1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 52
Текст из файла (страница 52)
При однократном дифференцировании по х нам достаточно доказать равномерную сходимость ряда .Е [а»ф~(х) [. Она непосредственно вытекает из равномерной сходимости ряда (84) в силу формулы » ь а»ф»(х) =у!(х) $ у ($) Л»а»ф»(з) ь(в+ у»(х) $ у,(з) Л»а»ф»(з)!аз, Принимая во внимание, что Л» ) 1 при всех достаточно больших Ь, можно утверждать, что 1/Л» (Л» прн всех достаточно больших /г. Если мы докажем при некоторых условиях, налагаемых на р(х), а(х) и [(х), что ряд метод Фугье для уРАВнения кОлеБАниЙ аналогичной формуле (77).
Для доказательства равномерной сходимости ряда )а„ф" (х)~ х а„= А ~ )(х)уА(х)г(х= ~)(х) ~д(х)щА(х) — — „~р(х) у' (х)]~ пх. Считая, что ((х) имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет условиям (72), и интегрируя по частям, получим ь ААОА= ~ (д(х) ~(х) — — „„(р(х)1'(х)) ~~рА(х) их.
й Если предположить, что выражение, стоящее под знаком интеграла в фигурных скобках, имеет непрерйвную производную и удовлетворяет предельным условиям (72), то отсюда будет снедовать, что ряд (84) равномерно сходится в (а, Ь). Указанное выше требование сводится к следующему: )(х) имеет непрерывные производные до третьего порядка, р(х) имеет непрерывные производные до второго порядка, д(х) имеет непрерывную производную, и удовлетворяется условие д (Р(х)7 (х)) — д(х)1(х)=0 при х=а и х=Ь. (85) В силу того, что Г(х) также должна удовлетворять условиям (72), мы можем написать (85) в виде — „„[р(х)7'(х)]=0 при х=а и х=Ь.
(86) Рассмотрим теперь ряд Э ЬА з(п 'ч~Х~ нрА (х), А ! где Ь» определяются вторым из равенств (82). Как и выше, до- статочно доказать равномерную сходимость ряда ОФ Е й )Ь„р (х)), А $ (87) достаточно использовать формулу, аналогичную формуле (78), вычеркнув, как и выше, множитель е А. Таким образом, все сводится к доказательству равномерной сходнмости ряда (84), Пользуясь уравнением (56), получим тл. и. пРедельиые ЕАдАчи т. е. ряда и/Х„[Ь'„ср (х)[, (88) где » Ь'„ = $ 1, (х)ср„ (х)ссх. П Считая, что 7с(х) имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет условиям (72), получим, как и выше, » Л»Ь', = $ ( с7 (х) 7с (х) — — „Тр (х) ); (х)1 ~ ср (х) йх = Ь'„', П где Ь» — коэффициент Фурье непрерывной функции, стоящей в фигурных скобках.
Подставляя еще ср»(х)=А»ф»(х), получим /Х [Ь' р (х)~=ПК[Ь'»'чЬ (х)[, откуда, по неравенству Коши, С»+ Р йъ+ Р /О5+Р Е /К„[~'„~,()[< Х Ь;" ~/ Х ),ф'„() или, принимая во внимание (68), $П+Р сССП+П Е,~Г[Ь',р,(х)[(~[~ Х Ь„"' ~/И. Но ряд, составленный из членов Ь», сходится, и из последнего неравенства непосредствейно следует, что ряд (88) равномерно сходится.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме: Теорема. Если р(х) имеет непрерьсвньсе производные до второго порядка, д(х) ) 0 и имеет непрерывную производную, !(х) имеет непрерывные производные до третьего порядка, удов- летворяет условиям (72) и условию (85), а !с(х) имеет непре- рывные производные до второго порядка и удовлетворяет усло- виям (72), то функция и(х, С), определяемая формулой (81), удовлетворяет начальным условиям (80), предельным (72), а также уравнению (79). При этом возможно почленное диффе- ренцирование ряда (8!) по с и х два раза, и полученные ряды равномерно сходятся в промежутке [а, Ь[ при всяком с. 87, Теоремы единственности. Мы установили существование решений уравнений (70) и (79) при соответствующих предель ных и начальных условиях.
Докажем теперь единственность та. ких решений. Начнем с уравнения (70) при с)(х) > О, и будем предпола. гать, что решения непрерывны ври 1) 0 и а (х ( Ь и что прн теоеемы единственности всяком г ) 0 решение имеет непрерывную производную по г и производные по х до второго порядка, непрерывные в промежутке (а, Ь]. Решение именно с такими свойствами и было нами построено в [85]. Утверждение о единственности решения равносильно тому, что решение ио(х,1) уравнения (70) с указанными выше свойствами, удовлетворяющее однородному начальному условию ио!с-о = 0 (а < х ~ (Ь) (89) и предельным условиям (72), равно тождественно нулю при 1'- О.
Напишем для ио(х, 1) уравнение (70), умножим обе его ча. сти на ио(х, 1) и проинтегрируем по х. При этом считается 1) О. Мы получим, таким образом, формулу ь ь ь — — ~ ио йх = ] и — 1ьР (х) — '1 о(х — ~ 9 (х) ио йх. 2 дЬд о ] одх], дх] о о о а Все операции выполнимы в силу упомянутых выше свойств ,и,(х, 1). В первом интеграле правой части интегрируем по частям и принимаем во внимание предельные условия.
Таким образом, получаем. ь ь ь 2 дь 5и'"'= 5р(х)~д') ах — ~«х)и"(х~О. о о о Таким образом, неотрицательная функция от 1 ь 1 иоо,( (90) о непрерывная при г ) 0 и равная нулю, в силу (89), при 1= 0 имеет неположительную производную при 1) О. Отсюда следует, что функция (90) тождественно равна нулю при 1) О. Но тогда и и(х, 1) 0 при 1) О, что мы и хотели доказать. Переходим теперь к доказательству теоремы единственности для уравнения (79) при д(х) ) О. Будем предполагать, что сами решения и их производные иь иьч и„и„непрерывны в промежутке а ( х ( Ь и при любом й Решение с такими именно свой. ствами и было нами построено в (86].
Утверждение о единственности решения равносильно тому, что решение ио(х, 1) уравне. ния (79) с указанными выше свойствами, удовлетворяющее однородным начальным условиям пой о= дь ~ 0 (91) н предельным условиям (72), равно тождественно нулю. гл. и. пввдвльныв задачи Введем функцию о(х, ь)= ~ аь(х, т)ь(т. ь (92) В этом уравнении заменим ! на т, умножим обе части на о,(х, тГ и проинтегрируем по т на промежутке от т = О до т= й Принимая во внимание (9!) и (92), получим 1 — о',(х, !) = ! о,(х, т) — Гр(х) о„(х, т)1ь(т — — д(х) о~(х, !). ! Г а ! о Интегрируем обе части по х на промежутке 1а, Ь] и в повторном интеграле меняем порядок интегрирования: ь — ) о!(х, !)дх= 2 а ь ь а — ~ о (х, т) — (р(х)о (х, т)")!(х ь(т — — д(х)оь(х, !)пх. ! Г аа Й Во внутреннем интеграле проинтегрируем по частям и учтем, что, в силу (91) и (92), внеинтегральный член равен нулю: ь — о',(х, г)ь(х = ! Г О г, ь Ь вЂ” ~ р(х) о,„(х, т)о„(х, т)ь(х с(т — — о(х) оь(х, Одх.
! Г 0 а а Меняя опять порядок интегрирования, производя интегрирование по т и принимая во внимание, что о,(х,О) О, получим ь ь ь — ~ от!(х, !)!(х — — ! р(х)о~ (х, т)г(т — — ! д(х)о (х, !) ь(х, !Г Она имеет непрерывные производные оь, оп оьь, оы, ои при указанных значениях переменных. Напишем длн иь(х, т) уравнение (79) и проинтегрируем его по т на промежутке от т = О до т = г. Принимая во внимание (91) и (92), получим ФЦ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОИСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ 266 откуда следует ь 1 оь(к, 1)ь(х(О, А ги потому оь(х, г) ю О при а ( х( Ь и — оо < г С +со. В силу (92), получаем иь(х, 1) — О, что мы и хотели доказать.
Заметим, что условие и ) О можно отбросить. 88. Экстремальные свойства собственных значений и функ- ьций. Вернемся к предельной задаче для уравнения — [р(х) у']+ [Л вЂ” д(х)] у = О (93) (96) или, что то же, для уравнения ь(у) = — Лу, где (. (у) = — [р(х) у'] — д(х) у. В общем случае уравнения (1) мы можем привести его к виду (93), вводя вместо х новую независимую переменную: ь 1= ~ г(х)пх. (94) О Уравнение (1) при этом перепишется в виде г(к) — „ь ~г(х) р(х) — „«]+(Лг(х) — д(к)) у=О, и, деля обе части на г(х), мы получаем уравнение вида (93). При этом преобразовании существенно предположение, что г(х)' не обращается в нуль в замкнутом промежутке [а, Ь]. Ь(ы счи- таем, что в уравнении (93) )1(х) ) О в промежутке [а, Ь], и по- ложим, что предельные условия имеют вид у (а) = у (Ь) = О. (95) При этом, как мы видели [78], собственные значения выража- ются через соответствующие собственные функции по формуле ь Л„ = $ [ р (х) ср„' (х) + д (х)юр~ (х)|ь(х, Ю н может существовать лишь конечное число отрицательных соб.
ственных значений, так что можно считать, что собственные значения расположаны в возрастающем порядке, т. е. Ль ( Ль ~ (Лз(... Поставленная предельная задача равносильна интегральному уравнению ь м(х)=Л1 0(х, Е) р(Е)ьь'З, О ГЛ. П. ПРВДЕЛЪНЫВ ЗАДАЧИ 1зз где 6(х, $) — функция Грина оператора 7.(у) при предельных условиях (95), Мы знаем 117; 42), что первое собственное значение Х1 равно наименьшему значению интеграла ьь ~ ~ б (х, В) в (х) а ($) 1(х <1В (97) в классе непрерывных функций в(х), удовлетворяющих усло- вию ь ь 3 1((а 1*, а а а1] а*- ~. а 1а (98) Но интеграл У(х)= 1 6(~, Ца1($) $ О (99) — 1 С(У)У1(х О (100) при выполнении условия: ~ у'(х)дх=1 а (101) в классе функций у(х), имеющих непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяюших предельным условиям (95), Производя в интеграле (!00) интегрирование по частям, мы видим, что Х1 есть наименьшее значение интеграла ь ~ ~р (х)у" + д(х) утт11(х а (102) при условии (101) в только что указанном классе функций у(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
