в силу субгармоничностн (,(х, у), 1 Ф(хо Уг) =11(хо~ Уо) ~ <~ ~ 61(хь+ Рсоа Ф Уо+ Р з1п Ф)йФ о Но, в силу (1?51), на окружности, по которой производится интегрирование, Ф(М)) !1(М), а следовательно, и подавно 1 Ф(хы Уо)еч Е ~ Ф(хо+Рсоа% Уа+РЕ1ИФ)йФэ о что н дает субгармоничность Ф(М). Теорема 11.
Пусть 1(М) субгармоническая внутри В и непрерывная в В, К вЂ” круг, содержаи1ийся в В, и ик(М) — та гармоническая внутри К функция, значения которой на окружности круга К совпадают со значениями 1(М). Тогда ~ (М) (~ ик (М) (в К). (1761) Теор ем а !Г. Аналогично, если 1(М) — суяергармоническая функция, то ? (М) ) их (М) (в К). (1?бз) Выражение 1 — ик = !+( — ик) есть сумма субгармониче.
ской функции 1(М) и гармонической (т. е. тоже субгармониче. ской) функции ( — ик). Эначит 1- ик, есть субгармоиическая МЕТОД НИЖНИХ И ВЕРХНИХ ФУНКЦИЙ \ 12! внутри К функция, равная нулю на контуре, Следовательно, согласно сказанному в предыдущем параграфе, 1 — и» (0 внутри К, что и приводит к (!76~). Теорем а П1. Если при условиях теоремы П мы заменим значения 1(М) в круге К значениями и»(М) и обозначим новую функцию через 1»(М), то эта функция, непрерывная в В, будет субгармонической внутри В. Теорем а 11Г. Такое же построение для супергармонической функции даст супергармоническую функцию !»(М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
