1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 66
Текст из файла (страница 66)
воречию. Согласно предположению, мы имеем ~ ~ 1 ( () г(5 ~ 9» и можно подобрать таку!о постоянную С, отличную от нуля, что ~~ ()(й() — С) (5=9. 4!Е( РЕЗУЛЬТАТЫ, КАСАЮЩНЕСЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ Ззй В силу сказанного выше, мы можем построить решение иг(М) внутренней задачи Неймана с предельным условием в виде потенциала простого слоя с непрерывной плотностью, причем и, (М) — непрерывно вплоть до 5. Разность из(М) = и(М)— — и,(М) также непрерывна вплоть до 5 н удовлетворяет предельному условию ( дию (АГ) ) Изменяя, если это надо, знак у из(М), мы можем считать, что С ) О. Функция из(М) достигает на 5 своего наименьшего зна.
чення в некоторой точке А(а, а это находится в противоречии с тем, что при стремлении М к Агю по нормали 0 стремится к ди (М) положительной величине С. Таким образом, необходимость уело. вня (141) для разрешимости внутренней задачи Неймана вытекает нз непрерывности искомого решения вплоть до 5. Выше мы указалн свойства производных решения задачи Неймана при приближении к 5.
Аналогичное исследованве решения задача Дпрнхле более трудно в связи с тем, что это решение представлено н виде потенциала двой. ного слоя. Исследование потенциала двойнога слоя было выполнено в упомянутой выше работе А. М. Ляпунова, а также в его работе «О фундаменталь. ном принцнпе Неймана в задаче Дг!рихлс> (1902).
Перечислим результаты, полученные А л!. Ляпуновым в отношении потенциала двойного слоя н решения задачи Днрнхле. 1. Значение в точках поверхности 5 потенциала двойного слоя ю(У) с непрерывной плотностью представляет собою функцию, удовлетворяющую условию Лнпшнца с любым показателем, меньшим единицы. 2. Если потенциал двойного слоя с вспрерывной плотностью имеет правильную нормальную производную на 5 с одной стороны этой поверхности, то он имеет правильную нормальнуго производную и с другой стороны по.
верхностн, и этн нормальные пронзводпыс одинаковы во всех точках 5. 3. Для того чтобы рсшс~нс внутренней пли внешней задачи Дирнхлс с непрерывными предельпымп значсннячп Яй) на 5 имело правильную нор. мальную производную па 5, необходимо н достаточно, чтобы потенциал двойного слоя с плотностью 1(йг) имел правильную нормальную производную па 5. Этв теорема доказана в предположении, что число и, входящее в условие (3), равно единице.
4. Пусть ('(х, у, г) — однозначная, непрерывная с производными двух первых порядков фупкцня, определенная в некоторой окрестности поверхности 5, и пусть 1(М) — значение Г(х, у, х) на 5. Пр~ этом производная по любому фиксированному направлению от функции и(М), гармонической в 0~ или )), н принимающей на 5 значения 1(и), непрерывна вплоть до 5.
Теорема эта доказана без предположения а = 1. А М. Ляпуновым установлено также достаточное условие для того, чтобы потенциал двойного слоя имел правильную нормальную производную. Приведем его. Пусть йгю — какая-лнбо точка 5, которую мы берем за начало полярных координат (р, О) в касательной плоскости к 5 'в точке грю Значения плотности И()У) в точках Л', близких к йгю, можно рассматривать, проектируя 1У на В4О и!! гл н ппвдпльньш задачи касательную плоскость как функцию р и В.
Обозначим зп й(р)= — ~ >(р,е)лв. 1 2и о Упомянутое выше условие сводится к следующему. Существуют два поло. жительных числа Ь и Р таких, что при любом выборе точки АГа имеет место нсравенство ! й (р) — Р (АГс) ! ~ (Ьра~'. Эта теорема доказана Ляпуновым в предположении а = 1 Дальнейшие рсзультаты в тсории потенциала объемных масс, простого и двойного слоя и в отношении исследования решения задачи Днрихле можно найти в упомянутой выше книге Н М Г!онтсра и в заметке; С и о л и цк и й Х Л. Оценки производных фундаментальных функций. — ДАН СССР, 1950, 24, № 2.
111. Предельные задачи на плоскости. Задачи Дирнхле и Неймана на плоскости рассматриваются совершенно так же, как и а [108]. Рец!ение задачи Днрнхле ищется в виде потенциала двойного слоя: (Аг) сов (г, и) и задачи Неймана в виде потенциала простого слоя: и (М) = ~ )ь (Аг) ! а —, Ь. 1 Для плотности получаются интегральные уравнения: р(йго) =ф(А(е)+А~ и(А()К(А(о, А')~Ь, ! )г (Аге) = ф ((г(о) + )г ~ р (М) К! (Ага', А() сЬ, ! (144) (145) (146) (147) где соз (гз и) аго К (А(а; й() = („,' ') (», = [Лгайг [). Уравнение (146) прн )ь =' 1 и ф(Мо) = — „~ (А(а) соответ! ствует внутренней задаче Дирихле, а при А = — 1 и ф(йе)= 1 = — — ((й(о) — внешней задаче Дирихле.
Уравнение (147) при 1 !ь =! и ф(А(о) = — — ! (Же) соответствует внешней задаче Ней. 1 мана, а при Х= — 1 и ф(Ио)= — ! (Ма) — внутренней задаче Неймана. Во всех случаях ф(Мо) — функция, входящая в предельное условие. В! и певдельныв задачи нх плоскости Уравнение (146) можно записать в виде и р(з.)-9(зз)+) ~ р(з)К(з,, з) 1з, о где з и за — длины дуг (.М и (.Уз контура 1, отсчитываемые от какой-либо фиксированной точки 1. в определенном направлении, а 1а †дли контура 1.
Аналогично записываем и уравнение (147). Г!ри сделанных в [101[ предположениях о контуре 1 ядра К(зз, з) и К~(зз, з) — непрерывные ядра. Как и в [109[, Х =! не есть собственное значение, а Х = — 1 собственное значение первого ранга Прн этом для уравнения (!46) собственная функция есть произвольная постоянная, а для уравнения (!47) это — электростатическая плотность ра(М), при которой потенциал простого слоя (!45) равен постоянной на 1 и внутри 1.
Решение внутренних задач Дирихле и Неймана получается так же, как н в трехмерном случае. Осзаиовимся на внешних задачах. Решение внепшей задачи Неймана связано с уравнением (147) при Х = 1. При этом функция у(Ма) должна удовлетворять условию [!05[: ! р(У,) Нзз=О. о Интегрируя обе части (!47) при 1. = 1 по точке Мм получим 1 ~ р(Ма) ~(э=О, О и, следовательно, функция (145), где р(М) — решение уравнения (147) при Х = 1, будет гармонической функцией, регулярной на бесконечности [105[, и, тем самым, будет давать решение внеш. ней задачи Неймана.
Переходим к внешней задаче Дирнхле. Если 1(М) удовлетворяет условию ~ и,(М) 1(М)сЬ=О, то подстановка решения уравнения (!46) при Х = — 1 в формулу (144) дает решение задачи. Если это условие не выполнено, то берем такую постоянную а, чтобы иметь (ср. [109[) ~ рз(М)[~(У) — а[Из=О, ! 342 !1 1» ГЛ. и. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧН и, как и выше, получаем по формуле (144) решение задачи »е(М) при предельных значениях !(!У) — а, и сумма»е(М)+а будет искомым решением задачи с предельными значениями )(!У). Добавление постоянной связано с тем, что формула (!44) дает гармоническую функцию, равную нулю иа бесконечности, а в плоском случае решение внешней задачи не требует обращения в нуль иа бесконечности. 112.
Интегральное уравнение сферических функций. Рассмо. трим однородное уравнение (1ЗЗ) для случая сферы Е с центром в начале и радиусом единица. В данном случае направление па ГО есть направление радиуса ОФР и соз(гм аа)= — 2, так что однородное уравнение (133) будет иметь вид р(йга) = — — ! ! — с(8. х ГГ и(А1! 4л Го (148) Р4ы пришли бы к тому же самому уравнению, если бы исходили и из уравнения (!32). Интеграл, стоящий справа, представляет собою значение в точке Фо(йо, фо) потенциала сферического слоя с плотностью — Л»А(1т): 4п = — Х»А(9, ф): 4п.
Рассмотрим сначала зтот потенциал в точке М (р, 0', ф'), находящейся внутри сферы. Обозначая через г расстояние ]М!У] и через р ]ОМ], будем иметь разложение [П1», '133] — РА (соз у) рь (р ( 1), (149) А-О где РА(х) — полиномы Лежандра и у — угол, образованный радиусами-векторами ОМ и О1т'. Возьмем за»»(0, ф) некоторую сферическую функцию порядка Аи р(0, р)=У„(0, р). ~$ У~(0, 1Р) —, 1»о = 2а+ 1 У„(0', 1р ) р что непосредственно вытекает из следующих формул ]П1»! 134]» ~ ~У„(0, ф)Р (сову)се=О при п»ФП е )) У„(0, ф) Р„(сову)дЯ= У„(0, 1р).
Пользуясь написанным выше разложением, равномерно сходя. щимся при р ( 1, мы получим а!з1 ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ ИЗЛУЧАЮЩЕГО ТЕЛА 343 При совпадении точки М с точкой ~, лежащей на сфере, мы будем иметь Ул(9~ Ф) г по= 2 ! 1л(йы Фо). Отсюда видно, что А, = — (2п+ 1) суть собственные значения уравнения (148), и всякому такому собственному значению со- ответствуют (2п+1) собственных функций, а именно этими собственными функциями являются сферические функции по- рядка и. Первому собственному значению Хь —— — 1 соответствует собственная функция, равная постоянной (электростатическая плотность для случая сферы).
Покажем теперь, что уравнение (!48) не имеет других соб- ственных значений и что всякому собственному значению А, не соответствуют никакие другие собственные функции, кроме ука- занных выше сферических функций. Пусть Х' есть некоторое собственное значение уравнения (148), отличное от указанных выше, а 44'(М) — соответствующая собственная функция. Ядро уравнений (148) есть симметричная функция Ж и Уы а потому р'(М) должна быть ортогональна ко всем сферическим функ- циям и, в частяостн, к РА(соз у): ~ ~ р' (9, Ф) Р (соз у) оп = О. При этом из разложения (149) вытекает, что потенциал сфери- ческого слоя с плотностью р'(У) равен нулю везде внутри сфе- ры, а следовательно, и везде на сфере. Но тогда интегральное уравнение (148) покажет нам, что 14'(М) тождественно равно нулю на всей сфере, что не должно иметь места для собственной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
