1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Обозначим через го(М) величину этого интеграла. Как мы уже упоминали, эта функция имеет смысл, если М совпадает с Фо. Нам надо показать, что при любом заданном положительном е существует такое положительное гь не зависящее от положения точим Мо на 5, что !м(М) — оа(Жо) ((е, если )МЖо)КтЬ причем М нахо. дится на нормали к 5 в точке Уо. м) ноомлльнля пгоизводиля потенциала пгогтого слоя зэу гл и псвдсльиыя здддчи 298 Фиксируем я!я таким, чтобы иметь Ь я!я ( 4 и представим оз(М) в виде яо(М) = а,(М)+ аз(М), где ая(М) = — Ц )з(Л!) Е,, яя5; аз(М)=1 1 р(Л() 9,, а5. з-а, При этом, в силу (53), мы имеем! а,(М) !( — ' при любом поло. 4 женин М на нормали к 5 в точке Л!о. Далее, а (М) яо (Ло) = а! (М) а! (Ло) + (аз(М) аз (Л~о)1 откуда ! () (О)! !1()!+! я(о)! + ! аг (М) — яоз (Л'о) !«(2 + ! аз (М) — аз (Л'о) ! (55) Принимая во внимание (52), получим Г" ""З,-Г' '"'3.,=( — ': — ')""'" "' +з)соз(п, У)+~(созе~ — 1))+ —,, (созбо — 1) (б~=(п, Е)).
(56) Для точек (5 — о,) имеем г ) я(я и го ) я(я. Кроме того, при л!обом положении точек Л! и ЛЯ~ на 5 величины $, з1, ~ по абсолют. иой величине не превышают диаметра поверхности 5, т, е, наибольшего расстоянии между точками 5 Далее мы имеем )г — го!()г! и — — — ~=!г — г !~ — + —,+ — )( —:, — ( —, ! 1 1 1 г ! ! ! х 3!з! !2! )2! го г з з~= о ~ з гзз з) -,~я 1,з -,!з ° 'о" о' 'о' и, согласно формуле (56), получаем ~ ~ соз я)я соз яз ~ ~ соз я(я соз Чя ~ где с! — определенная постоянная, не зависящая от положения Фо.
Она зависит, конечно, от выбора я(!. Принимая во внимание выражение а,(М), получаем ! аз (М) — аз (ЛЯо) ! «( ~ ~ ! !з (М) ! с, ! г ! я(5 («Ас, ! г ! ° площадь 5. Если взять (57) 2Ася ° влоняздь 3 ' оо) ПРЯМОЕ ЗНАЧСННЕ НОРМАЛЪНОЙ ПРОНЗПОД!ЮИ 299 стремится к своему предельному значению, при стремлении М к Уо по нормали, равномерно относительно положения точки Уо на 5. С другой стороны, потенциал двойного слоя ю (М) является функцией; непрерывной вплоть до 5, и, следовательно, Гв(М) также равномерно стремится к своим предельным значениям на ди(М) 5. Отсюда следует, что н нормальная производная — стре. ди, мнтся к своим предельным значениям (49) равномерно на 5.
Следуя А. М. Ляпунову, будем говорить, что гармоническая внутри или вне 5 функция о(М) имеет правильную нормальную производную, если при стремлении М к Уо по нормали к 5 ее ди (М) нормальная производная — стремится к своим предельным диа значениям равномерно по отношению к точке Уы лежащей на 5. Мы можем, таким образом, утверждать: Теорема. Потенциал простого слоя с непрерывной плот- ностью имеет правильные нормальные производные как внутри, так и вне 5. Фиксируя положительное значение )г), причем М находится илн внутри илн вне 5, мы'можем считать, что значение нормальди (М) ной производной — есть функция Уо, зависящая еще от па. дио раметра (г!, причем эта функция есть непрерывная функция Уо, ибо и(М) имеет внутри и вне 5 непрерывные производные, и на- правление по на 5 меняется непрерывно.
Поскольку при (г)-+О стремление к пределу равномерно, мы можем утверждать, что и предельные значения (49) суть непре- рывные функции Уо, а отсюда следует, что интеграл, входящий в правые части формул (49), представляет собою непрерывную функцию Уо на 5. Этот интеграл называется прямым значением нормальной производной потенциала простого слоя на 5. 99. Прямое зивчеиие нормальной производной. Обозначим через Г" (А!) примое зивчеиие нормальной производиои иа о соз (Го, по) Гз 3 о Мы видели, что Г(нь) — непрерывная функции положения точки й(о ва 8. Докажем сейчас теорему, которая уточнит зто свойство Г"(А!ь).
Эта теопемв была впервые доказана А.М. Ляпуновым, (бз) то мы будем иметь ! озз(М) — оз (Уо) |~ (—, и, в силу (55), полу. чнм )оз(М) — Го(Уо) ) ( е. За искомое число т) можно взять, та. ким образом, правую часть неравенства (57), Мы доказали, что разность ди (М~ дио здддцм Теор е и а При г>елргрь>анод плотности р(М) функция Р(М«) удовлетворяет условию ~ Р (М!) — Р (Ме) ~(Вго аа, (59) где В и !) — лоаожительныг постоянные и га, > = )М«М!) ° Будем э дальнейшсм условие (59) называть условием Лилшици «). Если га, а больше некоторой полоакительной величины, то мы можем, прв любом заданном положительном (), удовлетворить этому неравенству путем соответствующего выбора постоянной В.
Лействительио, функция г (М), как мы внаем, непрерывна на 5 и тем самым ограничена, т.е. (г(М)!ай А>, и если 2А, га, ! > 6 2«О, то, взяв В= —, мы получим, очевидно, неравенство (59) йй при га. ! ~ 6. Если при га. ! ( 6 мы получим в неравенстве (59] другое зна. чсние В, то, взяв наибольшее из двух полученных значсннй В, сможем папи. сать (59) при всех аяачениях га, !. Мы можем, таким образом, считать, например, что гал ( —. 5(ы имеем !О ( ) ( )=~1 ( )Гсоз(г! п!) соз(га па)1 3 г! 'в где га и г! — векторы М«М и М>М, а га и г! — их длины, н, следовательно, принимая во внимание (22), получим !>Са! — >(ад«>)! !' ' — " ~/>>.
г! га (59) Вырежем часть и! поверхности 3 при помоши кругового пилиндра, ось ко. торого есть нормаль к 5 и Ма и радиус основания 2га, >. Разобьем интеграл по В на две части, по и! н по 3 — и>! сов(г!, п!! сов (гь па) Х! гз т в, ! в (1 сов(г,, п!) сов(га, па) 'а Вводя скачярног произведение векторов, можем написать: соз (г„. п,) г! ° п, г, ° п, 'о '! 'о г! ° па — га па г! ° п! — г! ° па г ! + тв ' гго ~ — з г! ! г! соз(г,, п,) г> ! где, как всегда, па и п! — единичные векторы виси!ней нормали в точках Ма н М>.
') Часто в математической литературе это условие при и ап (О> !) называют условием Гальдера, а при а 4 — условием Лившица, ээ) ПРЯМОЕ ЗНАЧЕНИЕ НОРМЛЛЬНОЙ НРОИЭВОДНОИ 301 ГГп ! Гз ! о% сего, ! 3 3 о 33 Гз' 3-ао (64) Из написанного выше следует, что ! соз(г,, п1) сов(го, по) ! (г, по — го'по! + з +(го по(~ з з (г1 п! — г1 по! Производим опенку отдельных слагаемых: ! г! ' п! г! ' по ! = ! го ' (п< — по) ! ччг1 (п1 по !. Образуя треугольник со сторонами по и пь получим (п1 — по! ( 6, где б— угол, образованный направлениями по и п1.
Принимая во внимание условие (3), мы можем написать. ! г1. п1 — г1 по ! (~ агогоа1, где а — постоянная Ланге, (г, ° по — го ° по(=((г, — го) ° по)=(го,о по!=(51! где ьо — координата точки Лоо в местной системс координат с началом в точ- ке Л!о. Принимая во внимание (!5), будем иметь )г1'по го'пе)~(его! !+а Наконец, если точка интегрирования Л1 достаточно близка к Л11, то в силу (15) мы имеем ! ге ° пе(=(Ь (~(сго~ч". По, как и в отношении неравенства (59), мы можем считать, что и это последнее неравенство верно для всех зна- чений го.
Подставляя все полученные оценки в (62), будем имо ть соз (Г1, П1) соз (го, по) 2 2 1 о а 1+а С1Г1ГО.! С1го ! ( — '+ —.Г 1гь а! ° — е(~ —,, + —,, + —.,Л), (63) Г1 Го Гого Го'1 'о"1 где со — наибольшая из постоянных а и с Нз треугольника 51оЛ'ой! !го+ Го, !о:а Го ~ Го Но при нвтегрнровации по (5 — о1) мы имеем Го 1~ <—, и следова- 2 ' Го тельно, го~ )—.
Пользуясь этими неравенствами, а также неравенством )го — Го! ~ Го. и можем вместо (63) наннсат!и ! соз(гь п,) сов(го, и,) ! 1 Го 1+а 1-а 1+а 1-а !+а 1-а 'о,1 'о 'о,о 'о Го,1 'о Го 1 <с!го!~ 2+ 3 + 3 + 22 + з )! Г1 Г1 Гог! Гог! 'О'1 ог 4 1 2 4 6~ 19соге 1 (Сота,1~ — 2+ — 2+ — + + — )= 2' Го 'о 'о 'о 'о Го Возвращаясь ко второй нз формул (6!), получаем гл. и. прнднльыын задачи Во втором интеграле ге )с(/3, и, следовательно, 1 ЫЯ 9 3! — ( — „, ° плоШадь 8. Г 2 г( При интегрировании по (о,— о~) мы можем свести интегрирование на касательную в точке !уе плоскость и получим путем обычных оценок (геЪро 1 соз (п, 2) ) 2): зя л!з Подставляя в (64), получим оценку вида Уз~ (А!ге ! !(й ге !1+ В!го !, где Ас и В,— постоянные.
Эту оценку можно заменить оценкой вида: Уа~~ Азге, ! р если взять положительное 6 меньшим а. Переходим к оценке У~ Мы имеем ('( ~соз(гь п,)1 (( )соз(ге пе)/ "й ~3+ ) ) з 'с,' ! 'о,' е (65] Применяя обычные оценки, получим витте, +в е, е, где Аз — постоянная. Для оценки первого из интегралов (65) проведем сферу 2г( с центром У, и радиусом 4гк !, причем отметим, что 4г,, ( —, Она выре- 5 жет из 5 кусок аг, содержаший кусок оь Эта часть оз имеет явное уравнс.
нце в местных координатах с центром Фь и мы можем применить на этом куске обычные оценки, сводя интегрврованне на касательную в точке )У~ плоскость Область интегрирования будет представлять собою часть круга с цен. тром 1У!, и радиусом 4ге,!. Интегрируя по всему кругу, получим оценку ) соз (г~ п!) ) тр !с ) соз (го п~) ! о ""8 2 . ~ 4!О!' г Г а, оз ! где с, = 19сь Радиус цилиндра, которым вырезалась часть и, поверхности 5, был азат равным 2ге, ь Возьмем цилиндр с той же осью и с фиксированным радиусом †. Он вырежет часть о, поверхности 5, причем о, содержит о! 3' внутри себя. Мы имеем: 999 ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНПИАЛА ПО НАПРАВЛЕНИ22 тоо! !70) Подставляя все полученные нами оценки в (60), будем иметь [В(М!) В(Уо) [<А(Аггоа, а+ Азгоо !), и окончательно можем написать (69), где 9 — положительное число, мень. 1ОО П о исследовали в [97) п е ельн р нзводная потенциала простого слон по любом у направлению.
Мы простого слоя п и п нближе в [ ) предельные значения нормальной производной потенциала ности (У) с ел р р . нии М к Уа по нормали. Если относительно плот. доказать, что с ест Ы(Л) д . ать большие предположения, чем непрерывность, , то можно хрикси ованном п ущ ствуют предельные значения для производных по б хр р у на равлению и, кроме того, можно показать, что эти прс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
