1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При новом выборе парамфгра уравнение (16) будет иметь внд — (р(х)у']+ [А' — д(х)]у= — ру, 245 ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА зп причем, в силу сказанного выше, значение )х= О уже не будет собственным значением, н, следовательно, будет иметь место вся теория, построенная на применении обычной функции Грина. В частности, собственные функции задачи будут образовывать замкнутую систему.
Отсюда, между прочим, непосредственно вытекает, что если мы к собственным функциям уравнения (41) присоединим фз(х), то получится замкнутая система. Введение нового параметра, как мы увидим на дальнейшем примере, может осложнить интегрирование того уравнения, которое служит для определения обычной функции Грина. В следующем параграфе мы применим обобщенную функцию Грина к рассмотрению предельной задачи, приводящей к полиномам Лежандра. В этом случае на обоих концах промежутка функция р(х) обращается в нуль, н роль предельных условий играет требование конечности решения на концах промежутка. Все сказанное останется справедливым н в этом случае. Для уравнения (1) с предельным условием (2) собственному значению )с = О может соответствовать, как мы видели, только одна собственная функция.
Для предельных условий периодического типа, например у(а)=у(Ь) и у'(а)=у'(Ь), собствен. ных функций может быть и две. Для уравнений выше второго порядка, о которых мы будем говорить ниже, их может быть также больше одной. В эхих случаях можно строить функцию Грина аналогично предыдущему. При этом в правой части уравнения (28) надо писать сумму, распространенную на все собственные функции, соответствующие собственному значению )с =О, причем эти функции считаются взанмно-ортогональными и нормированными. 81. Полнномы Лежандра. требуется найти такие значения параметра Х, при которых уравнение — 1(1 — «') д']+ яд =О с( йх (42) имеет решение, ограниченное на обоих концах промежутка [ — 1, Ц Мы уже знаем, что собственными значениями этой задачи будут значения Х п(п + 1) (Шы 103], а ортогональные и нормированные собственные функции будут ~рп(х) — Р„(к) (п О, 1, ...), 2п+ 1 (43) где Р„(х) — полиномы Лежандра Нетрудно видеть, что никаких других собственных значений и собственных функций не может быть Если бы су~цсствовали другие собственные функции, то мы имели бы собственную функцию, ортогональную ко всем функциям (43), и для того чтобы показать, что такой функции нет, нам достаточно показать, что функции (43) образуют замкнутую систему Покажем это Пусть ((х) — любая заданная непрерывная в промежутке ( — 1, Ц функция Согласно теореме Вейерштрасса (И; 168], пря любом заданном положительном в мы можем найти такой поливом Я(х), что 1аг ГЛ 11 ПРНДЦЛЬНЫП ЗАДАЧИ "24б во всем промежутке [ — 1, 1] имеет место неравенство [[(х) — ()(х) [< в, из которого непосредственно вытекает 1 [[(х) — !ч (х)]э лх < 2а'.
-1 Пусть т — степень полинома !с(х). Поскольку функция <р,(х) есть полипом степени, в точности равной л, мы можем представить Я(х) в виде линейной комбинации полиномов фа(х), ..., ф (х), и предыдущее неравенство перепишется в виде 1 р Ш ']3 ~[(х) — ~~' а»ф»(х)~ Нх (2зз, -! » о Если вместо коэффициентов а» мы возьмем коэффициенты Фурье функции [(х) относительно системы функций (43), то написанное неравенство будет тем более удовлетворено. Приннман во внимание произвольную малость числа в, мы можем утвер.
ждать, что средняя квадратичная погрешность при представлении функции [(х) отрезком ее ряда Фурье по функциям (43) стремится к нулю, т е, функции (43) действительно образуют замкнутую систему. Вернемся к уравнению (42). В данном случае мы имеем й (у) = — [(1 — х ) у ], с' г(х и непосредственно очевидно, что первая из фуннций (43), т. е. постоянная 1 ф» (х) = —, удовлетворяет однородному уравнению й(у) = О и предельным ьГ2 условиям, т е ограничена на концах промежутка Иными словами, й О есть собственное значение, что вытекает и из формулы Х„= л(л+ 1) при л = О Для построения функции Грина напишем неоднородное уравнение (28), которое в данном случае будет иметь внд Ы з, 1 — [(! — х') у'] - —. ах 2' 1 Частное решение этого уравнения будет у= — — 12(1 — хз), а общий инте- 4 1+х грал соответствующего однородного уравнения имеет вид с,+с»18 —.
1 — х ' Решения, которые остаются конечными на концах х = ~1, имеют соответственно вид 1 1 1+х ! У, (х]= — — 1К (1 — х»)+ — 12 — + а — — 12(! — х) +а, 4 4 1 — х 2 1 1 1+х 1 уз (х) = — — 12 (1 — х') — — 12 — + ]) — — 12 (1 4- х) .( [), 4 4 1 — х 2 где и и ]) — некоторые постоянные Подберем эти постоянные так, чтобы со. станное решение было непрерывным при х $ и чтобы оно было ортого- 1 нальныц к фз (х) = =. Первое из этик условий дает ч/2 1 1 — — 12 (! — 3) + и - — — 12 (1+ 3) + [) 2 2 ПОЛИНОМЫ ЛИЖАНДРА аП 247 н мы можем положить 1 1 и — — 12(!+О+у! О= — — 12(1 — $)+у 2 2 где у — постоянная, которую надо определить из условия ортогональности функции Грина 6(х,$) и фз(х).
Мы имеем — — !а[(1 — х) (1+ $)[+у 1 2 — — 12 [(1 + х) (! — $)] + у 1 2 (х<0 6 (х, к) ($ ~ х). Условие ортогональности 1 6(х, 4) !Ре(х) г(х О, нли просто ~ 6(х, Дг(х О, 1 1 1 дает нам следующее значение постоянной у; у — — 122. и окончательно 2 обобщенная функция Грина определнется следующим равенством: — — 12 [(1 — х) (1+ я)] — 122+†1 ! 2 2 6(х, з) ! — — 12 [(1 + х) (1 — [)] — 1д 2 +— 1 1 2 2 (х ~ $), (44) (х ~ 4). ~ 6 (х. $) а (в) г(2 -1 (45) будет уже непрерывной, если непрерывна я(х), и мы будем иметь так же, как н в [76], для таких функций теорему разложения в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по функциям ф (х) (л = 1, 2, ...). Всякая функция [(х), имеющая в промежутке [ — 1, !] непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяющая условию 1 [(х) ох=О, -1 (4б) которое выражает ортогональность [(х) и фа(х), может быть представлена по формуле (45) через ядро и разлагается в абсолютно и равномерно скодящййся ряд Фурье по функциям ф„(х) (л = 1, 2, ...), т е по полиномам Лежандра Р.(х) (л = 1, 2, ...).
Если [(х) не удовлетворяет условию (46), то достаточно применить общую теорему разложения к фуннции [,(х) [ (х) — — Л! [ (х) г(х; 1 Г -1 Ядро (44) становится неограниченным в окрестности вершин х $* — 1 и х = $ = 1 основного квадрата. Легко проверить, что всякая представиман через ядро функция 1 )а! ГЛ П.
НРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 248 которая уже удовлетворяет условию (46). Для первоначальной функции 7(х) ,получим разложение по всем полиномам Лежандра, включая Рд(х) сопз1. Ряд Фурье для ядра в данном случае имеет вид 6» Е (2п+ 1) Р»(х) Р»($) 2п (п+ 1) » 1 Он не может сходиться равномерно во всем квадрате йз, так как ядро неограниченно. Воспользуемся асимптотическнм выражением полиномов Лежандра при больших значениях л [Шз, 164]: где б»-»О равномерно относительно 1, если ! принадлежит промежутку [з, и — в], причем в — любое заданное положительное число. Фиксируем ие.
которое значение в внутри промежутка [ — 1, Ц. Для Р»($) мы имеем асими. т» тотическую оценку вида (Р» Я) )м.—, где ш» остается ограниченным ч/й ' при возрастании и. Для любых х, удовлетворяющих условию — ! ( х»~ 1, мы имеем неравенство ]Р»(х) ] ~! [!1!П 133]. Отсюда видно, что при фнкси. роваяном $ ряд (47) сходится абсолютно и равномерно относительно х в промежутке ( — 1, Ц.
Функция (44) ортогональна к Ф,(х), и, следовательно, ряд (47) есть ее ряд Фурье по отношению к замкнутой системе функций (43). Из его равномерной сходнмости следует, что его сумма равна ядру (44) [14гн 3]. Из предыдущих рассуждений непосредственно вытекает также, что ряд (47) сходится абсолютно и равномерно в квадрате йе, если исключить из этого квадрата его вершины ( — 1, — !) н (1, 1) кружками с центрамя в этих вершинах и со сколь угодно малым положительным радиусом.
Применим теперь другой подход к рассмотрению предельной задачи для уравнения (42), указанный в предыдущем параграфе. Введем вместо Х новый параметр р по формуле Л и+ р(р+1), где р — некоторое фиксированное Ре целое с.ю Уравне»ие (42) ., е .шется в ваде » — [(! —.') у ]+ р(р+ Цу+ру=о. бх Значение р О уже не будет собственным значением, причем мы должны положить й (у) = — К! — х ) у ] + р (р + Ц у. »х 1+я Если ввести вместо х нову|о переменную!= —,то уравнение й(у) = О 2 превратится в уравнение Гаусса [11!з! 103, 104] с параметрами а — р, В р+ 1, у 1. Мы будеы иметь два решения этого уравнения: 1+хч / 1 — х~ У1(х) Р( — р, р+1, 1; — )! Уз(х)=ср! — р, р+1, 1; — 1, 2 гиз которых первое регулярно при х = — 1, а второе при х = 1. Можно по.
добрать постоянную с так, чтобы имело место соотношение: 1 У! (х) Уз(х) — Ух (х) У!(х) = — з. ОУНКНИИ ЭРМИТА И ЛАГЕРРА 621 Можно покаэатгь что зто дает с ., и, следовательно, обычная 4 э!п Рм функция Грина определяется равенством лу(-р у+11: 2 )Р(-р у+11! — ) Са(х, $) (х ~$). (48) При э ( х надо буквы х и $ поменять местами. Вследствие замены пара. метра собственные значения будут определяться формулой р, л(я+1)— — р(р+ 1), а собственные функции будут прежние функции Ф,(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
