1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 56
Текст из файла (страница 56)
и. пРедвльиыв зхдхчи и, следовательно, в силу (5), Ьв з+ Ц ~ 2а'ф + а"гь' < Завгю~'. Вводим полярные координаты: Ь = р соз О; и = рз з(п 8. (8) Мы имеем ~~ =(4 созО+Цч в!пО)в<Я+а, откуда, в силу (8), ! ь, ~ < У'3 аг,', ! ~! < ~/3 аН'ро ~ ~1/3 рз, (9) (10) и, следовательно г = /р'+ ь' <~ 2р . Неравенства (9) и (11) дают ! Ь ~ < 1/3 а2"р", (11) (12) откуда !еь! < ара+! БАГЗ 2" или тем более !г!<2аро+ ~ (13) ибо 2'< и+! при а < 1.
Наконец, из (б) следует: 1 — совб <2ы-~ав~Ра (14) Дадим еще оценку для сов(п, Х) и сов(п, У), где п — единичный вектор внешней нормали к 5 в точке !т'. Мы имеем на основании (8) !сов(п, Х)1= <)~ !< т/3аг~, ! !4! ~/!+Ц+ !ч и совершенно аналогично ! соз (п, У) ! <~ !/3 аг„. Мы имеем далее соз(п, Е) =-сов ба. Собираем вместе все оценки, которые мы получили выше: ! Ь !<~ср'+"; ! соз(п, Х) 1~<ср,"; ! сов(п, У) !~(ср~, 1 — соз(п, Л)<~ср"', !сов(п, Я) !) >—.
(! 5) причем для простоты записи дальнейших формул мы обозначили-через с — постоянную, равную наибольшей из постоянных, входящих в соответствующие оценки. Указанные неравенства, потеицивл двойного слоя 2ВВ очевидно, сохранятся, если в правых частях заменить рв на гв. В точках пересечения 5 с Се мы имеем гв — — г(, и из ()!) следует: 1 реЪ вЂ” г!.
Таким образом, мы видим, что часть поверхности 5, 2 вырезанная цилиндром, ось которого совпадает с осью е (нор- 1 маль в точке №), а радиус равен — г(, лежит внутри Св. Будем дальше обозначать эту часть 5 через пе. Ее проекция ое' на плоскость ХУ (касательная плоскость в точке №) есть круг: у-~- в~ ~ ((6) Для всех точек М, лежащих на ое, справедливы формулы ()6). Введем еще в рассмотрение часть о, поверхности 5, которая вырезается из 5 круговым цилиндром, ось которого совпадает с осью е, а радиус основания равен некоторому числу дг, при'л чем г(! ( —.
Дальше мы используем произвольность в выборе 2 ' 4. На щ также имеют место оценки ()5). Проекция о', куска о, на касательную плоскость в точке № есть круг: ~+П ~ 1, ' 2)' ((7) Мы переходим к исследованию свойств потенциалов простого слоя, а также некоторых других потенциалов — потенциалов двойного слоя, которые так же, как и потенциалы простого слоя, представляются в виде интегралов по поверхности 5. 96. Потенциал двойного слоя. Основную роль при построении 1 функций (!) и (2) играет сингулярное решение — уравнения Лапласа. Введем теперь другое сингулярное решение этого урав- нения. Пусть М вЂ” некоторая точка просгранства и ! — фиксиро- ванное направление, проведенное из точки У. Берем в направ- лении ! отрезок Й!е' длины е и помещаем в точке йГ заряд ~ †), / / ! ! ~е)' а в точке № заряд ( — — 1.
Обозначая через г и г' расстояния в)' от переменной точки М до точек гг! и №, будем иметь следующий потенциал упомянутых двух зарядов: 1 Г 1 1 \ 1 г' — г 1 г' — ге ио(М) = — ~ — — —,) — — ° —, в ~ г г' ) в гг' е (г' + г) гг' ' Введем в рассмотрение угол !р =(г, !), причем направление г мы считаем от точки М к точке У. Принимая во внимание равенство г' = г'+ ее+ 2гв сов!р, мы можем написать: е + 2г сое ~р ив = (, +,)гг ГЛ. П, ПРЕДЕЛЪНЫЕ ЗАДАЧИ и в пределе при а-~0 получим потенциал диполя единичной интенсивности с направлением й и.
(М) =-'-",ч-. Нетрудно проверить, что мы можем написать этот потенциал 1 как производную от — по направлению 1, причем днффереици рование совершается по точке М: (18) Действительно, обозначая через ($, т), Ь) координаты точки й( н через (х, у, а) — координаты точки М, мы получим д Г 1 ~ (1 — х) сиз(1, х)+ (Ч вЂ” Е) сии(1, Е) + (С вЂ” 3) сиз(1, х) д1 \,с/ откуда, принимая во внимание формулу р=~ ((,х)+ 1 ~ ((,у)+~ мы и придем к формуле (18). Функция (18) удовлетворяет оче видно уравнению Лапласа и имеет особенность в точке 1т'.
Покроем поверхность 5 диполями так, чтобы в каждой точке поверхности направление диполя совпадало с направлением п внешней нормали к поверхности, н пусть (А(й() — интенсивность диполя, помещенного в точке й( поверхности. Мы придем таким ~"~Р и и образом к понятию потенциала двойного слоя, который будет определяться равенством (рис.б); ю(М)=)) р()У) —,с(5 (19) (1р=(г, п)).
Рис. в. Функция (19) имеет везде вне 5 производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа. Ее можно при этом дифференцировать по координатам точки М под знаком интеграла. Если точка М совпадает с некоторой точкой 1тс, лежащей на поверхности, то г обращается в нуль при совпадении М с №, н интеграл (19) есть в этом случае несобственный интеграл. По кажем, что он имеет смысл. Достаточно исследовать подынтегральную функцию на участ. ке ос поверхности вблизи точки №. При этом мы, можем восполь. потенциал двоиного слоя явт аоваться уравнением поверхности (4) в местных осях для точ. кн о'о. Найдем выражение для созфо = соз(го, п), где го есть направление №й1: саяно — — — соз (и, Х) + — соз (и, У) + — соз (п, Е) ((и, Я) = бо), о ч (20) где ($, т1, Ь) — координаты точки )Ч и го — — 1/~о+ о)о+(о.
Принимая во внимание полученные выше оценки (15), а также очевидные неравенства: ~$1( ро' !т!!( ро' ро(го, получим т. е. (21) где Ь вЂ” постоянная. Кроме того, для непрерывной функции 1о()Ч) имеем оценку 1р(й1)1(А ()У на 5), (22) где постоянная А = шах!!о(У) [ при изменении Ф на 5. Заменяя интеграл по оо интегралом по проекции а,' поверхности оо на и х плоскость ХУ (круг с центром Мо и радиусом — ), получим 3)' оо причем имеется, в силу (21), (22) и (1б), следующая оценка подынтегральной функции: рй, ч), ~' ( —,. откуда и следует сходимость интеграла (19), если точка М лежит на поверхности 5.
Таким образом, функция (19) определена во всем пространстве. Рассмотрим интеграл (19) при 1!(У) — 1. Принимая во внимание (18), можем написать: ! д— щ (М) = ) ') —,~ с(5 = — ~ ~ — „д5, (23) причем мы считаем, что дифференцирование по направлению и происходит по отношению к точке М, которая является перемен. ной интегрирования. Ввиду этого перед интегралом мы поста. вили знак минус. ГЛ.
Н ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Положим сначала, что точка М находится вне замкнутой по- 1 верхности 5. При этом — есть гармоническая функция внутри 5 с непрерывными производными всех порядков вплоть до 5, и, в силу одного из основных свойств гармонических функций, мы имеем [П; 204): ! г д— - (М) =-- ЫД5=0 (М вне 5). 1 1 — 1!5+ —,)')с(5=0 или )) д 1!5+4И=О, 3 с з откуда 1 г д— ш! (М) = — ~ ~ — а5 = 4я г ди (М внутри 5). Положим, наконец, что точка М совпадает с некоторой точкой ~, лежащей на поверхности.
Проведем сферу С с центром Уз и д радиусом о1( — и заменим участок а! поверхности 5, содер. жащийся внутри С, частью С' сферы С так, чтобы точка Уз ле. жала вне полученной поверхности, которая состоит из (5 — о,) и части С' сферы С. Мы имеем 1 1 Ц вЂ” ',„' +11 — ',„' (5=О.
(24) З-а, с Второе слагаемое вычисляется, как и выше, и оно равно телес. ному углу, под которым часть С' сферы С видна из центра Уз Пусть точка М находится внутри 5. Выделим ее малой сферой С с центром М и радиусом р. В части пространства Р' между 1 С и 5 функция — — гармоническая, и мы имеем ! ! 11 — "' "'+0 — "' " =' 3 с Нормаль, внешняя по отношению к области Р', направлена на С к центру сферы, и, следовательно, так что предыдущая формула перепишется в виде потенциал двонного слоя 28Э этой сферы: ! ~~ —,' (5-=- — ', Ц (5.
(25) (27) 8~ На поверхности Г 1 д— г сов и — = — — =О. дв г' Линия ( пересечения сферы С с 5 обладает тем свойством, что для координат ~ точек этой линии имеет место, в силу (!6), не. равенство (~ ~(ей~", и точки 1 прн 4-+О беспредельно при ближаются к плоскости ХУ. Отсюда следует, что при стремлении А к нулю телесный угол (26) стремится к 2п, и формула (24) в пределе дает 1 г д— цч(М)= — )) ~„45= 2и (М на 5). Мы имеем, таким образом, 4п (М внутри 5), ~~ — '",~ д5= О (М вне 5), (26) 3 2и (М на 5).
Рассмотрим еше незамкнутую поверхность 51 и интеграл па(М)= ~~ ~,ч о5, Я~ причем мы считаем, что точка М лежит вне 5ь Проведем конус с вершиной М и основанием 5ь и пусть о~ — часть сферы с цен. тром М и достаточно малым радиусом р, лежашая внутри упомянутого конуса. Рассмотрим в пространстве область Ю' 71, ограниченную 5ь о1 и боковой поверхностью Г упомянутого конуса в (рис, 6), (Мы считаем, что упомянутые поверхности ограничивают неко- Рис б торую область О.) 1 Внутри 0 функция — — гармоническая и, следовательно, г ГЛ.
и. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 290 д— 1 г 1 На о1 направление п противоположно г и — =з-. Обозна. дп р чая через го телесный угол, под которым 51 видна из точки М, мы получим из предыдущей формулы Ц ~оо',ч~ а<с, (28) где с — определенное положительное число. Положим, напри. мер, что существует такое целое положительное число й, что при любом положении М можно разбить 5 на отдельные куски, чис. ло которых не превышает й, так, что прямая, проходящая через М, пересекает каждый кусок не более чем в одной точке, причем на каждом из кусков сов ф сохраняет знак.
При этом условия (28) выполнено, если взять с = 4пй. Формулы (26) показывают, что при р(М) — 1 потенциал двойного слоя (19) испытывает разрыв непрерывности, когда М пересекает поверхность 5. Разберем этот вопрос для произвольной чепрерывной плотности. Пусть йго — фиксированная точка поверхности 5.
Составим потенциал двойного слоя: (29) т. е. интеграл (21) дает телесный угол, под которым 51 видна из точки М. При этом нормаль и на 5~ направлена вовне области О. Радиус-вектор из М может пересекать 5, в нескольких точках. Если мы имеем, например, три точки пересечения, то в двух из них сов ф > О и в третьей сов ф ( О (рис. 6). Элемент соо ~Р рассматриваемого интеграла, т. е. —,й5, представляет собою элементарный телесный угол аго, под которым элемент площади поверхности виден из точки М, причем этот угол будет положи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
