1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Докажем, что она будет гармонической внутри области. Пусть Мо — любая точка внутри В. Опишем круг Хо с центром М, и таким радиу- сом )с, чтобы весь этот круг лежал внутри В. Обозначим через 5,(х, у) сумму первых и членов ряда (100). Эта конечная сум- ма будет гармонической функцией, и ее значения внутри круга Хо будут выражаться через ее значения на окружности этого круга по формуле Пуассона: то ог ро В. (Р, Ч~) = — 2„~) В. (й, ф) йс „,, „,, ) (.. «ф.
о где (р, ~р) — полярные координаты точки М(х, у), если точка Мо принята за начало координат. На окружности упомянутого круга В.()с, ф)-о-5(Й, ф) равномерно по отношению к ф, и мы имеем, переходя к пределу, Г )(2 ро (Р' 'р)= 2я,) Я' ф) йа 2Р,'рсоо(р — Ч)+р Ф о т. е. внутри упомянутого круга сумма ряда (100) выражается интегралом Пуассона и является, следовательно, гармонической функцией. Напомним, что точка Мо была любой точкой внутри В. Заметим, что совершенно так же мы могли бы доказать, что ряд (100) можно внутри В дифференцировать по переменным (Р, у) сколько угодно раз.
Действительно, из формулы Пуассона непосредственно вытекает: дио (р, <р) (,Г д оо ро др 2п 3 " ' " др Л вЂ” 2йрсоо(З вЂ” ~р)+р' с(ф, о ПОЗ ГЛ П ПРЕДЕЛЫ!ЫЕ 'ЗАДАЧИ згв Умножая обе части ряда (100) на д Р< — р' др )г< — 2йр [$ - ф) + р* и интегрируя по окружности упомянутого круга, мы будем иметь д5 (р, ф) Ч-, ди„(р, <р) др А'..< др А-! Доказанную теорему можно, конечно, формулировать и в терминах последовательности гармонических функции, а име! их если последовательность 5„(х,у) функций, гармонических внутри В и непрерывных в замкнутой области В, равномерно стремится к предельной функции 5(х, у) на контуре (, то она рьнномерно стремится к предельной функции во всей зал[кнутой области В.
Предельная функция будет гармонической внутри В, и внутри В последовательность можно дифференцировать ско,[ьло угодно раз. Докажем еще одну теорему, относящуюся к тому часп[ому случаю, когда члены ряда (!00) суть положительные функции. Предвари~ельно выясним одно следствие формулы Пуасс [ьь Функция и(р, ф), гармоническая вну)ри круга р ( )< с цен[уз!! Мь и непрерывная в замкнутом круге, выражается в этом кру[е по формуле Пуассона: 2л [ )<' — р' 2л ( ' 1) ((< — 2рр сол(Ч< — <р) + р' о Положим, кроме того, что эта функция положительна.
Учитывая, что (соз(ф — <р)~ ( 1, мы можем написать неравенс[во (Я вЂ” р)2(В2 — 2Яр сов(ф — <р)+ р2 (Я+ р)'-, и из формулы Пуассона непосредственно следует: 2л ял + — „~ иЯ, ф)дч[(и(р, ф)~ Р ° — ~ и()с, ф)йф, или, принимая во внимание теорему о среднем 111; 204], + и (Мь) (~ и (р, ф) ~ — „и (Мь). (! О1) Эта оценка значений положительной гармонической функции в произвольной точке внутри круга через ее значение в центре круга называется обычно неравенством Гарнака. Пользуясь этим неравенством, мы можем доказать следующую теорему; >ОЭ1 послвдовлтсльности глгмоцичвских ьтнкцип 3>7 Если имеется возрастающая последовательность 5„(М) функций, гармонических внутри В, и если зта последовательность ииеет конечный предел в какой-либо одной точке М„, лежащей внутри В, то она сходится везде внутри В и притом равномерно во всякой замкнутой области Вь которая вместе со своим контуром лежит внутри В.
По условию теоремы мы имеем внутри В: 5ыы(М) ) 5„(М). В силу сходимости последовательности в точке М, при любом заданном положительном е существует такое У, что ! 5„~, (М,) — 5„(Мь)1 < е при и ) й> и любом положительном р. Пусть Хь — круг с центром Мь и радиусом Р, лежащий внутри В. Принимая во внимание, что написанная выше разность представляет собою положительную гармоническую функцию, мы можем написать 0 ( 5„+л (М) — 5„(М) ( — е, где М вЂ” произвольная точка внутри упомянутого круга и р— расстояние от М до Мь. Взяв круг Хь с центром М, и радиусом (Р— а), где а — любое малое заданное положительное число, мы получаем в круге Х~ оценку: 0 ( 5„(М) — 5„(М) ~~ е, откуда вытекает равномерная сходимость 5„(М) в круге Х>.
Взяв некоторую точку М, внутри круга Хь и имея в ней сходимость последовательности, мы при помощи вышеуказанных рассуждений получим равномерную сходпмость внутри круга с центром в этой точке, лежащего внутри В. Продолжая так и дальше, мы совершенно так же, как это делали при аналитическом продолжении, можем доказать равномерную сходимость последовательности во всяком замкнутом круге, лежащем внутри В. Всякую замкнутую область Вь которая вместе со своим контуром лежит внутри В, мы можем покрыть конечным числом кругов, лежащих внутри В, н это дает нам равномерную сходимость последовательности в такой области Вь Заметим еше, что из равномерной сходимости последовательности вытекает, в силу предыдущей теоремьц и тот факт, что предельная функция последовательности будет гармонической функцией внутри В.
Доказанную теорему можно формулировать и в терм>шах рядов, а именно: пусть члены ряда (!00) — гармонические функции внутри В и притом положительные, начиная с. некоторого номера п. Если ряд сходится в некоторой точке внутри В,.то он сходится во всех точках внутри В, и равномерно во всякой ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 004 замкнутой области В!, которая вместе со своим контуром лежит знутри В. В предыдущей теореме вместо возрастающей послед. 4ательности мы могли бы, конечно, брать убывающую последовательность и соответсЗвенно — вместо положительных функций — могли бы брать отрицательные функции 104.
Постановка внутренних предельных задач для уравнения Лапласа. Пусть (), — конечная обласЗь трехмерного пространства, ограниченная поверхностью 5 Внутренняя задача Д- нр их состоит, как мы знаем, в разыскании функции и(М), гармонической внутри 0„непрерывной в замкнутой области П, и принимающей на 5 заданные значения, которые представляют собою непрерывную на 5 функцию Решение задачи может быть только одно [!1; 204]. В дальнейшем, при некоторых предположениях о границе 5, мы дадим доказательство существования решения, В случае плоскости вопрос обстоит совершенно так жс. В задаче Неймана на границе задается не сама функция, а предельные значения )(Н) нормальной производной — причем считается, что М- ))( по нормали.
Если предподи (М) дя лагать еще, что и(М) имеет правильную норглальную производную, Зо мы можем применить формулу (93) к и(М) и о(М) — = 1, и получим ) ') ( (й() й5 = О, (102) ~( ВР (М) )з+ ( Вь (М) )з+ ( Вь (М) )з] й 0 О4 таким образом, это равенство является необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана при наличии правильной нормальной производной. Заметим, что если некоторая функция и(М) дает решение внутренней задачи Неймана, то функция и(М)+ С, где С вЂ” произвольная постоянная, также дает решение задачи при том же предельном условии )(У) Теорема единственности решения внутренней задачи Неймана состоит в утверждении, что этим н исчерпываются все решения задачи, т. е. если и,(М) и и,(М) — два решения задачи Неймана при одном и том же предельном условии ("(Ж), то разность из(М) — и4(М) должна быть постоянной в О. Легко доказать это утверждение, если предположить, что и4(М) и из(М) имеют правильные нормальные производные.
При этом разность о(М) = ир(М) — и, (М) также имеет правильную нормальную производную, предельные значения которой равны нулю, тем самым о(М) непрерывна вплоть до 5, так что, применяя к о(М) формулу (92), получим: ПРСДЕЛЬИЫН ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВ!!ЕНИЯ ЛАПЛАСА !04! откуда и следует, что о(М) постоянна внутри Е>,. В [1071 мы приведем доказательство единственности решения задачи Неймана без предположения о существовании правильной нормальной производной. Отметим, что при постановке внутренних задач Дирнхле и Неймана можно считать, что граница 5 состоит и нз не.
скольких замкнутых поверхностей. Третья основная предельная задача, связанная с уравнением Лапласа, состоит в нахождении внутри 5 гармонической функции, когда на границе области задана линейная комбинация нормальной производной и самой функции, т. е. пре дельное условие имеет вид ( " ) +р(!У)и=1(Л') (А! на 5), (103) где р(А!) и )(А!) заданные на 5 непрерывные функции, причем мы считаем, что р(А!) ) О.
Докажем теорему единственности, считая, что и(М) имеет правильную нормальную производнурз. Если бы существовали два решения задачи, то их разность о(А!) удовлетворяла бы однородному предельному условию: ( — ) + р(!т') и(Ж) = О. (104) Применяя к о(М) формулу (92) и пользуясь (104), получим в! в Интеграл, стоящий справа, не может быть положительным, а интеграл, стоящий слева, не может быть отрицательным, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
